定义、定理、引理、推论、定律

定义（Definition）
定义是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义；被定义的事务或者物件叫做被定义项，其定义叫做定义项。

对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延所作的简要说明。

相当于数学上的对未知数的设定赋值，比如“设某未知数为已知字母x以便于简化计算，”对某个命名的词汇赋与一定的意义或形象，则有利于交流中的识别及认同。

命名和定义总是相伴而生，用已知的熟知的来解释和形容未知的陌生的事物并加以区别，这是一个理论界的真理。

命名和定义是理论的前提。

命名和定义是展开理论的前提。

定理（Theorem）
是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。

一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。

证明定理是数学的中心活动。

一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。

猜想是相信为真但未被证明的数学叙述，或者叫做命题，当它经过证明后便是定理。

猜想是定理的来源，但并非唯一来源。

一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程，成为定理
引理（Lemma）
引理是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题，其意义并不在于自身被证明，而在于为达成最终目的作出贡献。

一个引理可用于证明多个结论。

引理和定理没有严格的区分。

推论（也称为系, 系理）（Inference）
推论是指能够“简单明了地”从前述命题推出的论断。

推论往往在定理后出现; 如果命题 B 能够被简单明了的从命题 A 推导出，则称B 为A 的推论。

“推论”, “定理”, “命题”等术语的使用区别往往是比较主观的。

因为“简单明了”这个定义本来同作者及上下文相关。

当然，推论一般被认为不如定理重要。

定律（Law）
为研究宇宙间不变的事实规律所归纳出的结论，不同于理论、假设、定义、定理，是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。

科学定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。

没有任何一种理论可以描述宇宙当中的所有情况，也没有任何一种理论可能完全正确。

公理（Axiom）
在传统逻辑中，公理是没有经过证明，但被当作不证自明的一个命题。

因此，其真实性被视为是理所当然的，且被当做演绎及推论其他（理论相关）事实的起点。

当不断要求证明时，因果关系毕竟不能无限地追溯，而需停止于无需证明的公理。

通常公理都很简单，且符合直觉，如“a+b=b+a”。

不同的系统，会预计不同的公理。

在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。

和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。

逻辑公理通常是被视为普遍为真的陈述（如(A ∧B) →A），而非逻辑公理（如a + b = b + a）则实际上是在一特定数学理论（如算术）中的定义性的性质。

在后者的意思之下，公理又可被称为“公设”。

理论（Theory）
理论又称学说或学说理论，指人类对自然、社会现象，按照已有的实证知识、经验、事实、法则、认知以及经过验证的假说，经由一般化与演绎推理等等的方法，进行合乎逻辑的推论性总结。

接近科学的学说是科学的，反之则是违背科学的或者说伪科学；任何自然科学的产生，源自对自然现象观察。

人类借由观察实际存在的现象或逻辑推论，而得到某种学说。

任何学说在未经社会实践或科学试验证明以前，只能属于假说。

如果假说能借由大量可重现的观察与实验而验证，并为众多科学家认定，这项假说就可被称为科学理论。

wikipedia
定理，是经过受逻辑限制的证明为真的陈述（一般在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理）。

——梁启超《近世文明初祖倍根笛卡儿之学说》：“凡一现象之定理，既一旦求而得之，因推之以徧，按其同类之现象，必无差谬，其有差谬者，非定理也。

”
定律，是由不变的事实规律所归纳出的结论，是对客观事实的一种表达形式，是通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。

——定理属于理论。

定律属于规律。

理论和规律的区别，能明白吧？规律不考察其中涉及到的原理/机理/理论依据。

——两个“定”字表达的是“一定条件下确定的”。

理论，是按照已有的实证知识、经验、事实、法则、认知以及经过验证的假说，经由一般化与演绎推理等等的方法，进行合乎逻辑的推论性总结。

——不考察是否经过检验、是否确定为真，只考察是否合乎逻辑。

跟定理的区别，明白吧，定理是经过检验（一定条件下）确定为真的。

概念，是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关系的范畴或类的实体。

——一个东西“是什么”，一件事“是怎么回事”，这些看法/理解就是概念。