第二章解三角形章末复习课课件(北师大版必修五)

高中数学北师大版必修5课件：第二章解三角形本章整合

a��B sin A= b 2 13 14
=
∵a<c,∴A 为锐角,可得 A=60° , ∴C=180° -(A+B)=75° . (2)由余弦定理得
2 3× 2 2 2
2
= 2.
3
c2=a2+b2-2abcos C=72+82-2× 7× 8× =9, 14 ∴c=3.∵b>a>c,∴在△ABC 中,B 最大,
c��A 3 3��30° 3
3 3
应用 2 (1)在△ABC 中,a=2 3,c= 6 + 2,B=45° ,求 b,A,C; (2)在△ABC 中,a=7,b=8,cos C= ,求 c 及最大角的余弦值. 解:(1)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=12+8+4 3-4 3× ( 6 + 2)×2 =8,∴b=2 2. 由正弦定理得
(2)在△ABC 中,A+B+C=π,A+B=π-C,
应用在△ABC 中,若 B=60° ,2b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:解法一:由正弦定理,得 2sin B=sin A+sin C. ∵B=60° ,∴A+C=120° . A=120° -C,代入上式,得 2sin 60° =sin(120° -C)+sin C, 整理得 sin C+ cos C=1. ∴sin(C+30° )=1,∴C+30° =90° , ∴C=60° ,故 A=60° .∴△ABC 为等边三角形. 解法二:由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B.

高中数学第二章解三角形本章整合课件北师大版必修5

应用 2 在△ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c ,设 S 为△ABC 的面积,且满足 S=
3 4
(��2 + ��2 − ��2).
(1)求角C的大小; (2)求sin A+sin B的最大值.
解 :(1)由题意知 ��sin C= 所以 tan C= 3. π 因为 0<C<π,所以 C= .
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 1 在△ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a = 2, �� = 2, sin �� + cos �� = 2, 则角��的大小为 .
解析:∵sin B+cos B= 2sin
π 4
+ �� = 2,
第二章解三角形
本章整合
文字语言:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等符号语言:
�� = = = 2��(��为△��外接圆的半径) sin�� sin�� sin��
�� = 2��sin��,�� = 2��sin��,�� = 2��sin�� sin�� =
π 4
2 2
∴sin
π 4
+ �� = 1. ∵ 0 < �� < π, ∴ �� = .
�� sin ��
由正弦定理,得 sin A=

北师大版高中数学必修五第二章解三角形课件

＝42521× 23＋1275×12＝17＋5102
7 .
专题二三角形形状的判断问题思维突破：判断三角形的形状问题，通常将角转化为边，或将边转化为角，通过三角或代数变形运算，转化为反映三角形类型特征的数量关系(如边的相等关系、勾股关系、角的相等关系、角的三角函数值的大小等)，然后作出判定，这样要特别注意不要随便约掉等式两边的共同因式，这样很容易丢解．
4．应用解三角形知识解实际问题的步骤： (1)准确理解题意，分清已知和所求，尤其理解应用中的有关名词和术语，如仰角、俯角、视角、方位角等； (2)根据题意，画出示意图，将已知条件在图形中标出； (3)将已知问题化归到一个或几个三角形中，并弄清该三角形的已知量和未知量； (4)合理选用正、余弦定理并作答；
(2)DE的最值即是y＝f(x)的最值，常借助y＝f(x)的单调性求解．
解析：(1)△ABC 的边长为 2a，D 在 AB 上，
则 a≤x≤2a，
∵S△ADE＝12S△ABC＝12·43·(2a)2
＝12x·AE·sin60°，
∴AE＝2xa2.
在△ADE 中，由余弦定理得
y2＝x2＋4xa24－2x·2xa2·cos60°， ∴y2＝x2＋4xa24－2a2.
由正弦定理求出角B；由A ＋B＋C＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c. 可有两解，一解或无解
2.三角形中解的个数的确定．已知两边和其中一边的对角不能惟一确定三角形的形状，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
分析：已知三角形两边及一边对角的余弦值，也就是知道一边的对角，首先应考虑到用正弦定理．至于求 sin(2B＋6π)，由公式可知只要知道 cosB 即可．

第二章《解三角形》复习小结线上课程课件-北师大版高中数学必修5

三角形的恒等变形
所以sin C 2sin C cos A, 化简得cos A 1 ,
2 A 60.
例7已知ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,且2a cosC c 2b. (1)求角A; (2)若a 1, ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围.
2由B C 120,
1
由正弦定理 AB sin C
BC , sin A
得sin A
BC sin C律小结：利用正、余弦定理解三角形时，一般情况下，已知两角一边，用正弦定理；已知三边长或两条边及其夹角，用余弦定理；已知两边及其中一边的对角，求角时用正弦定理，求边时用余弦定理.
(3)三角形中大边对大角，小边对小角
(4)三角函数的恒等变形
sin A B sin C
cos A B cosC
sin A B cos C
2
2
cos A B sin C
2
2
tan A B tan C
例1ABC中，角A, B,C所对的边分别是a,b,c,已知a 2,A 30.
A
(2) b 4,sin B 1,ABC 有一解;
30
B
a=2
C
(3) b 3,sin B 3 ,又b a,ΔABC 有两解； 4
(4) b 1,sin B 1 ,又b a,ABC有一解. 4
规律小结：已知ABC的两边a,b及a边的对角A,判断ABC解的个数.
(1)角A为锐角时，由正弦定理 a b 得sin B bsin A ,
(2)由A 75,B 45 C 60.
sin A sin(45 30) 6 2 .
由正弦定理，
4
得2 a c， sin 45 sin 75 sin 60

高中数学第2章解三角形同步课件北师大版必修5

=b2+a2-2abcos120°=b2+a2+ab
=(a+b)2-ab= -2=10,∴AB=
(2 3)2
10.
第二十五页，共36页。
1.（2011·辽宁高考）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分
别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=
2a,则
b=(
a
)
(A)2 3 (B) 2 2 (C) 3
第三十二页，共36页。
【解析】根据题意可得，∠ABC＝45°-30°＝15°，
∠DAC＝60°-30°＝30°，
∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，∴AC＝AB＝40（米）．
在△ADC中，∠BDC＝120°，
由正弦定理(dìnglǐ)得
∴CD＝
(米)A，C ＝ CD ，
sin120 sin30
由余弦定理可得
BC2＝4k2+9k2-2×2k×3k× (＝ 11)9k2，
∴BC＝
2
根据正弦定19理k可. 得
∴sinC＝
AB ＝ BC ， sinC sinA
AB sinA＝3 57 .
BC
38
第三十页，共36页。
5.(2011·南京(nán jīnɡ)高二检测)在△ABC中，若
sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则角B的大小是______．
答：转播塔的高度为米．
40sin30＝40 3
sin120 3
40 3
3
第三十三页，共36页。
7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且 (1)求B的大小;
cosB b . cosC 2a c
(2)若b= ,a+c=4,求△ABC的面积.

高中数学北师大版必修5第2章《解三角形》ppt章末归纳总结课件

4．解读判断三角形形状的两种方法判断三角形的形状，应围绕三角形的边、角关系进行思考，此类题目一般采用以下两种方法求解： (1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形状． (2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形状．注意：根据余弦定理判断三角形的形状时，当a2＋b2<c2， b2＋c2<a2，c2＋a2<b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2＋b2>c2，b2＋c2>a2，c2＋a2>b2中有一个关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论．
[例 1] 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且 A＝23π，a＝2bcosC，求：
(1)B 的值； (2)函数 f(x)＝sin2x＋cos(2x－B)在区间[0，π2]上的最大值及对应的 x 值．
[分析] (1)由 a＝2bcosC 考虑利用正弦定理可得 sinA＝ 2sinBcosC，而 A＝π－(B＋C)，代入整理可求得 B.
[解析] (1)证明：∵A→B·A→C＝B→A·B→C， ∴bccosA＝accosB，即 bcosA＝acosB. 由正弦定理，得 sinBcosA＝sinAcosB， ∴sin(A－B)＝0. ∵－π<A－B<π， ∴A－B＝0，即 A＝B.
(2)解：∵A→B·A→C＝1，∴bccosA＝1. 由余弦定理，得 bc×b2＋2cb2c－a2＝1，即 b2＋c2－a2＝2. ∵由(1)，得 a＝b，∴c2＝2，∴c＝ 2.
(3)解：∵|A→B＋A→C|＝ 6， ∴|A→B|2＋|A→C|2＋2A→B·A→C＝6，即 c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2，∴b2＝2，b＝ 2. ∴△ABC 为正三角形．

高中数学北师大版必修五课件：第二章解三角形章末分层突破

巩固层
拓展层
章末分层突破
提升层章末综合测评
[自我校对] a ①sin A b ②sin B c ③sin C ④b2＋c2－2bccos A ⑤c2＋a2－2cacos B ⑥a2＋b2－2abcos C
_________________ _________________
法二：(利用余弦定理角化边) a2＋b2－c2· 2ac b 由余弦定理得 2 2 2 ＝c， a ＋c －b · 2ab 即 a2(b2－c2)＝(b2＋c2)(b2－c2)，解得 a2＝b2＋c2 或 b2＝c2(即 b＝c)， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
[再练一题] 3．在△ABC 中，若 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B· cos C，试判断三角形的形状. 【导学号：67940046】
图 2－2
【解】
在△ACD 中，∠DAC＝30° ，
∠ADC＝60° －∠DAC＝30° ， ∴CD＝AC＝0.1 km. 又∠BCD＝180° －60° －60° ＝60° ，故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线． ∴BD＝BA. 又∠ABC＝75° －∠BCA＝， sin∠BCA sin∠ABC ACsin 60° 3 2＋ 6 即 AB＝ sin 15° ＝ 20 ， 3 2＋ 6 因此，BD＝AB＝ 20 ≈0.33 km. 故 BD 的距离约为 0.33 km.
∴AB＝7 3. OB OB 在 Rt△OBQ 中，OQ＝＝ . sin ∠OQB sin ∠OAB OB AB 又在△AOB 中，＝， sin ∠OAB sin 60° AB ∴OQ＝sin 60° ＝14.
判断三角形的形状判断三角形的形状，一般有以下两种途径：

高中高中数学北师大版必修5课件第二章解三角形 2.3.2精选ppt课件

反思设计方案测量有关长度或高度,方法一般不唯一.一般以简便为原则,构建在同一个三角形中解决问题,对于较复杂的问题,也可以考虑构建几个三角形.
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Z知识梳 H理ISHISHULI
D典例透析 IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】如果要测量某个底部不能到达的铁塔的高度,在只能使用简单测量工具的前提下,可以设计出哪些测量方案?并提供出每种方案的计算公式.
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一
题型二
题型三
题型四
解:设甲船沿方位角45°+θ方向航行,需t h才能与乙船在B处相遇. ∵在△ABC中,由余弦定理,
得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,
即(20 3��)2 = 102 + (20��)2 − 2 × 10 × 20��cos120°,
分析:如图所示,若设甲、乙两船在 B 处相遇,所需时间为 t h,这样由题设知,AC=10 n mile,AB=20 3�� n mile,BC=20t n mile,∠ ACB=45°+75°=120°,解△ABC 即可.
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Z知识梳 H理ISHISHULI
D典例透析 IANLITOUXI
sin (��-��)
在
Rt△PAO
中,PO=PAsin
α,则
PO=
��sin ��sin ��.
sin (��-��)
题型一
题型二
∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°+70°=130°.

北师大版高中数学必修五第二章解三角形2.1.1正弦定理课件

-4-
1.1 正弦定理
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Z 知识梳理 D典例透析
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S随堂演练
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1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在△ABC中
�� , = = . sin�� sin�� sin��
2 1
(2)S△ABC= ��sin �� = ��sin �� = ��sin ��.
2 2 2
1
1
1
【做一做2】在△ABC中,若a=10,b=8,C=30°,则△ABC的面积 S= .
解析:S= ��sin C= × 10 × 8 × sin 30°=20.
-7-
1.1 正弦定理
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Z 知识梳理 D典例透析
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【做一做 1-2】在锐角三角形 ABC 中,若 a=3,△ABC 的外接圆半径为 3, 则�� = . �� 解析: ∵ = 2�� , sin�� 3 3 ∴sin A = = = .
2��
-6-
1.1 正弦定理
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Z 知识梳理 D典例透析
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【做一做1-1】有下列有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于钝角三角形; ③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值; ④在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. 其中正确的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 解析:正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故 ③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.故选B. 答案:B

高中数学第二章《解三角形》余弦定理课件北师大必修5

例最3大：角在的三余角弦形值ABC中，已知a=7,b=8,cosC=11
3 4
,求
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。
解：c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C 7 2 8 2 2 7 8 1 1 4 3 9
北师大版高中数学必修 5第二章《解三角形》
一、教学目标 1、知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2、过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
2
ABACCB
ABACCB
A
b c ABACCB
C
a
B
AB2 (ACCB)2A2C 2AC C BC2B

2
AC 2AC CcBo 1s8 (C 0)CB
a22 acbo C s b 2 c2a2b22acbo Cs
余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
思考：已知条件不变，将例1稍做改动
（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定
三角形ABC的形状 B ( 9 0 ,1 8 0 ) b 2 a 2 c 2
千岛湖
C
A
（精确到1米）
?
A 2 B C 2 C A 2 B 2 C C A cB C os

第二章 解三角形 章末复习课 课件(北师大版必修五)

高中数学北师大版必修5课件：第二章 解三角形 本章整合