第二节 刚 体 转 动

第2节
第2节
1、垂直轴定理 如果物体是薄片，沿Z轴的厚度可看作零 因为： IX= ρy2 dv IY= ρx2 dv 所以 ： IZ = IX + IY 上式仅对于薄片才成立，称垂直轴定理。 Z O
第四章
x R y P
Y
X
第2节
2、平行轴定理 Steiner’s theorem 物体相对于两平行轴的转动惯量之间有 一个很简单的关系式。 设 Z 为一任意轴，ZC为一平行于 Z 且经 过物体质心的轴， IZ = IC + md2 ( d 是二轴之间的间隔 ) 式中 IZ 和 IC 分别为该物体相对于 Z轴和 ZC 轴的转动惯量，m是物体的质量。 ZC Z d
第四章
第2节
MgR sin - f R = MRa f R = MK2 a / R
（4）
第四章
（5）
（4）式 +（5）式 ： MgR sin = MRa + MK2 a / R
= MRa ( 1 + K2/R2 )
得： a = g sin /(1 + K2/R2 )
B
v2 = 2aS
v

h
Leabharlann Baidu
A = 2[gsin/(1+K2/R2 )] [h/sin ]
第四章
第2节
第四章
例如：物体受重力作用而下落时，EP= Mgh ，其中 h是物体质心相对于一水平参照而的 高度，用而总能量为： E = MVC 2/ 2 + ICω2/2 + Mgh = 恒量
第2节
例4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度h 处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一 物体在斜面底部的速度。 N 解：因为静摩擦力不作功， f B 所以总能量守恒。 起始B点： h v 总能量 E = Mgh Mg A 在斜面底部： E = MV2/ 2 + ICω2/2 = MV 2/ 2 + MK2 V2/R2/2 = M (1 + K2 /R2 ) V2/2 式中V为质心平动速度，K为回转半径。
物 体 作 平 动
c
a b
物 体 作 平 动
c
a b
物 体 作 平 动
c
a b
物 体 作 平 动
c
a
b
物 体 作 平 动
c a
b
物 体 作 平 动
c a
b
物 体 作 平 动
c
a b
物 体 作 平 动
c
a
b
物 体 作 平 动
c
a b
物 体 作 平 动
c
a b
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(2) 转动 Rotation： 刚体中的所有质点都绕一轴线 ( 称为 转轴 ) 作圆周运动。轴线可固定，也可因运 动而改变方向。 (3)一般运动： 可以看成是质心平动和绕通过质心的轴 转动的合成。 质心的运动和单个质点的运动完全一样 ，该质点的质量等于物体的质量，而它受的 作用力就等于作用于该物体的外力之和。这 种运动可按照第三章中所阐述的质点动力学 方法来分析，因而并不涉及什么新方法。
第2节
第二种：与(a)中相同， Y YC 但积分范围是从 -L/2 A x 到 + L/2 ，我们把这 dx 个解留给学生去完成。 C B S L/2 第三种： X 利用平行轴定理 L/2 IA= IC + md2 = IC + m( L/2)2 ( d= L/2) 得： IC = IA - m( L/2)2 = mL2/3 - mL2/4 = mL2/12
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(b)计算通过质心YC 轴的转动惯量(三种方法) 第一种：分段两段，每一段的质量为 m/2 ， 长度为L/2，它们绕YC 轴的转动惯量为
Y
A YC x C L/2 L/2
2
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dx
S B
X
1 1 1 1 2 IC 2 m L mL 3 2 2 12
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花样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速
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ω
第2节
[ 例 ] 在图示的装置中求 滑轮可视作均质圆盘。 T1
m r
T 1 , T 2 ,a ,第四章 β. β a T2 T2 m2
T1 m1 T2 r
T2 m2
a
m1 m1 g T1
m +
m2 g
T 1 r = Iβ m2g T 2 =m2a T 1 m 1g = m 1a
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[ 例 ] 一质量为M长度为L的均质细杆可 绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂 状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和 杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一 起。 试求： 1. 碰撞后系统的 角速度； 2. 碰撞后杆子能 上摆的最大角度。 3L 4 m v
第四章
θ
L
M
第2节
碰撞过程角动量守恒,得： 3 mv 4 L = ( I m+ I M )ω
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2 3 2 1 I M = 3 M L I m = m ( 4 L) 3 mv L 3 mv ω = 9 4 2 1 2 = 94 1 ML m L M L m L +3 +3 16 16
3L 4 M θ m L
v
上摆过程机械能守恒，得： 2 1 3 L θ ) +M g 2 ( 1 cosθ ) ω = mg 4 L (1 cos 2 ( I M +I m )
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ω1
I0
第2节
由角动量守恒 ( I 0 +2 m r 1 ) ω 1= ( I 0 +2 m r 2 )ω 2
2 2
第四章
m
m
r1
r2 I0
( I 0 + 2m r 1 ) ω 2= ( I 0 + 2 m r 2 ) ω 1 2
2
ω1
Δ E k=
1 2
1 2
1 2
( I 0 + 2m r 22 )ω 22
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一、定轴转动的刚体角动量 1、定轴转动：转轴相对惯性系是固定不动 2、刚体定轴转动角动量： 设刚体以角速度ω绕 Z 轴转动，而圆心 位于 Z 轴上。 Z 质点 Ai ω vi 速度 vi =ω ri Ri vi =ω Ri 质点 Ai 相对于 Ai Liz O点的角动量： i L Li = mi ri vi i ri Li = mi ri vi O
第2节
第四章
第二节 刚 体 转 动
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§4.2 刚体转动 Rotation of a rigid body
第四章
1、刚体 Rigid Body ： 物体在外力或外力矩作用下，其组成质 点之间的距离恒保持一定。 2、刚体运动 = 平动 + 转动 (1) 平动 Translation： 刚体中的所有质点都沿平行的路径运 行，因而刚体中任意两点的连线始终保持与 其初始位置平行。
θ max= arc
3 9 1 1 ( 4 m + 2M ) ( 16m + 3M )g L cos 3 1 m ( 4 + 2 M )g L
m v 16
9
2
2
第2节
[ 例 ] 人和转盘的转动惯量为 I 0 , 哑铃 的质量为m , 初始转速为ω 1 求：双臂收缩 由 r 1变为 r 2 时的 m m 角速度及机械能 r2 增量。 r1
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平行于 Z 轴的分量： Liz= mirivi cos(/2 - i) = miri sini Ri= mi Ri2 转动物体的总角动量沿转动轴 Z 的分量： LZ = ∑i Liz = ∑i mi Ri2 = IZ Z 式中 IZ =∑i mi Ri2 ω 称为物体相对于 vi Z轴的转动惯量， Ri 物体越扩展，转 A i 动惯量就越大。 Liz i 物体的总角 Li r i 动量 L =∑ L ,
( I 0 + 2m r 1 )ω 1
2 2 2 2
2 0 I m r 1 = ( I 0 +2 m r 1 )ω 1( + 2 2 m r 2 I0 + 2 非保守内力作正功 ，机械能增加
I
1 )＞0
第2节
3、一般运动 = 质心平动 + 绕质心转动 刚体总动能：EK = MVC 2/ 2 +EKC = MVC 2/ 2 + ICω2/2 ， 式中 M 是总质量，VC 是质心的速度，IC 是 相对于通过质心的转动轴的转动惯量。 由于刚体运动时，刚体内质点之间的距 离并不改变，内势能 Epi 保持不变。 刚体总能量：E = EK + EP = MVC 2/ 2 + ICω2/2 + EP = 恒量 其中 EP 是于外力相关联的势能(这里将势能 的脚标“e”去掉了)。
第四章
第2节
回转半径 Radius of gyration K：
K I m 或 I mK
2
第四章
物理意义： K表示某点至转轴的距离，该点集中了 物体的全部质量而又不改变物体的转动惯量 对于均匀物体而言， K由物体的几何形 状所完全决定。 我们可将它列成一表，以便用来计算转 动惯量。表4-1中列出若干种几何图形的回转 半径的平方值。
= 2g h /(1+K2/R2 )
第2节
四、转动的动能和力矩作功 1、定轴转动动能 EK = ∑i mivi 2 /2 = ∑i mi(ωRi )2 /2 = (∑i miRi 2 )ω2/2 EK = Iω2/2 2、力矩作功 动能定理：dA = dEK = d ( Iω2/2 ) = Iωdω = I (d /dt)·dω = Iβd = MZ d dA = MZ d
m
第2节
例4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度h 处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一 物体在斜面底部的速度。 N 解：质心定理： f B Mg sin - f = Ma （1） 质心转动定律： h v f R = IC =MK2 （2） Mg 角量与线量关系： A a=R （3） 式中K为回转半径。 （1）式 R： MgR sin - f R = MRa （4） （3）式代（2）式： f R = MK2 a / R （5
第2节
如果刚体所受外力矩 MZ= 0，则LZ= Iω = 常量，即刚体对该轴的角动量保持不变。 由于刚体转动惯量 I 为常量，所以ω也是 恒定的，即刚体以恒定角速度绕该轴转动， 这可以看作是转动的惯性定律 如果物体的转动惯量是可变的，则条件 IZω=常数要求：如果 I 增加(或减少)，则ω就 应减少(或增加)。 例如：舞蹈演员，溜冰运动员等在旋转的时 候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两 臂改回靠近身体使自己的转动惯量迅速减少 ，因而旋转速度加快。
第2节 2
K
L R
第四章
R2/2 R2/4+L2/12
(a2+b2)/12
b
a
b2/12
(a2+b2)/12 L2/12
a
b a b
L
第2节
第四章
K2
R2/2
圆盘 R
R2 R
圆环
2R2/3 R2/4 R R
球体
第2节
例4-2 求一均匀细棒相对于(a)垂直于棒且 通过棒的一端的轴和(b)垂直于棒且通过棒 中心的轴的转动惯量。 解：(a)设L为棒AB的长度，S为棒的截面， 假定S非常小， dx小段的体积为dv=Sdx ，由 每一小段到Y轴的距离为 x，并令密度ρ恒定 ， Y IA = LO ρx2 Sdx A O 2 =ρS L x dx dx 3 =ρL S/ 3 S x SL为棒的体积 B ρSL为棒的质量 L X 2 故： IA= mL / 3
1 I = mr 2 2
a = rβ
第2节
g m m ( 2 1) a= m m m ( 1+ 2 + 2 ) ( m 2 m 1) g β = m m m ( 1 + 2 + 2 )r
第四章
m 1( 2 m 2 + 2 ) g T 1= m 1+ m 2 + m 2 m m 2( 2 m 1 + 2 ) g T 2= m 1+ m 2 + m 2
第四章
第2节
三、定轴转动的转动定律
第四章
质点系力矩与角动量的关系： M= dL /dt Z轴分量： MZ = dLZ / dt = d(IZω)/dt (1) 刚体定轴 MZ = IZ dω/dt 转动定律：MZ = IZβ ( 与 F= ma 相似 ) I 下标省略形式： MZ = Iβ 若物体不是刚体，但其各质点的ω相同 ，这时转动惯量是变量，必须用(1)式来分析 和解决问题。 刚体通过质心非定轴转动： MC = ICβ (?)
第2节
第四章
一般不与转轴平行。
i
i
O
二、转动惯量 Moment of inertia 的计算 第四章 刚体是由大量紧密堆积的质点组成，所 以转动惯量的求和可用积分式来代替，即： IZ = ∑i mi Ri2 = R2 dm 设ρ为物体的密度，则 dm=ρdv， IZ = ρR2dv = ρ( x2 + y2 )dv 如果物体是均匀的，则其密度恒定，因 而上式可写成： IZ =ρ R2 dv = ρ ( x2 + y2 )dv 于是这个积分就化为一个几何因子。对 于具有相同形状和大小的所有物体，这个因 子相同。 IX，IY的关系式与上式相似