高二数学 6.2 算术平均数与几何平均数同步辅导教材
【优秀教案】高中数学第二册上第六章不等式：62算术平均数与几何平均数.docx
课题：愆术年他做与e侮年临敌教学目的：1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“2”取等号的条件是：当且仅当这两个数和等.3.通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如:a>b, c>d,是同向不等式.异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：a>b, c<d,是异向不等式.2.不等式的性质：定理1：如果a>b,那么b<a,如果bva,那么a>b.（对称性）即：a>b=>b<a； bvana>b定理2：如果a>b,且b>c,那么a>c・（传递性）即a>b, b>c 二> a>c定理3：如果a>b,那么a+c>b+c.即a>b => a+c>b+c推论：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.（相加法则）即a>b, c>d => a+c>b+d ・定理4：如果a>b,.且c>0,那么ac>bc；如果a>b,且cvO,那么ac<bc.推论1如杲a>b >0,且c>d>0,那么ac>bd.（相乘法则）推论2 若a >/?>（）,^\a n >b n（n e N且n> 1）定理5若a>b>0,贝1曲〉咖（mN且T?〉1）二、讲解新课：1.重要不等式：如果％e R,那么/ +b2 > 2〃（当且仅当a = b时取”=”号）证明：a2 +b2 - lab = (a -Z?)2当a工创寸,(a -疔〉0,当^ =刿寸,(a - b)2 = 0, 所以，(a-&)2 >0,即(a2 +b2}>2ab.由上面的结论，我们又可得到2・定理：如果a,b 是正数，那么凹 > 陌(当但仅当a = 〃时取7号).2证明：V (V^)2+(V^)2 >2V^,/. a+ b> 2yf~ab ,即 a + > y[ab— 2显然，当且仅当。
人教版高中数学必修第二册6.2算术平均数与几何平均数教案
第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。
过程：一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
三、推广：定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc cb a ≥++四、关于“平均数”的概念1．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：n a a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数2．点题：算术平均数与几何平均数3．基本不等式： n a a a n+++ 21≥n n a a a 21n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
第06课时§6.2算术平均数与几何平均数(3)
例3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
例4.在△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC的面积
4.求 的最小值.
5.求证：在直径为d的圆的内接矩形中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于 .
6.已知△ABC内接于单位圆，且（1+tanA）（1+tanB）=2，
1求证内角C为定值②求△ABC面积的最大值.
7.已知向量 ， ， ， ，且 与 之间有关系式： ，其中k＞0．
①试用k表示 ；②求 的最小值，并求此时 与 的夹角 的值．
第06课时§6.2算术平均数与几何平均数（3）
学习目标：①应用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理解决一些简单的应用问题；
②通过本节课学习，培养对数学的理解能力和应用能பைடு நூலகம்.
重点难点：利用均值不等式解决应用问题.
例题精讲：
例1.一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.问：这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
为相等的两部分，且夹在AB与BC之间线段EF为最短.求EF长.
随堂训练：
1.已知0<x<1，则x(3-3x)取最大值时x的值为[ ]
A.1/3 B.1/2C.3/4D.2/3
2.下列函数中最小值为4的是[ ]
A. B.
C.y=3x+4·3-xD.y=lgx+4logx10
3.已知lgx+lgy=1,则M= 的最小值=.
高二数学上 6.2 算术平均数与几何平均数(一)教案 旧人教版
6.2 算术平均数与几何平均数(一)教学要求：使学生掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理，并能运用它们解决一些有关问题。
教学重点：应用定理解决有关问题。
教学难点：定理证明理解。
教学过程：一、复习准备：1.比较2(2x －y)与x 2＋y 2＋5的大小。
2.已知x ≠y ，比较x 2＋y 2与2xy 的大小3.已知a 、b ∈R +，比较b a ＋ab 与2的大小 4.知识回顾：作差法；变形手段：因式分解、配方法、非负数的和二、讲授新课：1.教学定理及推论的证明及简单应用：①引入：不等式的除了5条定理和3条推论以外，还要用到一些基本的不等式。
… ②给出定理1：a 2＋b 2≥2ab③讨论：什么情况下定理1中不等式取等号？④练习：Ⅰ.求证x(y 2＋z 2)＋y(z 2＋x 2)＋z(x 2＋y 2)≥6xyz （变:x,y,z 不全等） Ⅱ.已知a 、b ∈R +，求证：2b a +≥ab ⑤提出定理1的推论，并讨论什么情况下取等号？并用几何意义理解：圆的半径不小于半弦。
⑥定义：算术平均数na a a n +++ 21，几何平均数n n a a a 21，其中a 1、a 2、…、a n 均为正数，n>1且n ∈N 。
⑦试用平均数的概念叙述定理1的推论。
⑧练习：利用推论证明复习准备题中的3小题。
2.教学例题：①出示例：已知x 、y ∈R ，x ＋y ＝S ，xy ＝P 。
若P 一定，则当 时，S 值最 为 ；若S 一定，则当 时，P 值最 为 。
②学生口答各空，并试用均值不等式分析其结果。
③练习：用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是 ；若要围出一块100米2的场地，则绳子最短为 。
三、巩固练习：1.已知a 、b 、c 、d 是不全相等的正数，求证：(ab ＋cd)(ac ＋bd)>4abcd2.课堂作业： 书P11 练习1、2、3题。
6.2 算术平均数与几何平均数
一、基础知识
+ 1、算术平均数：如果 a , b ∈ R ，那么 、算术平均数：
术平均数。 术平均数。
a , b ∈ R + ，那么 2、几何平均数：如果 、几何平均数：
a+b 2
叫做这两个正数的算 叫做这两个正数的几
何平均数。 何平均数。
ab
3、定理：如果 a , b ∈ R + 那么 a 2 + b 2 ≥ 2 ab （当且仅当 、定理： 当且仅当a=b时取 ， 时取 “=”号） 号 4、推论： 4、推论：如果 a , b ∈ R + ，那么 a + b ≥ ab （当且仅当a=b时取 当且仅当a=b时取 2 “=”号） 号 5、基本不等式：若 a , b ∈ R + ，则 、基本不等式： 当且仅当a=b时取“=”号 时取“ 号 当且仅当 时取
2
ห้องสมุดไป่ตู้+ a
的最小值.
结论：满足一正、二定、三相等和定积最大， 结论：满足一正、二定、三相等和定积最大， 积定和最小
三、总结 1、根据不等式的特征能灵活选用基本不等式 、 2、多次用基本不等式必须保持取“=”的一致性 、多次用基本不等式必须保持取“ 的一致性 3、用基本不等式时务必注意一正、二定、三相等 、用基本不等式时务必注意一正、二定、 这三个条件。 这三个条件。 作业： 作业：
a 2 + b2 a + b 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
二、例题选讲
（一）、利用基本不等式证明不等式
设实数x、 满足 例1 设实数 、y满足
1 求证: 求证: log a ( a + a ) < log a 2 + 8
课题 6.2算术平均数与几何平均数(一)
《 学 教 学 通 讯 ￣ ０ ２年 第 ８期 （ 第 １ ３期 ） 数 ２０ 总 ５ 重 庆 ・ｚ ３・
课 题
６ ２算 术 平 均 数 与 几 何 平 均 数 （ ） ． 一
（ 江 省 绍 兴 市 第 一 中 学 ３ ２ ０ ） 虞金 龙 浙 １０ ０
３ 刘 云章 ， 复 ． 学 直觉 与 发 现 ［ ］ 安 徽 ： 徽 教 马 数 ． 安
育 出 版 社 ，９ １ ２ ６ １ ９ ． １
学 问题 动 态 化 ， 杂 的 数 学 问题 简 单 化 ， 正 让 复 真
学 生 成 为教 学 活 动 的 主 体 ， 挥 学 生 的 主 动 性 ． 发
［ 学 目标 ］ 教
（ ）使 学 生 掌 握 基 本 不 等 式 ａ １ ＋ ｂ ≥ ２ ｂ ａ
视 ， 以发 现 有 以下 两 种 情 形 （ 示 图形 ① 、 可 显 ②） 师 ： 图 ① 中 ， 每 一 个 三 角 形 的 直 角 边 从 若 分 别 是 ａ ｂ 则 四块 三 角形 的 面 积 和 ５。 多 少 ？ 、， 是
１ ２ 分 析 问题 ．
师 ：。 ５ ５ 与 的 大 小 如 何 ？
生 ： ＞ ５ｌ ５２
师 补 充 说 明 ： ＋ ｂ ＞ ２ ｂ ａ ａ 师 又 问 ： ② 中 ， 一 个 三 角 形 的直 角 边 ａ 图 每 与 ｂ 等 拼 成 的正 方形 面 积 ５ 与 四块 三 角 形 的 相
利 用 实 物 教 具 ， 物 投 影 仪 及 计 算 机 辅 助 实
教学．
［ 学过 程］ 教
图 ① 图 ②
１ 奠 基 Ｓｌ一 ２ ｂ ａ
师 ： ① 中 的正 方形 面 积 ５ 图 是 多 少 ？
高中数学 6.2算术平均数与几何平均数(第一课时) 大纲人教版必修
6.2 算术平均数与几何平均数●课时安排2 课时●从容说课本小节内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其证明，此定理在解决数学问题和实际问题中的应用等.本小节教学时间约需2课时.1.在公式a 2+b 2≥2ab 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：〔1〕a 2+b 2≥2ab 和ab b a ≥+2成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.例如(-1)2+(-4)2≥2×(-1)×(-4)成立，而)4()1(2)4()1(-⨯-≥-+-不成立. 〔2〕这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号〞这句话的含义要搞清楚.教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当a=b 时取等号，其含义就是a=b ⇒ab b a ≥+2； 仅当a=b 时取等号，其含义就是ab b a ≥+2⇒a=b. 综合起来，其含义就是：a=b 是ab b a ≥+2的充要条件. 2.两个正数的算术平均数与几何平均数定理可以进一步引申出定理“n 个〔n 是大于1的整数〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〞〔见课本P 24“小结与复习〞前的“阅读材料〞〕.ab b a ≥+2的几何意义是“半径不小于半弦〞〔见课本P 9图6-2中的几何意义及其说明〕.当用公式a 2+b 2≥2ab ，ab b a ≥+2证明不等式时，应该使学生认识到，它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法〔将在下一小节学习〕证出的.因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明.3.利用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值.例如课本第3页上的引例，题中的函数x+x1600不是二次函数，要求它在定义域〔0，+∞〕内的最小值，仅用学生过去学过的二次函数的知识是无法解决的，现在从x 与x1600的积为常数〔即它们的几何平均数为常数〕这一点出发，问题很容易解决了. 在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应该使学生注意以下两点：〔1〕函数式中，各项〔必要时，还要考虑常数项〕必须都是正数.例如对于函数式x+x 1，当x<0时，不能错误地认为关系式x+x 1≥2成立，并由此得出x+x 1的最小值是2.事实上，当x<0时，x+x1的最大值是-2，这是因为 x<0⇒-x>0，-x1>0 ⇒-(x+x 1)=(-x)+(-x1)≥2， ⇒x+x1≤-2. 可以看出，最大值是-2，它在x=-1时取得.〔2〕函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.以上两点都是学生容易疏忽的地方，必须予以注意.4.课本在P 10例2之后解决了本章引例中的问题.在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意：〔1〕先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； 〔2〕建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；〔3〕在定义域内，求出函数的最大值或最小值；〔4〕正确写出答案.5.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〔假设a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时取等号〕，这个定理可简称为均值定理.它具体表现在： 〔1〕均值定理的功能在于“和与积〞的互化.假设所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，那么可以考虑使用均值定理.构造运用均值定理解题的常用技巧是拆添项或配凑因式.〔2〕“和定积最大，积定和最小〞，即和为定理，那么可求其积的最大值；反过来，假设积为定值，那么可求其和的最小值.应用此结论须注意如下三点：①各项或各因式均正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值.必要时须作适当的变形，以满足上述前提.总之，用均值定理求函数的最大值或最小值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点，三个必要条件——即一正〔各项的值为正〕二定〔各项的和或积为定值〕三相等〔取等号的条件〕更是相关考题瞄准的焦点.在具体的题目中，“正数〞条件往往从题设中获得解决，“相等〞条件也易验证确定，而要获得“定值〞条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值〞条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解决问题成败的关键.均值定理是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母的取值范围、求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试卷的选择、填空及解答题.●课 题§6.2.1 算术平均数与几何平均数〔一〕●教学目标(一)教学知识点1.重要不等式：假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).2.算术平均数，几何平均数及它们的关系.(二)能力训练要求1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.3.强化训练探究性学习.(三)德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.渗透数学思想方法，激励学生去取得成功.●教学重点1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝〞号).2.如果a、b是正数，那么2ba+为a、b的算术平均数，ab是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〞.即定理：如果a、b是正数，那么2ba+≥ab (当且仅当a＝b时取“＝〞号).3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当〞…时取“＝〞号的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b⇒2ba+＝ab；仅当a＝b时取等号，即2ba+＝ab⇒a＝b.综合起来，就是a＝b是2ba+＝ab的充要条件.●教学难点1.a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.ab≤222ba+，ab≤〔2ba+〕2●教学方法1.启发式教学法2.激励——探索——讨论——发现.●教具准备幻灯片两张第一张：记作§6.2.1 A1.●教学过程Ⅰ.课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值〞比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用.(一)打出幻灯片§6.2.1 A ，请同学们回答：［师］“差值〞比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片§6.2.1 A ，使学生明确：“差值〞比较法的三个重要方面.即①依据是：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(二)不等式性质的巩固及应用(投影片§6.2.1 B)课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片§6.2.1 B ，使学生掌握以下不等式的基本性质：(1)反对称性a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；〔3〕可加性a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；(4)可积性a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；(5)加法法那么a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(6)乘法法那么a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；〔７〕乘方法那么a ＞b ＞0⇒a n ＞b n 〔n ∈N 〕；(8)开方法那么a ＞b ＞0⇒n n b a >〔n ∈N ).为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n .［师］此题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成此题证明过程.［生］〔a m ＋b m 〕－〔a m －n b n ＋a n b m －n 〕＝〔a m －a m －n b n 〕＋〔b m －a n b m －n 〕＝a m －n 〔a n －b n 〕＋b m －n 〔b n －a n 〕＝〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕∵m ＞n ＞1，a ＞0，b ＞0∴当a ＞b ＞0时，那么a m －n ＞b m －n ，a n ＞b n∴〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＞0当a ＝b ＞0时，那么〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＝0当b ＞a ＞0时，那么b m －n ＞a m －n ，b n ＞a n∴〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＞0综上所述，当a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n 时，(a m -n -b m -n )(a n -b n )≥0即a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n .下面，我们利用不等式的性质，研究推导以下重要的不等式.Ⅱ.讲授新课重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab 〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式.［生］a 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝〔a －b 〕2∵a ，b ∈R∴当a ＝b 时，a －b ＝0 即a 2＋b 2＝2ab当a ≠b 时，a －b ≠0∴〔a －b 〕2＞0 即a 2＋b 2＞2ab综上所述：假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab 〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).［师生共析］很明显，在此不等式中：a ＝b ⇔a 2＋b 2＝2ab .即当a ＝b 时取等号，其含义是a ＝b ⇒a 2＋b 2＝2ab ；仅当a ＝b 时取等号，其含义是a2＋b 2＝2ab ⇒a ＝b .定理 如果a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号). ［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝〞号)〞为依据完成证明.(把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程).［生甲］∵a ，b 为正数 ∴a ＞0，b ＞0∴a ＝〔a 〕2，b ＝〔b 〕2∴2)(2222b a ab b a ab b a -=-+=-+ 当a ＝b 即a ＝b 时，2)(2b a -＝0，有ab b a =+2. 当a ≠b 即a ≠b 时，2)(2b a -＞0，有ab b a >+2 综上所述，当a 、b 为正数时，有ab b a ≥+2(当且仅当a ＝b 时取“＝〞号). ［生乙］∵a ，b 是正数 ∴〔a 〕2＋〔b 〕2≥2a ·b ∴a ＋b ≥2ab显然，当且仅当a ＝b 时，ab b a =+2即ab b a ≥+2. 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 下面，我们给出定理：“如果a 、b 是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号〕〞的一种几何解释(如下图)以a ＋b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，ＣB ＝b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即CD ＝ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.［例题］：〔a ＋b 〕〔x ＋y 〕＞2〔ay ＋bx 〕，求证：2≥--+--yx b a b a y x . ［师］此题结论中，注意yx b a b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故此题应从条件出发，经过变形，说明y x b a b a y x ----与为正数开始证题.(在教师引导，学生积极参与下完成证题过程)［生］∵〔a ＋b 〕〔x ＋y 〕＞2〔ay ＋bx 〕∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx∴ax －ay ＋by －bx ＞0∴〔ax －bx 〕－〔ay －by 〕＞0∴〔a －b 〕〔x －y 〕＞0即a －b 与x －y 同号∴yx b a b a y x ----与均为正数∴yx b a b a y x y x b a b a y x --⋅--≥--+--2＝2(当且仅当y x b a b a y x --=--时取“＝〞号) ∴yx b a b a y x --+--≥2. ［师生共析］我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“ab b a ≥+2〞时，必须使a 、b 满足同为正数.此题通过对条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断y x b a b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.Ⅲ.课堂练习1.a 、b 、c 都是正数，求证“〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥8abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2〔a ＞0，b ＞0〕灵活变形，可求得结果.答案：∵a ，b ，c 都是正数∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0c ＋a ≥2ac ＞0∴〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥2ab ·2bc ·2ac ＝8abc即〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥８abc .2.x 、y 都是正数，求证： (1)yx x y +≥2； (2)〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥8x 3y 3. 分析：在运用定理：ab b a ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.答案：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)xy y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0x 2＋y 2≥222y x ＞0x 3＋y 3≥233y x ＞0∴〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥2xy ·222y x ·233y x ＝8x 3y 3 即〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥8x 3y 3.3.求证：〔2b a +〕2≤222b a +. 分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明此题的关键.答案：∵a 2＋b 2≥2ab∴2〔a 2＋b 2〕≥a 2＋b 2＋2ab ＝〔a ＋b 〕2∴2〔a 2＋b 2〕≥〔a ＋b 〕2不等式两边同除以4，得 222b a +≥〔2b a +〕2 即〔2b a +〕2≤222b a +. (探究性学习——点击高考)本部分的设计坚持从“算术平均数与几何平均数〞这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能.以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能.〔注：为节省时间，本部分可借助多媒体课件完成〕题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14 m 的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126 m 2的厂房〔不管墙高〕，工程造价是：〔1〕修1 m 旧墙费用是造1 m 新墙费用的25%；〔2〕拆去1 m 旧墙用所得材料来建1 m 新墙的费用是建1 m 新墙费用的50%；问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？[师]看上面的问题，同学们如何解决？〔学生探索——讨论——分析——归纳〕[生]从题设条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数〔即建立数学模型〕，然后用二元均值不等式求得最小值.[师]同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？〔问题激励，语言激励，生解答，师欣赏〕[生甲]设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14-x(m)修新墙.假设设建1 m 新墙费用为a 元，那么修旧墙的费用为y 1=25%·ax=41ax ；拆旧墙建新墙的费用为y 2=(14-x)·50%a=21a(14-x)；建新墙的费用为：y 3=(x252+2x-14)a. 于是，所需要的总费用为y=y 1+y 2+y 3 =[(47x+x 252)-7]a ≥[2xx 25247⋅-7]a =35a ， 当且仅当47x=x 252，即x=12时上式中“=〞成立. 故保留12 m 旧墙时总费用为最低.[师]很好！我们学习公式的目的是应用它能解决问题.此题中我们巧用了“a+b ≥2ab (a>0，b>0)〞达到解题目的.请同学们想一想：“a+b ≥2ab (a>0，b>0)〞还有些什么变形形式呢？[生乙]针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习：a+b ≥2ab (a>0，b>0)；ab ≤2b a +(a>0，b>0)； ab ≤(2b a +)2(a>0，b>0)； a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R )； ab ≤222b a +(a,b ∈R ). 〔以上公式变形对比记忆，区别异同〕.ab b a +≥2(a>0，b>0). [师]棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用.同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？[生〔齐〕]能，我们自己编！[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！[问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、激励下帮助个别学生解决问题.经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题〔学生的创新思维进一步得到升华〕摘录下来供大家在交流中得到解决][生丙]我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案.方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%〔其中p>0,q>0〕；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价2q p +%，第二次提价2q p +%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A 小组同学说明理由.〔经全班同学积极探究，A 小组同学信心百倍，做出解答〕.[生〔A 小组〕]设某种商品提价前的价格为a ，那么两次提价后的价格分别为：方案甲：a(1+p%)(1+q%)；方案乙：a(1+q%)(1+p%)；方案丙：a(1+2q p +%)2. 当p=q 时，三种方案提价一样多；当p ≠q 时，由二元均值不等式，得 (1+p%)(1+q%)<(1+2q p +%)2. 所以，方案丙提价多，甲、乙提价一样多，都比丙小.[生〔B 小组〕]我们组编的题目是：某单位投资3200元建一仓库〔长方体状〕，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，第m 长造价为40元，两侧墙砌砖，每m 长造价为45元，顶部每m 2造价为20元，试求：〔1〕仓库底面积S 的最大允许值是多少？〔2〕为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 我们B 组同学邀请E 同学回答.[生E]设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，那么有S=xy.由题意可知：40x+2×45y+20xy=3200，∴3200=40x+90y+20xy.应用二元均值不等式，得3200≥2y x 9040⋅+20xy=120xy +20xy =120S +20S ，∴S+6S ≤160.即(S +16)(S -10)≤0， ∵S +16>0， ∴S -10≤0，从而S ≤100.因而S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x=90y ，而xy=100，由此解得x=15，即铁栅的长应是15 m.[师]同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性〔积极培养同学们学数学、用数学的思想意识〕，关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题〔这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题〕.〔同学们创设的其他问题，可作为课后作业再次激励学生去探索〕..专业. Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数〔2b a +〕，几何平均数〔ab 〕及它们的关系〔2b a +≥ab 〕.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤〔2b a +〕2. Ⅴ.课后作业(一)课本P 11习题6.2 2、3.(二)1.预习内容：课本P 10～11例1，例2.2.预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式：a 2＋b 2≥2ab ；2b a +≥ab 〔a ＞0，b ＞0〕的应用主要表达在两个方面：其一，是用于证明不等式.其二，是用于求一些函数的最值：设x 、y 都是正数，(1)假设xy ＝P 是一个定值，当且仅当“x ＝y 〞时，x ＋y 有最小值2P ；〔2〕假设x ＋y ＝S 是一个定值，当且仅当“x ＝y 〞时，xy 有最大值41S 2. ●板书设计。
高二数学-6.2算术平均数与几何平均数
点拨 利用均值不等式求最值时，首先应对目标式进行观察、分析，如果不能直接运用均值不等式，则应考虑对目标式进行拼凑、分拆等变形．当变形后条件具备时，则问题可解．
点拨 解决条件最值问题，要认真分析条件和目标式之间的联系与差异，由此找出对目标式进行变形的方向，必要时也可以将条件变为更直观的形式．
如果在它的定义域内不具备运用均值不等式的条件，则可讨论其单调性，从而求其最值．事实上，f（x）在（0，a）上是减函数，在［a，＋∞］上是增函数，这一结论对求与本例类似的问题大有帮助。
（1）万元时，企业年利润最大，最大利润为多少?
［解析］年利润W＝年销售收入－生产成本－广告费，其中年销售收入＝销售量×单价．明白了这些关系即可求解．
点拨 在应用平均值不等式解决实际问题时，要注意：
（1）认真审题，理解题意，设出变量，把要求最值的变量定为目标函数；
解题时，应注意对式子进行变形，凑配出定理或推论应满足的条件，这是常用的方法与技巧，在连续多次使用定理或推论时，“＝”号成立的条件是每次使用时“＝”号都能取得到，即各次取“＝”号的条件应是能相容的．
【难点】本节的难点是均值不等式的常见的变形后的形式以及它们的应用．如：
【易错点】利用均值不等式求最值时容易忽视其前提条件：一正（目标式中各项必须都是正数）；二定（求和的最小值，要求积必须为定值，而求积的最大值，要求和必须为定值）；三相等（目标式中各项能够相等）．上述三个条件全都满足时，才能直接运用均值不等式求最值，所求的结果才是目标函数的最值．
［错解分析］①中“＝”号成立的条件是x＝y；②中“＝”号成立的条件是2x＝y．二者不能同时成立．
［错解分析］从上述解法中得知，y的最小值不是2，但无法知道y能否取到区间（2，＋∞）内的一切值，所以不能认定所求值域就是（2，＋∞）．
高考一轮数学复习 6-2算术平均数和几何平均数 理 同步练习(名师解析)
第6章 第2节 知能训练·提升考点一：利用均值不等式求最值1．已知x 、y 均是正数，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为( )A ．9B ．18C ．6D ．20 解析：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，(x ＋y )(8x ＋2y )＝8＋2＋(8y x ＋2x y )≥10＋28y x ·2xy ＝18. 当且仅当⎩⎨⎧8y x ＝2xy8x ＋2y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝6时取等号． 答案：B2．(2010·成都检测)下列结论正确的是( )A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x 无最大值解析：A 错误，若0＜x ＜1，则lg x ＜0， ∴lg x ＋1lg x≥2不成立．C 错误，x ＋1x 的最小值是2，当且仅当x ＝1时成立．D 错误，当x ＝2时，取到最大值． 答案：B3．(2010·江西联考)函数f (x )＝5－4x ＋x 22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵x ＜2，∴2－x ＞0.∴f (x )＝(2－x )2＋12－x ＝(2－x )＋12－x ≥2，当且仅当x ＝1时取“＝”． 答案：C考点二：利用的值不等式证明不等式4．(2010·重庆调研)当a ＞b ＞c 时，不等式1a －b ＋1b －c ≥ma －c 恒成立，则m 的最大值为________．解析：令x ＝a －b ，y ＝b －c ，则x ＞0，y ＞0，且a －c ＝x ＋y ， ∴只要m ≤(x ＋y )(1x ＋1y )．∵(x ＋y )(1x ＋1y )≥2xy ·21xy ＝4，∴m ≤4.∴m 的最大值为4. 答案：45．求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )． 证明：∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2， 2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2， 又a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ，b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，∴2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2(ab 2c ＋abc 2＋a 2bc )，即a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥ab 2c ＋abc 2＋a 2bc ＝abc (a ＋b ＋c )． 6．证明下列不等式：(1)a ，b ，c ∈R ＋，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c .(2)a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 证明：(1)由不等式的对称性可知： ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴bc a ＋ac b≥2bc a ·cab＝2c 同理bc a ＋ab c ≥2b ac b ＋abc≥2a将上式同向不等式相加，得 bc a ＋ca b ＋bc a ＋ab c ＋ac b ＋abc ≥2(a ＋b ＋c ) 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c (2)由不等式两边的结构特点，我们联想到重要不等式x 2＋y 2≥2xy及变形不等式：x 2＋y 22≥(x ＋y 2)2(x ，y ∈R )．故可运用它们进行证明．∵a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |≥22(a ＋b )．同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )， c 2＋a 2≥22(c ＋a )．三式相加得 a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．考点三：利用均值不等式解决实际问题7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 为________吨．解析：设一年的总运费与总存储费之和为y ，则y 与每次购买量x 间的函数关系式： y ＝400x·4＋4x ≥2400x·4·4x ＝160. 当且仅当400x ·4＝4x 时取等号，∴x 2＝400，又x ＞0，∴x ＝20(吨)． 答案：208．学校食堂定期从某粮店以每吨1 500元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最多？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．解：设该食堂每x 天购买一次大米，则每次购买x 吨，设平均每天所支付的费用为y 元，则(1)y ＝1x (1 500x ＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1501≥1521，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天支付费用最少．(2)y ＝1x [1500x ·0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1 462(x ≥20)．函数y 在[20，＋∞)上为增函数，所以y ≥20＋10020＋1426＝1451，而1451＜1521，故食堂可接受粮店的优惠条件.1.(2007·海南、宁夏)已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：由等差、等比数列的性质得(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx ＋2≥2y x ·xy＋2＝4，当且仅当x ＝y 取“＝”，故选D.答案：D2．(2008·陕西)“a ＝1”是“对任意正数x,2x ＋ax≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝1时，2x ＋a x ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取等号)所以a ＝1⇒2x ＋ax ≥1(x＞0)．a ＝1为2x ＋a x ≥1(x ＞0)的充分条件．反过来，对任意正数x ，当a ≥18时，2x ＋ax ≥1恒成立，所以2x ＋ax≥1⇒a ＝1.故为非必要条件．故选A.答案：A3．(2008·浙江)已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：解法一：由a ＋b 2≥ab 得ab ≤(a ＋b2)2＝1，又a 2＋b 2≥2ab ⇒2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2⇒a 2＋b 2≥2.故选C.解法二：(特值法)取a ＝0，b ＝2满足a ＋b ＝2，代入选项可排除B 、D.又取a ＋b ＝1满足a ＋b ＝2.但ab ＝1.可排除A.故选C.答案：C4．(2009·天津)设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值是( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1， ∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 答案：B1.若直线2ax ＋by －2＝0(a ，b ∈R ＋)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2解析：直线平分圆，则必过圆心． 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝11. ∴点(1,2)在直线上⇒2a ＋2b －2＝0⇒a ＋b ＝1. (2a ＋1b )(a ＋b )＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋ab ≥3＋2 2. 答案：D。
高中数学第二册(上)6.2 算术平均数与几何平均数(2)
一．课题：算术平均数几何平均数（2）二．教学目标：会运用均值不等式求某些函数的最值，求最大值时注意一正二定三相等.三．教学重、难点：均值不等式的灵活运用.四．教学过程：（一）复习：均值定理.（二）新课讲解：例1．已知y x ,都是正数，求证：①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2， ①当xy p = (定值)时，p y x ≥+2∴y x +p 2≥， ∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤ ∴241s xy ≤， ∵上式当y x =时取“=” ∴当y x =时有2max 41)(s xy =． 说明：①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；②用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.例2．（1）求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值.解：∵1>x ∴0lg >x 010log >x 于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x ，当且仅当lg log 10x x =，即10x =时，等号成立，∴lg log 10x x +)1(>x 的最小值是2，此时10x =．（2）若上题改成10<<x ，结果将如何？解：∵10<<x 0lg <x 010log <x于是2)10log ()lg (≥-+-x x ，从而210log lg -≤+x x ，∴lg log 10x x +(01)x <<的最大值是2-，此时110x =． 例3．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为多少？ 解：∵1->x ， ∴01>+x ， ∴011>+x ， ∴11++x x =112111)1(21111=-=-+⋅+≥-+++x x x x ， 当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x ．例4．已知0a b >>，求216()a b a b +-的最小值．解：由 0a b >>知，0a b ->，∴222()()24b a b a b a b +--=≤=，∴216()a b a b +-226416a a ≥+≥， 上式中两个“≥”号中的等号当且仅当2264,a b a b a==-都成立，即当a b =时，216()a b a b +-取得最小值16．五．课堂练习：（1）若1,0,0a b a b +=>>，求ab 的最值.（2）下列函数中，最小值是2的是 （ ）()A 1y x x =+()B sin csc y x x =+，(0,)2x π∈ ()C 2y =()D 2y = （3）已知01,01,9x y xy <<<<=，求1133log log x y ⋅的最大值，并求相应的,x y 值.六．小结：利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”.七．作业：补充：1．已知0x >，求423x x --的最大值，并求相应的x 值. 2．已知02πθ<<，求tan cot θθ+的最小值，并求相应的θ值.3．已知02x <<，求函数()f x =x 值.4．已知,,3a b R a b ∈+=，求22a b +的最小值，并求相应的,a b 值. 5．已知0,0,31,x y x y >>+=求11x y+的最小值，并求相应的,x y 值. 6．已知1x >，求函数21161x y x x x =+++的最小值，并求相应的x 值.。
高中数学 6.2算术平均数与几何平均数(第二课时) 大纲人教版必修
6.2.2 算术平均数与几何平均数（二）●教学目标 (一)教学知识点1.a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R )；ab ba ≥+2(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取“=”号.2.若a>0，b>0，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，“=”当且仅当a ＝b 时成立.（即两个正数的和为定值时，它们的积有最大值）.3.若a>0，b>0，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，“=”当且仅当a ＝b 时成立.（即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值）(二)能力训练要求1.学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取“=”条件.2.强化双语教学. (三)德育渗透目标本节是探索、研究性课题，始终以学生动口、动脑、动手去探索，应用公式，激发学生的学习动机，激励学生去取得成功.在分析具体问题特点的过程中，通过寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生思维训练，分析问题和解决问题的能力.●教学重点基本不等式a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab（a＞0，b＞0）的应用，应注意：(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy＝4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x＋y有最小值4，因为若都是负数且满足xy＝4，x＋y也是负数，此时x＋y可以取比4小的值.(2)这两个数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.(3)要保证“=”确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.●教学方法激励——探索——讨论——发现●教具准备小黑板或多媒体课件一：记作§6.2.2 A课件二：记作§6.2.2 B课件三：记作§6.2.2 C课件四：记作§6.2.2 D●教学过程[师]Good morning, everyone.（同学们上午好）[生]Good morning, teacher.（老师上午好）[师]Sit down, please.（请坐）Toda y we’ll learn the new lesson.（今天我们开始上新课）Are you ready?（准备好了吗？）[生]Yes.（是的）[师]OK! Now let’s begin. （好！现在开始上课） Ⅰ.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，它的应用非常广泛，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活、变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们共同来探索研究均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课 想一想 公式通（让同学们默读、联想、记忆上一节课所学内容，并加以口头回答，教师打出课件一§6.2.2 A 对照检查其正确性）[师]谁来回答我们上一节课学的定理呢？[生1]a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；[师]它有哪些推广呢？[生2] baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； [生3] 33abc c b a ≥++（a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b＝c 时取“＝”号；a 3＋b 3＋c 3≥3abc （a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号.（注：教师可板书公式）[师]请生3回答，你是如何想到的呢？[生3]我是通过课本目录，看到P 24阅读材料与我们本节内容有关系，通过预习知道的.[师]非常好！请同学们为上述同学能主动积极回答问题加油鼓掌.试一试 寻思路[教师打出课件二§6.2.2 B ，让同学们根据公式试着做如下题目，并通过讨论（同学间讨论、师生间交流），归纳出解决问题的基本思想]［例1］已知x 、y 都是正数，求证：(1)若积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)若和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值41S 2. ［生4］（1）∵x ，y 都是正数 ∴xy yx ≥+2当积xy ＝P 为定值时，有P yx ≥+2， 即x ＋y ≥2P .上式中，当x ＝y 时取“＝”号，故当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .[生5](2) ∵x>0,y>0, ∴x+y ≥2xy ，∴xy ≤2yx + 当和x ＋y ＝S 为定值时，有2S xy ≤，即xy ≤41S 2.上式中，当x =y 时取“=”号，故当x =y 时积x y 有最大值41S 2.(生推导，师欣赏，鼓励学生，生板演，得出)（生积极主动，推导板演，师欣赏，鼓励学生勇于探索） [生6]（方法一）∵a>0,b>0,∴a 2+b 2≥2ab ，∴a 2≥2ab-b 2， ∴a 3+b 3=a ·a 2+b ·b 2≥a(2ab-b 2)+b(2ab-a 2)=a 2b+ab 2. [生7]（方法二）∵a>0,b>0,c>0, ∴a 3+b 3+c 3≥3abc ， 又∵a>0,b>0， ∴a 2b+ab2=a ·a ·b+a ·b ·b ≤33333333b b a b a a +++++=a 3+b 3，即a 3+b 3≥a 2b+ab 2.（师：做完一道题目，如果能够广开思维方向，积极进行多途径探索，将会促使你的解题能力快速提高）（让同学们进行交流、归纳，总结出上述同学们完成题目的基本思想）［生8］对例1的证明告知我们，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.[生9]在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x ＋x1，当x ＜0时，绝不能错误地认为关系式x ＋x1≥2成立，并由此得出x ＋x1的最小值是2.事实上，当x ＜0时，x ＋x1的最大值是－2，这是因为x ＜0⇒－x ＞0，－x1＞0⇒－（x ＋x 1）＝（－x ）＋（－x 1）≥2)1()(x x -⋅-＝2⇒x ＋x1≤－2.同时还可以看出，最大值是－2，它在x ＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.[生10]在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.[师]上述题目的解决启发我们：观察所求式，联想所学公式的结构特征，构造出符合公式结构的形式，转化为利用公式求解（数学思想方法的提炼）练一练 求稳固（打出课件三§6.2.2 C ，让同学们通过课堂练习进一步巩固本节的重要不等式——均值不等式，以达到熟练运用均值不等式解决问题的能力）Ⅲ.课堂练习1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少?[生11]x ≠0⇒x 2＞0，281x＞0. ∴x 2＋281x ≥22281xx ⋅＝1８，当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号. 故x =±3时，x 2+281x的值最小，其最小值是18.2.一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?[生12]（方法一）设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+，当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2Lm ，宽为4L m时菜园面积最大为82L m 2.[生13]（方法二）设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=- ≤82)2(22L x L x =-+（m 2）.当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L（m ）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2.3.设0＜x ＜2，求函数f （x ）＝)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值.[生14]∵0＜x ＜2 ∴3x ＞0，8－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝8－3x 时，即x ＝34时取“＝”号.故函数f （x ）的最大值为4，此时x ＝34.4.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?［生15］设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为x34800m ，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得 ｌ＝150×34800＋120（2×3x ＋2×3×x34800）＝240000＋720（x ＋x1600）.≥240000＋720×2xx 1600＝240000＋720×2×40＝297600. 当x ＝x1600，即x ＝40时，ｌ有最小值297600.故当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.[师]（巡视，欣赏，帮助个别学生解决）［生16］用均值不等式解决应用题时，应按如下步骤进行： （留给学生时间进行讨论交流，让学生归纳出运用均值不等式解决应用题的一般步骤）(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.[师]同学们完成得很好！我们继续看下面的问题： 议一议 谋发展[打出课件四§6.2.2 D 通过学生探索、讨论，进一步加深对均值不等式的理解，而且激励学生参与或自主发现新知识，感受到知识的发生、发展的过程，并认识到“合情推理”是发明、发现新知识（学生变式思维和创新意识得到发展）的重要法宝][探究性学习——点击高考]1.已知a>0，b>0，x>0，y>0，yb xa +=1，求证：x+y ≥(b a +)2. [学生探索、讨论]巧用条件“1=yb xa +”的整体代入，变形后应用二元均值不等式.[生17]（常见的错误解法） 由二元均值不等式，得 1=yb xa+≥2xyab ，即ab xy 2≥，所以x+y ≥2xy ≥2·2ab =4ab ，故x+y ≥4ab .显然上述证法中未出现（b a +）2，证法错了.[师]谁勇敢地再来尝试一下呢？ [生18]（方法一）∵1=yb xa +，∴x+y=(x+y)·1=(x+y)( y b xa +)（巧用条件）=a+b+x y a+y x b ≥a+b+2b yxa x y ⋅=(b a +)2. 即x+y ≥(b a +)2.[生19]（方法二）∵yb x a +=1，∴设xa =sin 2θ，yb =cos 2θ(0<θ<2π)， 则有x=acsc 2θ，y=bsec 2θ， ∴x+y=acsc 2θ+bsec 2θ（巧换元） =a(1+cot 2θ)+b(1+tan 2θ) =a+b+(a cot θ)2+(b tan θ)2≥a+b+2a cot θ·b tan θ =(b a +)2， 故x+y ≥(b a +)2.[生20]（方法三）∵yb xa +=1，∴y=ax bx -=b+a x ab-(x>a)， ∴x+y=x+b+a x ab-（解代消元）=(x-a)+ax ab-+a+b （巧配凑）≥2)()(ax aba x -⋅-+a+b =(b a +)2， 即x+y ≥(b a +)2.[生21]（方法四）若令m=x+y ，与yb x a +=1联立消去y ，就得关于x 的一元方程.可用判别式法证之.具体步骤：略.[师]（证法的灵活关键在于条件的巧用） 2.若x ，y ，z ∈R ，x+y+z=1，求证x 2+y 2+z 2≥31.[学生探索1]从所证不等式是二次式，而已知等式是一次式出发，易想到先对条件平方，再设法用二元均值不等式证之.[生22]（方法一）∵x+y+z=1， ∴1=(x+y+z)2=x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx≤x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2)=3(x 2+y 2+z 2)， ∴x 2+y 2+z 2≥31.[生23]（方法二）3(x 2+y 2+z 2)=x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2) ≥x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)2=1， 即x 2+y 2+z 2≥31.[学生探索2]活用二元均值不等式的关键在于创设条件，进行恰当的分拆或配凑.易知本例所证不等式取等号的条件是x=y=z=31，此时x 2=y 2=z 2=231，则有如下证法. [生24]（方法三）∵31=231+231+231,∴x 2+y 2+z 2=(x 2+231)(y 2+231)+(z 2+231)-31≥2·31x+2·31y+2·31z-31=32(x+y+z)-31=32-31=31， 故x 2+y 2+z 2≥31.[生25]（常见的错误证法）∵x+y+z=1，∴令x=31-t ，y=31-2t ，z=31+3t （t 为参数） 则有x 2+y 2+z 2=(31-t)2+(31-2t)2+(31+3t)2=31+14t 2≥31， 即x 2+y 2+z 2≥31.[师生交流]上述证法，一方面，在条件x+y+z=1中，只要确定了x,y,z 中的两个字母的值，其第三个字母的值也就自然确定了.而另一方面，令x=31-t ，y=31-2t,z=31+3t 后，只要确定了参数t 的值即可确定出x,y,z 的值.这就是上述证法犯了以特殊代替一般的错误.[学生探索3]采用增量换元法. [生26]∵x+y+z=1，∴可设x=31+t 1，y=31+t 2，z=31+t 3，则有t 1+t 2+t 3=0， ∴x 2+y 2+z 2=(31+t 1)2+(31+t 2)2+(31+t 3)2=31+32(t 1+t 2+t 3)+(t 12+t 22+t 32)=31+(t 12+t 22+t 32)≥31， 即x 2+y 2+z 2≥31.[师]同学们能从多角度深化题目：“若x,y,z ∈R ，且x+y+z=1，求证：x 2+y 2+z 2≥31”吗？（让同学们探索、思考、讨论、解决，问题激励、语言激励）[生（齐）]能！[师]需要老师给你们举一些例子吗？[生]NO！我们自己解决！[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！（问题再次激励同学们去探索、创新）（同学们积极探索、讨论，教师巡视、欣赏，指导并帮助个别学生举一些恰当的例子）[生27]从指数方向推广，有如下例子：1.（1）若x>0，y>0，z>0，x+y+z=1，求证：x3+y3+z3≥91.（2）若x，y，z∈R，x+y+z=1，求证：x4+y4+z4≥27 [生28]从项数方向推广，有如下例子：1.（1）若a，b，c，d∈R，a+b+c+d=1，求证：a2+b2+c2+d2≥4（2）若a i∈R(i=1,2,…,n)，a1+a2+…+a n=1，求证：a12+a22+…1.+a n2≥n[生29]从指数和项数两方面进行推广，有如下例子：1.若a>0，b>0，c>0，d>0，a+b+c+d=1，求证：a3+b3+c3+d3≥16 [师]棒极了！更深层次的推广，还请同学们在以后的学习中不断探索创新.[师点]培养学生探究性学习的好习惯，重在点击悟性、打开思路、启迪智慧、授之以法.让学生学会学习、学会思考、学会沟通、学会运用.注重发散思维和聚敛思维训练，脱离题海，给高考“善事”以“利器”之技巧.Ⅳ.课时小结[师]我们一起回忆，小结这节课所学的内容.[生]（总结）本节课我们用均值不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式的和或项的积为定值；三是确定等号能够成立.同时，我们用探究性的学习方法，在分析具体问题特点的过程当中合理运用公式的适当形和具体方式，解决某些实际问题，实实在在地提高数学素质，培养我们的创新能力，能顺利面对新的挑战.Ⅴ.课后作业(一)1.预习：课本P12§6.3.1 不等式的证明.2.预习提纲：(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：作差(或商)→变形→判断差（或商）的符号(差与零或商与1的大小)→得证.（二）做一做肯定行课本P11习题6.2 4、5、7●板书设计。
高中数学第二册(上)6.2 算术平均数与几何平均数(1)
一．课题：算术平均数与几何平均数（1）二．教学目标：1. 能推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2. 理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式.三．教学重、难点：均值定理证明及运用. 四．教学过程： （一）复习：1．用>和<号填空：（1）如果a b >，那么a - b -； （2）如果0a b <<，那么1a1b； （3）如果0a b c >>>，那么c ac b； （4）如果*01,a b n N <<<∈，那么1na1nb 1；（5）如果a b >，那么2c a - 2c b -． （二）新课讲解： 1．基本不等式：定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）． 证明：222)(2b a ab b a -=-+，⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）． 说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =．定理：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+， ∴ab b a 2≥+，即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2．说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +∈；（2）我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2．ab b a ≥+2的几何解释：（如图1）以b a +为直径作圆，在直径AB上取一点C ， 过C 作弦DD AB '⊥，则ab CB CA CD =⋅=2，从而ab CD =，A BD ' DC a b （图1）而半径ab CD ba =≥+2． 例1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222证明：∵c b a ,,为两两不相等的实数，∴ab b a 222>+，222b c bc +>，ca a c 222>+， 以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ 所以，ca bc ab c b a ++>++222．例2．已知,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥． 证明：由,,,a b c d 都是正数，得：02ab cd+≥>，02ac bd+≥>， ∴()()4ab cd ac bd abcd ++≥，即()()4ab cd ac bd abcd ++≥．例322>．0>， 又221x +≠，≠，22=2=>=，22>．五．课堂练习：已知,a b 都是正数，求证：2112a b a b+≤≤≤+．六．课堂小结：,a b 都是正数，,a b 的算术平均数是什么？几何平均数是什么？它们的关系怎样？七．作业：补充：1．已知,a b 都是正数，且a b ≠，求证：2aba b<+； 2．求证：222()22a b a b ++≤； 3．已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥；4．已知,x y 都是正数，求证：（1）2yx xy+≥； （2）223333()()()8x y x y x y x y +++≥． 5．已知0x >且1x ≠，*n N ∈，求证：1(1)(1)2n n n n x x x +++>．。
高二数学 第六章 6.2算术平均数与几何平均数优秀课件
（当且仅当 a b时取“=”）
证明：∵ ( a)2( b)22ab,
∴ ab2 ab.
即： a b ab. 2
当且仅当 a b时, a b ab.
2
称 a b 为 a , b 的算术平均数，
2
称 a b 为 a , b 的几何平均数。
注意：1．这个定理适用的范围：a, b R ;
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小
1
0
.
x1
∴ x 1 = x11 12(x1 ) 1 12 11.
x 1 当且仅当 x 1
1
x 1
x1
即 x0 时 x
x1
1 x 1 有最小值1．
注意：用均值不等式求最值的条件:
一正二定三相等
用均值不等式求最值的规则:
求和造积定,求积造和定
课堂练习
（4）已知
a,b,x,
yR
且
a x
b y
取C使AC=a,CB=b, 过C作弦DD’AB，
则
CD2CACBab,
D
从而 CD ab,
Aa
Cb
B
而半径 abCD ab.
2
当且仅当点C与圆心重合，
D’ 即a=b时，等号成立．
例题：
例1.已知 a,b,cR 求证：
a 2 b 2 c2 a b b c c a .
证：∵ a2 b2 2ab,
b2 c2 2bc,
n a1a2an叫做这n个正数的几何平均数．
2.基本不等式：
a 1 a 2 n a n n a 1 a 2a n 其 中 a 1 、 a 2 、 . . . 、 a n R ， n N * ,
语言表述：
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6.2 算术平均数与几何平均数一、本讲进度6.2 算术平均数与几何平均数二、本讲主要内容 基本不等式：a ，b>0时，2ba +≥ab 的运用。
三、学习指导1、本节给出的两个基本不等式为：①a ，b ∈R 时，a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时“=”号成立）；②a ，b ≥0时，a+b ≥2ab （当且仅当a=b 时“=”号成立）。
这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。
若在非负实数范围之内 ，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab ≤2b a 22+，ab ≤2)2b a (+。
对不等式ab ≤2b a 22+，还有更一般的表达式：|ab|≤2b a 22+。
由高一学习可知，2ba +称为a ，b 的等差中项，ab 称为a ，b 的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。
同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式：当a ，b ，c>0时，a+b+c ≥3abc ，当且仅当a=b=c 时，等号成立，……乃至n 元基本不等式；当a i >0（i=1，2，…，n ）时，a 1+a 2+…+a n ≥nn 21a a a 。
二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，b a a b +≥2，a+a1≥2等。
当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a<0时，可得到a+a1≤-2。
基本不等式中的字母a ，b 可代表多项式。
2、利用二元基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。
在高一已学过了用单调性求函数最大值或最小值。
利用二元基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。
利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。
利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。
常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。
在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。
一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数。
四、典型例题例1、已知a>1，0<b<1，求证：log a b+log b a ≤-2。
解题思路分析：由对数函数可知：b log 1a log a b =，log b a<0，因此由blog 1b log a a +的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。
∵ log a b<0 ∴ -log a b>0 ∴ blog 1b log a a -+-≥2b log 1)b log (a a -⋅-=2∴ log a b+blog a 1≤-2 即 log a b+log b a ≤-2 当且仅当blog 1b log a a -=-，log a 2b=1， log a b=-1时，等号成立，此时ab=1。
例2、已知x ，y ，z 均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。
解题思路分析：这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。
下面关键是凑出因式xyz 和x+y+z 。
对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。
(x+y)(y+z)=xy+xz+y 2+yz=(xy+y 2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz 。
将y(x+y+z)，xz 分别看成是两个因式，得用二元基本不等式： y(x+y+z)+xz=2xz )z y x (y ⋅++=2)z y x (xyz ++=2 当且仅当⎩⎨⎧=++=++1)z y x (xyz xz)z y x (y 时等号成立讲评：通过本题的证明，同学们应该知道基本不等式中的a ，b 不仅指数、字母、单项式，还指多项式，这是数学中的整体思想的一个体现。
例3、（1）已知x>1，求3x+1x 4-+1的最小值； （2）已知x ，y 为正实数，且2y x 22+=1，求2y 1x +的最大值；（3）已知x ，y 为正实数，3x+2y=10，求函数W y 2x 3+=的最值； （4）已知x>0，求函数f(x)=4x+2x9的最小值；（5）已知a>b>0，求函数y=a+b)b a (1-的最小值；（6）求函数y=x(10-x)(14-3x)（0<x<314）的最大值； （7）求函数y=sin 2θcos θ，θ∈(0，2π)的最值。
解题思路分析：这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。
（1） 在分式的位置凑出分母x-1，在3x 后面施加互逆运算：±3原式=(3x-3)+3+1x 4-+1=3(x-1)+1x 4-+4≥241x 4)1x (3+-⋅-=43+4（2）因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤2b a 22+。
同时还应化简2y 1+中y 2前面的系数为21 2y 21x 22y 12x y 1x 222+⋅=+⋅=+ 下将x ，2y 212+分别看成两个因式 2y 21x 2+⋅≤432212y x 2)3y 21(x 22222=++=++ ∴ 2y 21x 2y 1x 22+⋅=+≤243（3）若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，2ba +≤2b a 22+，本题很简单y 2x 3+≤52y 2x 32)y 2()x 3(222=+⋅=+⋅否则，这样思考：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W>0，W 2=3x+2y+2y 2x 3210y 2x 3⋅+=⋅≤22)y 2()x 3(10++=10+(3x+2y)=20∴ W ≤5220=（4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。
分母为x 的二次，为使积的结果在分式位置上出现x 2，应对4x 均匀裂项，裂成两项即可。
f(x)=2x+2x+2x 9≥33236x 9x 2x 23=⋅⋅（5）本题思路同（1）：y=(a-b)+b+)b a (1-≥3b )b a (1b )b a (33=-⋅- （6）配x 项前面系数为4，使得与后两项和式中的x 相消y=31(4x)(10-x)(14-3x)≤2)3x 314x 10x 4(31-+-+=3512)324(313=（7）因式为积的形式，设法凑和为常数，注意到θ+θ22sin cos =1为常数，应对解析式平方。
y>0，y 2=)cos 2(sin sin 21cos sin sin cos sin 22222224θ⋅θ⋅θ=θ⋅θ⋅θ=θθ ≤274)3cos 2sin sin (213222=θ+θ+θ y ≤392例4、已知a ，b 为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=ab1的最小值。
解题思路分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
、法一：1b b230a +-=，1b b 30b 2b 1b b 230ab 2++-=⋅+-= 由a>0得，0<b<15令t=b=1，1<t<16， ab=34)t16t (2t 31t 34t 22++-=-+-∵ t16t +≥t 16t 2⋅=8∴ ab ≤18∴ y ≥181 当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立。
法二：由已知得：30-ab=a+2b ∵ a+2b ≥ab 22 ∴ 30-ab ≥ab 22 令 ab u =则 30u 22u 2-+≤0，25-≤u ≤23 ∴ ab ≤23≤，ab ≤18，y ≥181 评注：在法一，通过消元得到一个分式函数，在分子（或分母）中含有二次式。
这种类型的函数一般都可转化为x1x +型，从而用基本不等式求解。
其处理方法，请同学们仔细体会。
实际上，一般含二次式的分式函数pnx mx c bx ax y 22++++=（a ，b ，c ，m ，n ，p 不全为零）均可用此方法求解。
例5、已知函数cx 1c x )x (f 22+++=（c 为常数）最小值为m ，求证：（1） 当c ≤1时，m=2；（2） 当c>1时，m=)c 11(c +。
解题思路分析：分母与分子是一次与二次的关系，通过换元法可转化为基本不等式型。
令 t c x 2=+，则t ≥c ，t1t t 1t y 2+=+=∵ t1t +≥2，当且仅当t=1时等号成立∴ 当c ≤1时，c ≤1，t=1在函数定义域（c ，+∞）内，y min =2当c>1时，c >1，1c [∉,+∞)，等号条件不能成立，转而用函数单调性求解。
易证函数t 1t +在[c ，∞）上递增t=c ，x=0时，y min =)c 11(c c1c +=+评论：求函数bx xay +=（a>0，b>0，x ∈[c ，+∞），c>0）的最小值时，有下列结论（1） 若c ≤b a ，当且仅当x=b a时，ab 2y min =； （2）若c>b a ，当且仅当x=c 时，bc cay min +=。
例6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
解题思路分析：这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。
在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。
若设污水池长为x 米，则宽为x200（米） 水池外圈周壁长：x2002x 2⋅+（米） 中间隔墙长：x2002⋅（米） 池底面积：200（米2） 目标函数：200802x 200248)x 2002x 2(400y ⨯+⋅⋅+⋅+=1600)x324x (800++=≥448001600x324x 1600=+⋅ 五、同步练习 （一）选择题1、设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a+b=2，则下列不等式成立的是（ ） A 、2b a ab 122+<< B 、2b a 1ab 22+<<C 、12b a ab 22<+< D 、1ab 2b a 22<<+3、若a ，b ∈R ，且ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是（ ） A 、a 2+b 2+c 2≥2 B 、(a+b+c)2≥3 C 、c1b 1a 1++≥32 D 、a+b+c ≤3 4、x>0，y>0，则下列不等式中等号不成立的是（ ） A 、x1x 1x 1x ++≥2 B 、)y 1y )(x 1x (++≥4C 、)y 1x 1)(y x (++≥4D 、2)2y lg x lg (+≤2ylg x lg 22+ 5、在下列函数中，最小值为2的是（ ） A 、5xx 5y +=（x ≠0） B 、x lg 1x lg y +=（1<x<10） C 、y=3x+3-x（x ∈R ） D 、x sin 1x sin y +=（0<x<2π） 6、x ，y ∈R ，x+y=5，则3x+3y最小值是（ ）A 、10B 、36C 、64D 、318 7、已知x>1，y>1，lgx+lgy=4，则lgx ·lgy 的最大值是（ ） A 、2 B 、21 C 、41D 、4 8、设a>0，b>0，a ≠b ，则下列各式中最小的是（ ）A 、b a 1+ B 、ab 21 C 、ab21 D 、22b a 1+ 9、函数x sin 1x sin y +=，x ∈（0，4π]的最小值是（ ） A 、2 B 、2 C 、223D 、不存在 10、已知x>0，y>0，x+y ≤4，则下列不等式成立的是（ ） A 、y x 1+≤41B 、y 1x 1+≥1C 、y x +≥2D 、xy 1≥1 （二）填空题11、若x<0，当x=________时，x3x 24y --=的最小值是__________。