建模以静制动问题情境 发展数学基本思维方法——以“动点问题专题”团队教研为例

备考指南

２０２２年９月下半月

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建模以静制动问题情境㊀发展数学基本思维方法

以 动点问题专题 团队教研为例

◉江苏省如皋市丁堰镇初级中学㊀黄晓兰

１引言

阳春三月,春暖花开,又是一年初中毕业生紧张

的备考阶段,九年级数学学科组成员个个摩拳擦掌,投身到为学生冲刺中考做好服务的工作行列．学科组教师分组分专题编写导学案,再由学科教研组集体通过,对备考的前期工作做好了规划．笔者带过几届毕业班,因此,义不容辞承担了初中数学备考中难啃的骨

头 涉及动点问题的专题．本次学科组教研的重点就是研究 动点问题专题 的导学案,笔者是这次教研活动的中心发言人．以下是本次教研活动的一些做法和要点记录．

２精心规划专题类型,

拟好帮助学生系统备考的导学案

㊀㊀在中考试题中,

动点问题 通常以图形中存在一个或多个动点在某线段或曲线上运动为载体,试题开放性强．这类问题解决方法的切入点是找到特殊点,再通过相关的数学知识灵活解决问题．

研讨片段１:

笔者: 动点问题 的解题关键是以静制动㊁动中

求静．因为它涵盖了诸多的数学思想,如分类㊁转化㊁方程与函数㊁数形结合等,试题突出了对几何图形中动点运动变化的考查．我认为要做好以下三点:

(１)以教材涉及的三角形㊁四边形㊁函数图象等图形为载体,在不同的层面和不同的运动变化方式中让学生学会 动点问题 的数学思维方法,体会图形性质及图形变化是基础,空间观念和合情推理是思维方法的数学建模过程．

(２

)帮助学生打好解决图形在动点运动到不同的特定位置时的基础,以此作为计算推理的突破口,从而感悟㊁观察㊁分析图形变化的思考方法．

(３

) 以不变应万变 是解决数学 动点问题 最有效的思维方式,它蕴含了动态几何的核心问题,帮助学生形成分类㊁转化㊁方程与函数㊁数形结合等数学思想,是备考的重要目标．

教师甲:从你拟定的导学案初稿可以看到,近年来考查的主要内容有点动㊁线动和图形动几种形式．我认为这只是对动态的理解,能不能对题目的知识体系

进行分类呢?

教师乙: 动点问题 专题用题目的知识体系进行

分类,更便于对问题情境的建模,导学案调整为这种形式更好．

教研反思:对同一专题的分类有不同的方法,笔者采用的是对近年来各省市中考中出现的热点进行分类,即点动㊁线动和图形动这三种形式,没有很好地突出知识体系,而是通过题目进行甄别,是考虑到备考复习需要综合运用知识的缘故．其他教师提出需要改进,笔者认为他们提出的建议有道理．可能是笔者对学情估计不准确的缘故．

研讨片段２:笔者:现在我将专题的题目重新分为两大类,一是动点问题中的函数关系类,二是动点问题中以动态几何为主线的压轴题类．然后分成子类型,大家认为怎么样

教师丙:这样分类知识的系统性更强,有利于帮助学生对 动点问题 进行建模．

组长:这种方法比较好,与去年的做法大同小异．现在请大家将导学案的草稿进行相对应的调整．调整好之后,哪位教师再说说你在这两个类型下设立的子类型目标?

教师丁:函数关系类和动态几何为主线的压轴类都可以按草稿中的点动㊁线动和图形动的形式进行相应的分类．

组长:大家有没有其他建议?如果没有,那么,现在可以通过电脑将导学案的草稿进行调整．

笔者重新规划导学案．教研反思:众人拾柴火焰高．的确,经过调整后的导学案知识的系统性更强,比开始的草稿中由点动㊁

线动和图形动的形式为主线(分三个学时完成),再分

为函数关系法的思想和几何推断法的思想进行转化,思路更明了．教学相长,这样调整导学案,可以将例题分为两个课时,然后巩固提升为一个课时．

３精心挑选典型例题,

拟好帮助学生进行数学建模的思路

㊀㊀例题对学生解决实际问题起到了引领和示范的作用,还可以很好地帮助学生进行智力训练．专题中的

２

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备考指南

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例题既是学生获取数学知识的重要途径,也是在解题过程中,获得技能技巧的关键渠道．因此,在备考专题教学中精心挑选典型例题,充分发挥其巩固数学概念㊁运用法则或性质㊁规范解题格式等作用,使学生养成良好的数学思维品质,确保在中考时会做的题一分不丢．

研讨片段３:

笔者:按照各位同仁的建议,现在将此专题分为

两大类．第一类是 动点问题 函数关系法的思想,再细

分为三个小类．其中第一小类用函数的思想解决 点动 问题,例题选用的是２０１９年山东省临沂市中考数学模拟试卷中的第１４题．

图１例１㊀如图１,已知点A 是直线y ＝x 与反比例函数y ＝

k

x

(k ＞０,x ＞０)的交点,B 是y ＝k

x

的图象上另一点,B C 平行于

x 轴,

交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发,沿O ңA ңB ңC (图中 ң

所示路线)匀速运动,终点为C ,过点P 作P M 垂直于x 轴,P N 垂直于y 轴,垂足分别为M ,N ．设四边形O M P N 的面积为S ,点P 运动的时间为t ,则S 关于t 的函数图象大致为图２中的

．

图２

笔者选本题的原因是此题主要涉及了反比例函

数的定义㊁图象㊁性质㊁解析式,以及反比例函数的应用等,考查学生的综合分析和应用能力．关于这些知识点,可以在课堂教学过程中进行归档．笔者给出下列一些解题方法,帮助学生对类似的问题情境进行建模:

(１)若证明的线段在某一四边形中,则利用特殊四边形(如例１中是矩形,其面积为点P 的坐标的积等)的性质,通过量的转化㊁等量代换进行求证;

(２

)若证明的线段在某个三角形中,则利用等腰㊁直角三角形的性质(如勾股定理㊁三角形的面积是两直角边积的一半等)进行求证;(３

)若证明的线段在两个三角形中,则通过三角形全等的判定及性质进行证明;

(４

)若出现三条线段的数量关系,则需要转化为两条线段进行探究．

教师乙:例１选择的是２０１９年山东省临沂市中考数学模拟题,能否找一道本省地市级近年的中考试题?

教师丙:我选了２０２０年江苏省无锡市中考数学

试卷第２８题,

略有改动,大家看看怎么样．图３例２㊀在平面直角坐标系中,O

为坐标原点,直线O A 交二次函数

y ＝１４

x ２

的图象于点A ,

øA O B ＝９０ʎ

,点B 在该二次函数的图象上,动点P 在x 轴的上方,过点P 作平行于x 轴的直线交直线O A 于点M ,交直线O B 于点N ,以线段O M ,O N 为邻边作矩形O M P N ．

(１

)若点P 的纵轴坐标是m ,点A 的横坐标为８．①用含m 的代数式表示点M 的坐标．

②点P 能否落在该二次函数的图象上若能,

求出m 的值;若不能,请说明理由．

(２)当m ＝２时,若动点P 恰好落在该二次函数的图象上,请直接写出此时满足条件的所有直线O A 的函数表达式．

教研反思:通过例题的精心挑选和对比,学科组认为还是原有的例题具有代表性,在备考中更能发展学生的思维能力,因为原例题要分成O ңA ,A ңB ,B

ңC 三段进行分析,

体现了数学分类讨论的思想．学生要从四边形O M P N 的面积S 思考,若点P 的坐标是(m ,n ),则S ＝m n ．O ңA 时,y ＝x ,

此时S ＝m n ＝m ２(二次曲线);A ңB 时,y ＝

k

x

,S ＝m n ＝k ;而B ңC 时y ＝k ᶄ(k ᶄ是常数),故S ＝m n ＝k ᶄm (斜率为k ᶄ的直

线)．

以静制动 对动点P 的运动形成的四边形O M P N 的面积进行思考．４写在最后

总之,对中考备考专题进行团队教研,教师针对

自己负责的专题进行深入理解与设计．在活动中,通过导学案的草案研究教什么㊁练什么㊁怎样教㊁怎样练．同时,导学案以电子文稿的形式呈现,教师个人补充自己在教学实践中的思考,以及具体的㊁不同的做法．通过学科组团队的教研活动,可以充分发挥每个人的智慧,挖掘每个人的潜能,节省时间,形成合力,从而打造复习备考的高效课堂．

参考文献:[１

]蒋智东．指向学生数学思维素养发展的教学实践与思考[J ]．中学数学月刊,２０２０(９):４８Ｇ５１．[２]鲍松菊．关注过程方法凸显思维发展[J ]．初中数学教与学,２０１９(６):３３Ｇ３４．[３

]张忠华．初中数学总复习教学中拓展型问题的设计与思考

以定三角形基架下的动点问题为例[J ]．上海中学数学,２０１５(４):１７Ｇ１８,３２．F

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