计量经济学重点知识整理

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计量经济学重点知识整理
1⼀般性定义
计量经济学是以经济理论和经济数据的事实为依据，运⽤数学和统计学的⽅法，通过建⽴数学模型来研究经济数量关系和规律的⼀门经济学科。

研究的主体（出发点、归宿、核⼼）：
经济现象及数量变化规律
研究的⼯具（⼿段）：
模型数学和统计⽅法
必须明确：
⽅法⼿段要服从研究对象的本质特征（与数学不同）,⽅法是为经济问题服务
2注意：计量经济研究的三个⽅⾯
理论：即说明所研究对象经济⾏为的经济理论——计量经济研究的基础
数据：对所研究对象经济⾏为观测所得到的信息——计量经济研究的原料或依据
⽅法：模型的⽅法与估计、检验、分析的⽅法——计量经济研究的⼯具与⼿段
三者缺⼀不可
3计量经济学的学科类型
●理论计量经济学
研究经济计量的理论和⽅法
●应⽤计量经济学：应⽤计量经济⽅法研究某些领域的具体经济问题
4区别：
●经济理论重在定性分析,并不对经济关系提供数量上的具体度量
●计量经济学对经济关系要作出定量的估计，对经济理论提出经验的内容
5计量经济学与经济统计学的关系
联系：
●经济统计侧重于对社会经济现象的描述性计量
●经济统计提供的数据是计量经济学据以估计参数、验证经济理论的基本依据
●经济现象不能作实验，只能被动地观测客观经济现象变动的既成事实，只能依赖于经济统计数据
6计量经济学与数理统计学的关系
联系：
●数理统计学是计量经济学的⽅法论基础
区别：
●数理统计学是在标准假定条件下抽象地研究⼀
般的随机变量的统计规律性；
●计量经济学是从经济模型出发，研究模型参数
的估计和推断，参数有特定的经济意义，标准
假定条件经常不能满⾜，需要建⽴⼀些专门的
经济计量⽅法
3、计量经济学的特点：
计量经济学的⼀个重要特点是：它⾃⾝并没有固定的经济理论，⽽是根据其它经济理论，应⽤计量经济⽅法将这些理论数量化。

4、计量经济学为什么是⼀门单独的学科
计量经济学是经济理论、数理经济、经济统计与数理统计的混合物。

1、经济理论所作的陈述或假说⼤多数是定性性质的，计量经济学对⼤多数经济理论赋予经验内容。

2、经济统计学的问题主要是收集、加⼯并通过图或表的形式以展现经济数据，他们不考虑怎样⽤所收集的数据来检验经济理论。

3、虽然数理统计学提供了这⼀⾏业中使⽤的许多⼯具，但由于⼤多数经济数据的独特性，计量经济学家常常需要有特殊的⽅法。

§2、计量经济学的⽅法论
1、⽤计量经济学来分析问题的⼀般⽅法;
（1）理论或假说的陈述
（2）理论的数学模型的设定
（3）理论的计量模型的设定
（4）获取数据
（5）计量经济模型的参数估计
（6）模型检验（假设检验）
（7）模型的应⽤：A、预报或预测B、利⽤模型进⾏控制或制定政策
2、应⽤举例（消费函数）：
（1）理论或假说的陈述：
凯恩斯认为：随着收⼊的增加，消费也会增加，但是消费的增加不及收⼊增加的多。

即边际消费倾向递减。

（2）理论的数学模型设定：Y = a + bX
其中y为消费⽀出，x为收⼊，ａｂ为模型的参数，分别代表截距和斜率系数。

斜率系数ｂ就是消费边际倾向MPC的度量。

其中左边的Y称为应变量，⽅程右边的X称为⾃变量或解释变量。

该⽅程表明消费和收⼊之间存在准确的⼀⼀对应关系。

（3）计量模型的设定：
考虑到经济变量间的⾮准确关系，则消费函数的计量模型可以设定为: Y = a + Bx + µ其中µ被称为⼲扰项，或误差项，是⼀个随机变量，它有良好定义的概率性质。

µ是从模型中省略下来的⽽⼜集体影响着Y的全部变量的替代物（就是除了收⼊外，其它可能影响消费的所有因素）。

（4）数据的获得
各种统计年鉴，企业报表和相关职能部门公布的统计数据。

（该例中我们可以通过中国统计年鉴获取相关数据）
（5）参数估计（利⽤各种统计或计量软件来进⾏如：Eviews）
以美国1980-1991年的数据，通过Eviews5.0的计算，
我们可得如下消费函数⽅程：y＝-231.8 + 0.7196
其中ａ＝-231.8 ｂ＝0.7196
它表明在1980-1991年间，实际收⼊每增加⼀元，美国⼈的平均消费增加0.72元。

（6）模型检验（假设检验）
A、对理论或假说的检验
弗⾥德曼认为凡是不能通过经验数据检验（实证检验）的理论或假设，都不能作为科学探索的⼀部分。

0 ＜0.7196＜1
B、对模型的检验
统计推断检验：模型的拟合优度检验、变量的显著性检验
计量经济学检验：平稳性、多重共线性、⾃相关、异⽅差等⽅⾯的检验、
（7）预报或预测
（8）利⽤模型进⾏控制或制定政策
4.计量经济学模型的应⽤
⼀、结构分析
经济学中的结构分析是对经济现象中变量之间相互关系的研究。

结构分析所采⽤的主要⽅法是弹性分析、乘数分析与⽐较静⼒分析。

计量经济学模型的功能是揭⽰经济现象中变量之间的相互关系，即通过模型得到弹性、乘数等。

应⽤举例
⼆、经济预测
计量经济学模型作为⼀类经济数学模型，是从⽤于经济预测，特别是短期预测⽽发展起来的。

计量经济学模型是以模拟历史、从已经发⽣的经济活动中找出变化规律为主要技术⼿段。

对于⾮稳定发展的经济过程，对于缺乏规范⾏为理论的经济活动，计量经济学模型预测功能失效。

模型理论⽅法的发展以适应预测的需要。

三、政策评价
政策评价的重要性。

经济政策的不可试验性。

计量经济学模型的“经济政策实验室”功能。

四、理论检验与发展
实践是检验真理的唯⼀标准。

任何经济学理论，只有当它成功地解释了过去，才能为⼈们所接受。

计量经济学模型提供了⼀种检验经济理论的好⽅法。

对理论假设的检验可以发现和发展理论。

§3 变量数据参数与模型
1、计量经济模型中的变量（1）从变量的因果关系分：⾃变量因（应）变量解释变量被解释变量（2）从变量的性质分内⽣变量：模型求解的结果外⽣变量：
2、计量经济学中应⽤的数据（1）时间序列数据（2）截⾯数据（3）混合数据（4）虚拟变量数据：⼀些定性的事实，不能直接⽤⼀般的数据去计量。

3、参数及其估计准则（1）⽆偏性（2）最⼩⽅差性（最优⽆偏估计）（3）⼀致性
4、计量模型的基本函数形式（1）线性模型
（2）⾮线性模型（可变为线性形式的⾮线性模型）双对数模型半对数模型倒数变换模型第⼆章⼀元回归模型概述回归分析的性质回归分析的⼀些基本概念对线性的⼏点说明 §2.1 回归分析的性质⼀、变量间的关系及回归分析的基本概念 1、变量间的关系
经济变量之间的关系，⼤体可分为两类：（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象⾮随机变量间的关系。

（2）统计依赖或相关关系：研究的是⾮确定现象随机变量间的关系。

（以⼀定的统计规律呈现出来的关系）例如：
函数关系：
统计依赖关系/统计相关关系：正相关
线性相关不相关相关系数：
统计依赖关系负相关 11≤≤-XY ρ有因果关系正相关⽆因果关系⾮线性相关不相关
负相关
()2,半径半径圆⾯积?==ππf ()
施肥量阳光降⾬量⽓温农作物产量,,,f =
▲注意：
①不线性相关并不意味着不相关；
②有相关关系并不意味着⼀定有因果关系；
③回归分析/相关分析研究⼀个变量对另⼀个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着⼀定有因果关系。

④相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。

回归分析对变量的处理⽅法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和⾃变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。

回归与因果关系
虽然回归分析研究⼀个变量对另⼀（些）变量的依赖关系，但它并不意味着因果关系。

Kendall 和Stuart认为⼀个统计关系式不管多么强，也不管多么有启发性，却永远不能确⽴因果⽅⾯的联系，对因果关系⽅⾯的理念必须来⾃统计学之外，最终来⾃这种或那种理论。

从逻辑上说，统计关系式本⾝不可能意味着任何因果关系。

要谈因果关系，必须诉诸先验或理论上的思考。

§2.2回归分析的基本思想：
⼀、利⽤样本来推断总体
1、总回归函数（PRF）
2、样本回归函数（SRF）
3、样本回归函数对总回归函数的进⾏拟合：
（1）最⼩⼆乘法（OLS）
（2）最⼩⼆乘法的基本假定
（3）最⼩⼆乘估计的精度或标准误
（4）最⼩⼆乘估计量的性质
（5）拟合优度的度量
（6）区间估计或假设检验
4、利⽤回归⽅程进⾏分析、评价及预测。

⼆、回归分析的基本概念
1、回归分析(regression analysis)是研究⼀个变量关于另⼀个（些）变量的具体依赖关系的计算⽅法和理论。

其⽤意：在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。

这⾥：前⼀个变量被称为被解释变量或因变量对变量测量尺度的注解：分类尺度（名义尺度）、顺序尺度（序数尺度）、间隔尺度（区间尺度）、⽐率尺度（⽐率尺度）
三、总体回归函数
由于变量间关系的随机性，回归分析关⼼的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。

例2.1：⼀个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每⽉家庭消费⽀出Y与每⽉家庭可⽀配收⼊X的关系。

即如果知道了家庭的⽉收⼊，能否预测该社区家庭的平均⽉消费⽀出⽔平。

为达到此⽬的，将该100户家庭划分为组内收⼊差不多的10组，以分析每⼀收⼊组的家庭
消费⽀出。

分析：（1）由于不确定因素的影响，对同⼀收⼊⽔平X ，不同家庭的消费⽀出不完全相同；
（2）但由于调查的完备性，给定收⼊⽔平X 的消费⽀出Y 的分布是确定的，即以X 的给
定值为条件的Y 的条件分布（Conditional distribution ）是已知的，如： P(Y=561|X=800）=1/4。

因此，给定收⼊X 的值Xi ，可得消费⽀出Y 的条件均值（conditional mean ）或条件期望（conditional expectation ）：
E(Y|X=Xi) 该例中：E(Y | X=800)=561
描出散点图发现：随着收⼊的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y 的条件均值均落在⼀根正斜率的直线上。

这条直线称为总体回归线。

概念：
在给定解释变量Xi 条件下被解释变量Yi 的期望轨迹称为总体回归线，或更⼀般地称为总体回归曲线。

相应的函数：)()|(i i X f X Y E =称为（双变量）总体回归函数。

含义：回归函数（PRF ）说明被解释变量Y 的平均状态（总体条件期望）随解释变量X 变化的规律。

函数形式：可以是线性或⾮线性的。

例2.1中，将居民消费⽀出看成是其可⽀配收⼊的线性函数时:
i
i X X Y E 10)|(ββ+=
为⼀线性函数。

其中，β0，β1是未知参数，称为回归系数（regression coefficients ）。

四、随机扰动项
总体回归函数说明在给定的收⼊⽔平Xi 下，该社区家庭平均的消费⽀出⽔平。

但对某⼀个别的家庭，其消费⽀出可能与该平均⽔平有偏差。

记：
)
|(i i i X Y E Y -=µ
称µi 为观察值Yi 围绕它的期望值E(Y|Xi)的离，是⼀个不可观测的随机变量，⼜称为随机⼲扰项或随机误差项。

例2.1中，个别家庭的消费⽀出为：
（*）
即，给定收⼊⽔平Xi ,个别家庭的⽀出可表⽰为两部分之和:
（1）该收⼊⽔平下所有家庭的平均消费⽀出E(Y|Xi)，称为系统性（systematic ）或确定性
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
每⽉可⽀配收⼊X （元）
每
⽉消费⽀出
（deterministic)部分。

（2）其他随机或⾮确定性（nonsystematic)部分i 。

(*)式称为总体回归函数PRF 的随机设定形式。

表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。

由于⽅程中引⼊了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。

随机误差项主要包括下列因素的影响：
随机误差项是指从模型中省略下来的⽽⼜集体地影响着Y 的全部变量的替代物。

1）在解释变量中被忽略的因素的影响； 2）变量观测值的观测误差的影响； 3）其它随机因素的影响。

产⽣并设计随机误差项的主要原因： 1）理论的含糊性； 2）数据的⽋缺（糟糕的替代变量） 3）核⼼变量与周边变量； 4）节省原则； 5）⼈类⾏为的内在随机性；6）错误的函数形式； 35五、样本回归函数（SRF ）问题：能从⼀次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？
例2.2：在例2.1的总体中有如下⼀个样本，总体的信息往往⽆法掌握，现实的情况只能是在⼀次观测中得到总体的⼀个样本。

问：能否从该样本估计总体回归函数PRF ？
回答：能
Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594
638
1122
1155
1408
1595
1969
2078
2585
2530
核样本的散点图（scatter diagram)：
样本散点图近似于⼀条直线，画⼀条直线以尽好
地拟合该散点图，由于样本取⾃总体，可以该线近似地代表总体回归线。

该线称为样本回归线。

记样本回归线的函数形式为：
i
i i X X f Y 10??)(?ββ+==
称为样本回归函数。

注意：这⾥将样本回归线看成总体回归线的近似替代
则
样本回归函数的随机形式/样本回归模型：
同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：
i i i i i e X Y Y ++=+=10ββµ
式中，i e 称为（样本）残差（或剩余）项（residual ），代表
了其他影响i Y 的随机因素的集合，可看成是
i µ的估计量i µ?。

由于⽅程中引⼊了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型。

▼回归分析的主要⽬的：根据样本回归函数SRF ，估计总体回归函数PRF 。

即，根据
i
i i i i e X e Y Y ++=+=10ββ
估计注意：这⾥PRF 可能永远⽆法知道。

§2.3 对线性的⼏点说明
⼀、对变量之间关系为线性⼆、对参数为线性
三、本⾝为⾮线性，但通过变形可以变为线性关系
经典回归分析主要考虑对参数是线性的形式，对变量之间的关系不作线性要求。

第三章⼀元回归模型的参数估计⼀、参数的普通最⼩⼆乘估计（OLS ）
⼆、最⼩⼆乘估计量的数值性质三、⼀元线性回归模型的基本假设四、最⼩⼆乘估计量的统计性质
五、参数估计量的概率分布及随机⼲
i
i i i i X X Y E Y µββµ++=+=10)|(
扰项⽅差的估计六、最⼩⼆乘估计（OLS ）的精度或标准误
单⽅程计量经济学模型分为两⼤类：
线性模型和⾮线性模型
线性模型中，变量之间的关系呈线性关系
⾮线性模型中，变量之间的关系呈⾮线性关系
⼀元线性回归模型：只有⼀个解释变量
i i i X Y µββ++=10i=1,2,…,n
Y 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，µ为随机⼲扰项
回归分析的主要⽬的是要通过样本回归函数（模型）SRF 尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF 。

估计⽅法有多种，其中最⼴泛使⽤的是普通最⼩⼆乘法。

因为OLS 具有良好的数值性质和统计性质。

同时，在⼀系列假定下OLS 估计量具有BLUE 性质，能满⾜我们⽤样本推断总体的要求。

注：实际这些假设与所采⽤的估计⽅法紧密相关。

⼀、参数的普通最⼩⼆乘估计（OLS ）给定⼀组样本观测值（Xi, Yi ）（i=1,2,…n ）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.
离差
要求样本函数仅可能好的拟合这组数值，我们可以考虑使观测值Yi 与样本回归值之差(残差ei)尽可能的⼩，使之尽可能的接近PRF,即：
注：在统计分析中，如没有特殊说明，离差⼀般是指观测值与其均值的差，即
这种⽅法尽管有直观上的说服⼒，却不是⼀个很好的准则，如果采⽤
即min ∑ei 那么在总和（e1+e2+e3+e4+……ei )中，⽆论残差离样本回归函数SRF 远还是近，都得到同样的权重。

结果很可能ei 离开SRF 散布得很远，但代数和很⼩甚⾄为零。

普通最⼩⼆乘法给出的判断标准是：⼆者之差的平⽅和
∑∑+-=-=n
i
i i n i X Y Y Y Q 1
21021
))??(()?(ββ最⼩。

为什么要⽤两者之差平⽅和最⼩：
1、它根据各观测值离SRF 的远近不同分别给予不同的权重。

从⽽ei 越⼤，∑ei2也越⼤。

2、 ∑ei2＝f(β0 , β1 )，即残差平⽅和是估计量β0 ,β1 的某个函数。

^ ^
3、⽤OLS 原理或⽅法选出来的β0 ,β1，将使得对于给定的样本或数据残差平⽅和尽可能的⼩。

∑
-)?(min Y Y i Y
Y i -∑
-)?(min Y Y i
⽅程组（*）称为正规⽅程组（normal equations ）。

记
()22221
)(∑∑∑∑-
=-=i i i i
X n
X X X x
上述参数估计量可以写成：
X
Y x y x i i i 1021
βββ
称为OLS 估计量的离差形式
由于参数的估计结果是通过最⼩⼆乘法得到的，故称为普通最⼩⼆乘估计量。

⼆、OLS 估计量的数值性质
OLS 数值性质是指运⽤最⼩⼆乘法⽽得以成⽴的那些性质，⽽不管这些数据是怎样产⽣的。

1、OLS 估计量纯粹是⽤可观测的量（即样本）来表达的，因此这些量是容易计算的。

2、这些量是点估计量。

3、⼀旦从样本数据得到OLS 估计值，便容易画出样本回归线，这样得到的回归线有如下性质：（1）它通过Y 和X 的样本均值。

即
（2）估计的Y 均值等于实测的Y 均值。

即
（3）残差ei 的均值为零。

即∑ei=0。

据此，我们可以
推出样本回归函数的离差形式。

即
i i x y 1??β=
注意：在计量经济学中，往往以⼩写字母表⽰对均值的离差。

记
Y Y y i
i -=??
则有 ∑--=++-+=i
n i i i e X X e X X y 111
010)(?)??()??(?βββββ
可得
i i x y 1??β=（**）
（**）式为样本回归函数的离差形式。

（4）残差ei 和预测的Yi 值不相关。

即（5）残差ei 和Xi 不相关。

即 ∑eiXi=0
三、线性回归模型的基本假设
为什么要做出假定：
∑∑∑∑∑-=--=i
i i i i i i i Y X n Y X Y Y X X y x 1
))((X Y 10??ββ+=Y Y =?0
)?(=∑i i Y e
1、虽然通过OLS ，我们可以获得 ,
的估计值，但我们的⽬的不仅仅是为了得到它们
2、更为重要的是对β0 , β1与真实的β0 , β1 之间的替代性进⾏推断。

3、对Yi 与E(Y|X=Xi)之间的差距到底有多⼤进⾏推断。

4、在模型i i i i i e X Y Y ++=+=10ββµ 中， ei
是⼀随机变量，如果我们不知道xi 、ei 是怎样产⽣的，就⽆法对Yi 做出任何推断，也⽆法
对β0 , β1 做出任何推断。

5、在⼀系列假定下，OLS 具有良好的统计性质，能够满⾜我们对β0 , β1 作出推断的要求。

线性回归模型的基本假设
假设1、线性回归模型，回归模型对参数⽽⾔是线性的；假设2、解释变量X 是确定性变量，不是随机变量；假设3、随机误差项具有零均值、同⽅差和不序列相关性：
E(µi)=0 i=1,2, …,n Var(µi)=σµ2 i=1,2, …,n
Cov(µi, µj)=0 i ≠j i,j= 1,2, …,n
假设4、随机误差项与解释变量X 之间不相关：
Cov(Xi, µi)=0 i=1,2, …,n 假设5、服从零均值、同⽅差、零协⽅差的正态分布
µi~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 假设6、观测次数n 必须⼤于待估的参数个数；假设7、X 值要有变异性；
假设8、正确的设定了回归模型；也被称为模型没有设定偏误（specification error ）；
假设9、在多元回归模型中没有完全的多重共线性。

注意：
1、如果假设
2、3满⾜，则假设4也满⾜; 2、如果假设5满⾜，则假设3也满⾜。

以上假设也称为线性回归模型的经典假设或⾼斯（Gauss ）假设，满⾜该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型。

另外，在进⾏模型回归时，还有⼀个暗含的假设：假设10：随着样本容量的⽆限增加，解释变量X 的样本⽅差趋于⼀有限常数。

即
∞
→→-∑n Q n X X
i
,/)(2
假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使⼤样本统计推断变得⽆效，⽽且往往产⽣所谓的伪回归问题。

四、假定条件下的最⼩⼆乘估计量的统计性质
当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。

⼀个⽤于考察总体的估计量，可从如下⼏个⽅⾯考察其优劣性：
（1）线性性，即它是否是另⼀随机变量的线性函数；（2）⽆偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性，即它是否在所有线性⽆偏估计量中具有最⼩⽅差。

（4）渐近⽆偏性，即样本容量趋于⽆穷⼤时，是否它的均值序列趋于总体真值；
（5）⼀致性，即样本容量趋于⽆穷⼤时，它是否依概率收敛于总体的真值；
（6）渐近有效性，即样本容量趋于⽆穷⼤时，是否它在所有的⼀致估计量中具有最⼩的渐近⽅差。

这三个准则也称作估计量的⼩样本性质。

拥有这类性质的估计量称为最佳线性⽆偏估计量（best liner unbiased estimator, BLUE ）。

当不满⾜⼩样本性质时，需进⼀步考察估计量的⼤样本或渐近性质：⾼斯—马尔可夫定理
在给定经典线性回归的假定下，最⼩⼆乘估计量是具有最⼩⽅差的线性⽆偏估计量。

证
2、⽆偏性，即估计量0?β、1
β的均值（期望）等于总体回归参数真值β0与β1
证：
∑∑∑∑∑++=++==i i i i i i i i i i k X k k X k Y k µββµβββ10101 )(?
易知0
2==
∑∑∑i
i
i x
x
k
∑=1
i
i
X
k
故
∑+=i i k µββ1
1? ∑∑=+=+=111
1)()()?(βµβµββi i i i E k k E E
同样地，容易得出
∑∑∑∑∑∑∑∑
-
=-=
=2
222)(1i
i i
i
i i
i
i
i x
x Y x Y x x Y Y x x
y x β)
∑∑=+=+=00
00)()()()?(βµβµββi i i i E w E w E E （2）证明最⼩⽅差性
假设*1?β是其他估计⽅法得到的关于β1
的线性⽆偏估计量：
∑=i
i Y c *
1
β
其中，ci=ki+di ，di 为不全为零的常数
则容易证明)
var()?var(1*
1ββ≥
普通最⼩⼆乘估计量称为最佳线性⽆偏估计量
由于最⼩⼆乘估计量拥有⼀个“好”的估计量所应具备的⼩样本特性，它⾃然也拥有⼤样本特性。

∑∑∑
∑
∑+
=+=+=)
/lim()
/lim()lim(
)lim()lim()?lim(21
2
1
11n x P n x P x
x P P k P P i
i
i i
i i i µβµβµββ
1
110),(ββµβ=+=+=Q Q X Cov
五、参数估计量的概率分布及随机⼲扰项⽅差的估计
2、随机误差项µ的⽅差σ2的估计
由于随机项µi 不可观测，只能从µi 的估计——残差ei 出发，对总体⽅差进⾏估计。

2⼜称为总体⽅差。

可以证明，σ2的最⼩⼆乘估计量为
2?2
2
-=
∑n e
i
σ
它是关于σ2的⽆偏估计量。

第四
章⼀元线性回归模型的统计检验
⼀、拟合优度检验⼆、变量的显著性检验三、参数的置信区间
回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数，或者说是⽤样本回归线代替总体回归线。

尽管从统计性质上已知，如果有⾜够多的重复抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体的参数真值，但在⼀次抽样中，估计值不⼀定就等于该真值。

那么，在⼀次抽样中，参数的估计值与真值的差异有多⼤，是否显著，这就需要进⼀步进⾏统计检验。

主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验及参数的区间估计。

⼀、拟合优度检验
拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。

度量拟合优度的指标：判定系数（可决系数）r2（⼆元回归）或R2（多元回归）
问题：采⽤普通最⼩⼆乘估计⽅法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？
1、总离差平⽅和的分解
已知由⼀组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下样本回归直线
如果Yi=?i 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。

可认为，“离差”全部来⾃回归线，⽽与“残差”⽆关。

对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差的平⽅和。

我们可以得到：
⽅程两边同时平⽅，求和得：
TSS=ESS+RSS
Y的观测值围绕其均值的总离差(total varia可分解为两部分：⼀部分来⾃回归线(ESS)，另⼀部分则来⾃随机势⼒(RSS)。

在给定样本中，TSS不变，
如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的⽐重越⼤，因此,拟合优度：回归平⽅和ESS/Y的总离差TSS
2、可决系数R2统计量
称R2 为（样本）可决系数/判定系数（coefficient of determination)。

可决系数的取值范围：[0，1]
R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越⾼。

⼆、回归系数的区间估计
如果存在这样⼀个区间，称之为置信区间; 1-α称为置信系数（置信度），α称为显著性⽔平；置信区间的端点称为置信限或临界值。

从定义我们可以看出，区间估计量是⼀个构造出来的区间，要使得它把参数的真值包括在区间的界限内有⼀个特定的概率：1－α
在给定α＝0.05或5%的情况下,置信(随机)
区间包含真实β的概率为0.95或95%。

它表⽰使⽤我们所描述的⽅法构造出来的
众多区间中包含β真值的概率为0.95或95%。

我们能不能构造出这样的区间呢？？
依据什么来构造呢
依据概率知识我们知道，如果估计量的抽样或概率分布已知，我们就可以构造出以⼀定概率包含真实β值的区间。

对回归系数β的区间估计可归纳为三种情况
α＝0.05，即1－α＝0.95
α＝0.01，即1－α＝0.99
α＝0.001，即1－α＝0.999
例如：取α＝0.05，即1－α＝0.95，查标准正态分布表可知
Z值在（－1.96，1.96）区间的概率为0.95。

即P（－1.96＜Z＜1.96）＝0.95
三、假设检验：
回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的⼀个显著性的影响因素。

在⼀元线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显著的线性性影响。

这就需要进⾏变量的显著性检验。

变量的显著性检验所应⽤的⽅法是数理统计学中的假设检验。

计量经计学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进⾏显著性检验的。

1、假设检验
所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出⼀个假设，然后利⽤样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从⽽决定是否接受或否定原假设。

当我们拒绝原假设（虚拟假设）时，我们说发现统计上是显著的。

当我们不拒绝原假设时，我们说发现不是统计上显著的。

假设检验采⽤的逻辑推理⽅法是反证法。

先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设⽽导致的结果是否合理，从⽽判断是否接受原假设。

判断结果合理与否，是基于“⼩概率事件不易发⽣”这⼀原理的
2、变量的显著性检验。