2017-2018学年河北省保定市定州市八年级(下)期中数学试卷(解析版)

2017-2018学年河北省保定市定州市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．要使二次根式有意义，字母x的取值必须满足（）
A．x≥0B．C．D．
2．下列运算错误的是（）
A．+＝B．•＝C．÷＝D．（﹣）2＝2
3．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是（）
A．60°B．90°C．120°D．45°
4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A．2，3，4B．4，5，6C．1.5，2，2.5D．1，，3
5．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（）
A．40cm B．20cm C．20cm D．10cm
6．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）
A．1B．2C．3D．4
8．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A．内角和等于360°B．对角相等
C．对边平行且相等D．对角线互相垂直
9．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）
A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+
10．如图，▱ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）
A．6B．8C．10D．12
12．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2017＝（）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共18分）
13．计算的结果是．
14．若x，y为实数，且满足|2x﹣6|+＝0，则（）2018的值是．
15．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为．
17．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．
18．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（8分）计算：
（1）3﹣+﹣
（2）（﹣）2+2×3
20．（8分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点．求证：四边形AP1CP2是平行四边形．
22．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝6，求四边形ABCD的面积．
23．（8分）小红同学要测量A、C两地的距离，但A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在
A、C同一平面上选取了一点B，测量得到AB＝80米，BC＝20米，∠ABC＝120°，请你帮助小
红同学求出A、C两点之间的距离（参考数据≈4.5，≈4.6）
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝18cm，BC＝20cm，点P从点A 出发，以2cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）经过多少时间，四边形ABQP能成为平行四边形？
（2）在（1）的条件下，连结AQ、BP、AQ和BP垂直吗，为什么？
25．（8分）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是点M、N （1）求证：AE＝MN；
（2）若AE＝2，∠DAE＝30°，求正方形的边长．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不需要证明）
2017-2018学年河北省保定市定州市八年级（下）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．要使二次根式有意义，字母x的取值必须满足（）
A．x≥0B．C．D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x+3≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：2x+3≥0，
解得：x≥﹣，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．2．下列运算错误的是（）
A．+＝B．•＝C．÷＝D．（﹣）2＝2
【分析】根据同类二次根式的合并，二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项正确；
B、×＝，计算正确，故本选项错误；
C、÷＝，计算正确，故本选项错误；
D、（﹣）2＝2，计算正确，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的加减及乘除运算，解答本题的关键是掌握二次根式的加减及乘除法则．
3．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是（）A．60°B．90°C．120°D．45°
【分析】首先设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，由平行四边形的邻角互补，即可得方程x+2x＝180，继而求得答案．
【解答】解：设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，
则x+2x＝180，
解得：x＝60，
∴其中较小的内角是：60°．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补．
4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A．2，3，4B．4，5，6C．1.5，2，2.5D．1，，3
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、42+52≠62，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C、1.52+22＝2.52，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D、12+（）2≠32，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
5．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（）
A．40cm B．20cm C．20cm D．10cm
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：
根据两点之间线段最短，把正方体展开，可知由A处向B处爬行，所走的最短路程是20cm．
故选：C．
【点评】熟练掌握两点之间线段最短这一性质．
6．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，
则橡皮筋被拉长了（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
7．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB ＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的值．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∴∠BAE＝∠BEA
∴BE＝AB＝3
∵BC＝AD＝5
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分
线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
8．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A．内角和等于360°B．对角相等
C．对边平行且相等D．对角线互相垂直
【分析】根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案．
【解答】解；∵菱形与矩形都是平行四边形，A，B，C是平行四边形的性质，
∴二者都具有，故此三个选项都不正确，
由于菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，
故选：D．
【点评】此题主要考查了菱形及矩形的性质，关键是需要同学们熟记二者的性质．
9．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）
A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+
【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O
的半径OA＝OB＝，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．
【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．
∵在直角△BOC中，OC＝2，BC＝1，则根据勾股定理知OB＝＝＝，
∴OA＝OB＝，
∴a＝﹣1﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴．找出OA＝OB是解题的关键．
10．如图，▱ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长
为（）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，又因为OE⊥AC，可得OE是线段AC 的垂直平分线，可得AE＝CE，即可求得△DCE的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC；
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC；
∵▱ABCD的周长为16cm，
∴CD+AD＝8cm；
∴△DCE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD＝8cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查平行四边形的性质和中垂线的性质．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）
A．6B．8C．10D．12
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF＝AB﹣BF，即可得到结果．
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
＝•AF•BC＝10．
∴S
△AFC
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F＝x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
12．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2017＝（）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，
∴OP4＝＝，
…，
OP2017＝．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
二、填空题（每题3分，共18分）
13．计算的结果是2．
【分析】根据二次根式乘法、商的算术平方根等概念分别判断．
【解答】解：原式＝2×
＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，正确理解二次根式乘法、商的算术平方根等概念是解答问题的关键．
14．若x，y为实数，且满足|2x﹣6|+＝0，则（）2018的值是1．
【分析】利用非负数的性质得到2x﹣6＝0，y+3＝0，则可求出x和y的值，然后利用乘方的意义计算原式的值．
【解答】解：根据题意得2x﹣6＝0，y+3＝0，
所以x＝3，y＝﹣3，
所以（）2018＝（）2018＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了非负数的性质：利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列方程求解．
15．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为10．
【分析】根据三角形的中位线定理，可得△ABC的各边长为△DEF的各边长的2倍，从而得出△DEF 的周长即可．
【解答】解：∵点D、E、F分别是△A BC三边的中点，∴AB＝2EF，AC＝2DE，BC＝2DF，
∵AB+AC+BC＝20，∴DE+EF+DF＝10，
故答案为10．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，是基础知识要识记．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为3．
【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的
面积．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA ＝OC ，∠AEO ＝∠CFO ；
又∵∠AOE ＝∠COF ，
在△AOE 和△COF 中，
，
∴△AOE ≌△COF ，
∴S △AOE ＝S △COF ，
∴图中阴影部分的面积就是△BCD 的面积．
S △BCD ＝BC ×CD ＝×2×3＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
17．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C 的坐标为 （4，4） ．
【分析】连接AC 、BD 交于点E ，由菱形的性质得出AC ⊥BD ，AE ＝CE ＝AC ，BE ＝DE ＝BD ，由点B 的坐标和点D 的坐标得出OD ＝2，求出DE ＝4，AC ＝4，即可得出点C 的坐标．
【解答】解：连接AC 、BD 交于点E ，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AE ＝CE ＝AC ，BE ＝DE ＝BD ，
∵点B 的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），
∴OD ＝2，BD ＝8，
∴AE ＝OD ＝2，DE ＝4，
∴AC ＝4，
∴点C 的坐标为：（4，4）；
故答案为：（4，4）．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
18．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD 于F ，则
PE +PF 的值为 ．
【分析】根据矩形的性质和三角形的面积求出S △AOD ＝S △DOC ＝S △AOB ＝S △BOC ＝S 矩形ABCD ＝×6×8＝12，根据勾股定理求出BD ，求出AO 、DO 、根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：连接OP ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠DAB ＝90°，AC ＝2AO ＝2OC ，BD ＝2BO ＝2DO ，AC ＝BD ，
∴OA ＝OD ＝OC ＝OB ，
∴S △AOD ＝S △DOC ＝S △AOB ＝S △BOC ＝S 矩形ABCD ＝×6×8＝12，
在Rt △BAD 中，由勾股定理得：BD ＝＝＝10，
∴AO ＝OD ＝5，
∵S △APO +S △DPO ＝S △AOD ，
∴×AO ×PE +×DO ×PF ＝12，
∴5PE+5PF＝24，
PE+PF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形面积，矩形的性质，勾股定理的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，等底等高的三角形面积相等．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（8分）计算：
（1）3﹣+﹣
（2）（﹣）2+2×3
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+﹣3
＝﹣；
（2）原式＝2﹣2+3+6
＝5﹣2+2
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（8分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长．
【分析】根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC＝AB，再根据正方形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴正方形ACEF的周长是16．
【点评】本题考查菱形与正方形的性质，关键是根据已知可求得△ABC是等边三角形．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点．求证：四边形AP1CP2是平行四边形．
【分析】利用平行四边形的性质，结合条件可证得△ABP1≌△CDP2，则可求得AP1＝CP2，同理可证得CP1＝AP2，则可证得结论．
【解答】证明：∵P1、P2是对角线BD的三等分点，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BP1＝DP2且AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABP1＝∠CDP2，
在△ABP1和△CDP2
∴△ABP1≌△CDP2，
∴AP1＝CP2，
同理可证：CP1＝AP2，
∴四边形AP l CP2是平行四边形．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．22．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝6，求四边形ABCD的面积．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：连接AC
∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，，
∵AC2+CD2＝20+16＝36，AD2＝62＝36，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴S
＝AB•BC+AC•CD
四边形ABCD
＝×2×4+×2×4
＝4+4．
故四边形ABCD的面积为4+4．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状是解答此题的关键．
23．（8分）小红同学要测量A、C两地的距离，但A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在
A、C同一平面上选取了一点B，测量得到AB＝80米，BC＝20米，∠ABC＝120°，请你帮助小
红同学求出A、C两点之间的距离（参考数据≈4.5，≈4.6）
【分析】过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，首先计算出∠BCD的度数，再根据直角三角形的性质可得BD长，进而可得CD长，然后得到AD长，再利用勾股定理计算出AC长即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBD＝60°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°﹣∠CBD＝30°，
∴BD＝BC＝×20＝10（米），
∴CD＝＝10（米），
∴AD＝AB+BD＝80+10＝90米，
在Rt△ACD中，AC＝≈92（米），
答：A、C两点之间的距离约为92米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝18cm，BC＝20cm，点P从点A 出发，以2cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）经过多少时间，四边形ABQP能成为平行四边形？
（2）在（1）的条件下，连结AQ、BP、AQ和BP垂直吗，为什么？
【分析】（1）当AP＝BQ时，四边形ABQP为平行四边形，由此构建方程即可解决问题；
（2）只要证明四边形ABQP是菱形即可解决问题；
【解答】解：设点P、Q运动时间为t秒，
则AP＝2tcm，CQ＝3tcm，
∴BQ＝BC﹣CQ＝20﹣3t，
（1）∵AD∥BC
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP为平行四边形，
∴2t＝20﹣3t，解得t＝4s
即运动4s时，四边形ABQP为平行四边形
（2）在（1）中，当运动时间为4s时，四边形ABQP为平行四边形，
这时AP＝2tcm＝8cm，则有AP＝AB
∴四边形ABQP为菱形，
∴AQ⊥BP
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（8分）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是点M、N （1）求证：AE＝MN；
（2）若AE＝2，∠DAE＝30°，求正方形的边长．
【分析】（1）连接EC，根据题意可得出四边形EMCN为矩形，故MN＝CE，再由SAS定理得出△ABE≌△CBE，进而可得出结论；
（2）过点E作EF⊥AD，由直角三角形的性质可得出EF及AF的长，再由等腰直角三角形的性质得出DF的长，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：连接EC．
∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠NCM＝∠CME＝∠CNE＝90°，
∴四边形EMCN为矩形．
∴MN＝CE．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠CBE．
在△ABE和△CBE中
∵，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴AE＝EC．
∴AE＝MN．
（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，
∵AE＝2，∠DAE＝30°，
∴EF＝AE＝1，AF＝AE•cos30°＝2×＝．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EDF＝45°，
∴DF＝EF＝1，
∴AD＝AF+DF＝+1，即正方形的边长为+1．
【点评】本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角是解答此题的关键．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不需要证明）
【分析】（1）由BC⊥AC，DE⊥BC，得到DE∥AC，从而判断出四边形ADEC是平行四边形．即
可，
（2）先判断出△BFD≌△CFE，再判断出BC和DE垂直且互相平分，得到四边形BECD是菱形．（3）先判断出∠CDB＝90°，从而得到有一个角是直角的菱形是正方形．
【解答】（1）证明：∵直线m∥AB，
∴EC∥AD．
又∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC．
又∵DE⊥BC，
∴DE∥AC．
∵EC∥AD，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD．
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：∵D是AB中点，DE∥AC（已证），
∴F为BC中点，
∴BF＝CF．
∵直线m∥AB，
∴∠ECF＝∠DBF．
∵∠BFD＝∠CFE，
∴△BFD≌△CFE．
∴DF＝EF．
∵DE⊥BC，
∴BC和DE垂直且互相平分．
∴四边形BECD是菱形．
（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．
理由是：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，解本题的关键是四边形BECD是菱形．。