广东省珠海市北京师范大学(珠海)附属高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

广东省珠海市北京师范大学（珠海）附属高级中学2023-2024
学年高一下学期第一次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知()1,m x =u r ，(),2n x =r ，若//m n u r r
，则x =（ ）
A ．1
B C ．D ．2．已知α是三角形的一个内角，3tan 4α=，则3cos 4πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（ ）
A ．
B ．
C
D 3．已知平面向量()10sin ,1a θ=r ，()cos ,3b θ=r ，若a b ⊥r r
，则tan θ=（ ）
A ．1
3
-或3-
B ．1
3
或3-
C ．1
3
或3
D ．1
3
-或3
4．若向量a r ，b r 满足||1a =r ，|2|a b +=r
r ||a b -r r a r ，b r 的夹角为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
5．下列函数中，以π为周期且在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增的是（ ）
A ．()22
cos sin f x x x =-
B ．()2sin cos f x x x =
C ．()sin f x x =
D ．()cos2f x x =
6．如图，已知AM 是ABC V 的边BC 上的中线，若AB a u u u r r =，AC b =u u u
r r ，则AM u u u u r 等于（ ）
A ．()
12
a b -r r
B ．()
12
a b --r r
C ．()
12
a b +r r
D ．()
12
a b -+r r
7．为了得到函数πcos()6=+y x 的图象，只需将函数π
sin()6y x =+的图象（ ）
A ．向左平移π
3个单位长度
B ．向左平移π
2个单位长度
C ．向右平移π
3
个单位长度
D ．向右平移π
2
个单位长度
8．如图，ABC V 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角
形，若4=AD ，2BD =，点M 为线段CE 上的动点，则()
AM BC MD -⋅u u u u r u u u r u u u u r 的最大值为（ ）
A ．
16
9
B ．
214
C ．6
D ．10
二、多选题
9．已知点D ，E ，F 分别是ABC V 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A ．FD DA FA +=u u u r u u u r u u u r
B ．0FD DE EF ++=u u u r u u u r u u u r r
C ．DE DA DF +=u u u r u u u r u u u r
D ．AF EF C
E +=u u u r u u u r u u u r
10．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，则下列说
法正确的是（ ）
A ．()f x 在区间π,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数
B ．点5π,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心
C ．若π,02⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦x ，则()f x 的值域为⎡-⎢⎣⎦
D ．()f x 的图象可以由cos2y x =的图象向右平移
π
12
个单位长度得到 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理
（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（ ）
A ．点P 再次进入水中时用时30秒
B ．当水轮转动50秒时，点P 处于最低点
C ．当水轮转动150秒时，点P 距离水面2米
D ．点P 第二次到达距水面(1米时用时25秒
三、填空题
12．设a r ，b r
是两个不共线的非零向量，若向量2ka b +r r 与8a kb +r r 的方向相反，则k =. 13．若1tan 4
α=
，则π
tan()4α-=，tan2α=.
14．已知函数()1sin 22f x x =，给出下列五个说法:①1921π1
124
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；
②若12()()f x f x =-，则12x x =-；③()f x 在区间ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增；④将函数()f x 的图象向右平移3π4个
单位可得到函数1cos 22y x =的图象；⑤函数()f x 的图象关于点π,04⎛⎫
- ⎪⎝⎭
成中心对称.，
其中说法正确的是(填序号).
四、解答题
15．已知4sin 5α=
，π,π2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 16．已知4,2a b ==r r ，且a r 与b r
的夹角为120°，求： (1)2a b -r r
；
(2)a r
与a b +r r 的夹角；
(3)若向量2a b λ-r r 与3a b λ-r r
平行，求实数λ的值.
17．已知函数()1
π3sin ,2
4f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ．
(1)用五点作图法画出函数()f x 在一个周期上的简图； (2)若3π9π(),,222f αα⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，求α．
18．已知函数()()2cos cos 0f x x x x ωωωω=->的最小正周期是π
2．
(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递减区间；
(2)将()f x 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π
6
个单位，最后将整
个函数图象向上平移32个单位后得到函数()g x 的图象，若π2π
63
x ≤≤时，()2
g x m -<恒成立，求m 的取值范围．
19．某港口水深y （米)是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是水深数据：
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数sin y A t b ω=+的图象.
(1)试根据数据表和曲线，求出sin y A t b ω=+()0,0,0A b ω>>>的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）。