初中尺规作图详细讲解(含图)

初中数学尺规作图讲解
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们(或一部分）所组成的图形,因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。

最简单的尺规作图有如下三条：
⑴经过两已知点可以画一条直线;
⑵已知圆心和半径可以作一圆;
⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点;
以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。

历史上,最著名的尺规作图不能问题是：
⑴三等分角问题:三等分一个任意角;
⑵倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍;
⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.
这三个问题后被称为“几何作图三大问题”。

直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数)，由此即可推得根号π(即当圆半径1
r=时所求正方形的边长)不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.
若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。

还有另外两个著名问题：
⑴正多边形作法
·只使用直尺和圆规，作正五边形.
·只使用直尺和圆规,作正六边形.
·只使用直尺和圆规，作正七边形—-这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。

·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。

·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决
了两千年来悬而未决的难题.
⑵四等分圆周
只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.
尺规作图的相关延伸：
用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
1。

只用直尺及生锈圆规作正五边形
2。

生锈圆规作图,已知两点A、B,找出一点C使得AB BC CA
==.
3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点.
4。

尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单"这个思想出发的,能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线"解释为“作出直线上的2点"，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点,在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出！。

五种基本作图：
初中数学的五种基本尺规作图为:1。

做一线段等于已知线段2。

做一角等于已知角3。

做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5。

做一线段的中垂线
下面介绍几种常见的尺规作图方法：
⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由
两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上,故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.
【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等,
到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置?
m
【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB
的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.
【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；
⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ;则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置。

【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点,在直线3y x =+上求一点P ,使AOP ∆是
等腰三角形，这样的P 点有几个？
【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形。

其次，寻
找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆,与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个。

【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离,半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆,使其与O ⊙及'O ⊙外切。

r
r
【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即
M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆
心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解;当2r b >时,有两解.
【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ,2r b >时为例：
⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.
⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +,'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点。

⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆。

∴12,M M ⊙⊙即为所求。

【思考】若将例3改为:“设O ⊙与'O ⊙相离,半径分别为R 与'R ,求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切,与
'O ⊙外切。

”又该怎么作图？
⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长,而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后
根据线段长的表达式设计作图步骤。

用这种方法作图称为代数作图法.
【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心).
【分析】 设半径为1
也就是说用这个长度去等分圆周。

我们的任务就是做出这
个长度。

.
一直角边为1
的长度自然就出来了。

【解析】 具体做法：
⑴ 随便画一个圆.设半径为1.
⑵ 先六等分圆周.
⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心,同向作弧，交于一点。

(“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，
角形。

.） ⑷
【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.
【分析】 设ABC ∆的底边长为a ,高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =
，所以x 是1
2
a 与h 的比例中项.
【解析】 已知：在ABC ∆中,底边长为a ,这个底边上的高为h ，
求作：正方形DEFG ,使得：ABC DEFG S S ∆=正方形
h
a
D
C
B
A
N
M
作法:
⑴ 作线段1
2
MD a =；
⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =； ⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙；
⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ， ⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG 。

正方形DEFG 即为所求.
【例6】 在已知直线l 上求作一点M ,使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a 。

a
l
【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l 的交点即
为所求.
【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =。

⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆。

若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M . 1M ，2M 即为所求。

若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求。

若此圆与直线l 相离，此时无交点。

即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a 。

⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图
形发生联系，从而发现作图途径。

【例7】 已知：直线a 、b 、c ,且a b c ∥∥。

求作：正ABC ∆,使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.
c b
a D'D
C
B A
c
b
a
【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕
A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定。

再作60BAC ∠=︒，
B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.
【解析】 作法：
⑴ 在直线a 上取一点A ,过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；
⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧)。

⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.
ABC ∆即为所求。

【例8】 已知:如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点。

求作：PCD ∆,使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上。

O
D'O
【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .
⑵ 过P 作直线l OB ∥；
⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =（或'PM PE =)；
⑷ 过M （或'M ）作MC l ⊥（或'M C l ⊥）,交OA 于C (或'C ）点； ⑸ 连接PC （或'PC ),过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D (或'D ）点. 连接,PD CD （或',''PD C D ). 则PCD ∆（或''PC D ∆)即为所求。

⑷ 位似法作图：利用位似变换作图,要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件,作出与其位似的图形,
然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件,从而作出满足全部的条件。

【例9】 已知:一锐角ABC ∆.
求作：一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上。

C B
A
G'
F'
E'
D'G F
E
D C
B
A
【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件,作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变
换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG 。

【解析】 作法：
⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D
⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .
⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ;作''FE F E ∥交BC 于E 。

⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D 。

则四边形DEFG 即为所求。

⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题,通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形,再借助平行线
补上一个等底等高的另一个三角形,使面积不变,从而完成所作图形。

【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.
【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先
割去AMP ∆，再补上ANP ∆。

只要NM AP ∥,则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.
【解析】 作法：
⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ； ⑶ 过P 、N 作直线l 。

直线l 即为所求.
【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成。

⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.
F
E
D C
B
A
M
F
D
C
B
F
D C
B
【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的
直线l 即为所求；
⑵ 这样的直线有无数条。

设⑴中的直线l 交AE 于Q ,交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE
、
N
M P C
B A
l
BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积。

【例12】 (07江苏连云港）如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果
AC BC
AB AC
=
，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线",类似地给出“黄金分割线”的定义:直
线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S
S S =，那么称直线l 为
该图形的黄金分割线．
⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
⑶ 研究小组在进一步探究中发现:过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交
AC 于点F ，连接EF （如图3）
，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由． ⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线,使它不经过ABCD 各边黄金分割点．
【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下：
设ABC △的边AB 上的高为h ．
12ADC
S AD h =△，1
2
BDC S BD h =△，12ABC
S AB h =△， ∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD
S AD
=△△．
又∵点D 为边AB 的黄金分割点，
∴AD BD AB AD
=．∴ADC BDC
ABC ADC
S S S S =△△△△．
∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．
⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
此时121
2
S S S ==，即121S S S S ≠，
∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
A
C
B
图1
A D
B 图2
C A
D B
图
3
C F E E
图4
⑶ ∵DF CE ∥，
∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等, ∴DEC
FCE S S =△△．
设直线EF 与CD 交于点G ,∴DGE FGC S S =△△．
∴ADC
FGC AFGD S S S =+△△四边形
DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，
BDC BEFC S S =△四边形．
又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线． ⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF 中点G ,再过点G 作一直线分别交AB ，DC 于M ,N 点，
则直线MN 就是
ABCD 的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ,
连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．
M （答案图1）
M （答案图2）。