10第十次课 非齐次线性方程组
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非齐次线性方程组
x5为任意实数 .
返回
n元非齐次线性方程组Ax = b解的存在性
方程组无解 R( A) R( A, b) 方程组有解 R( A) R( A, b)
方程组有唯一解 R( A) R( A, b) n 方程组有无穷多组解 R( A) R( A, b) n
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容.
④ 可写成:
AX = b
⑥
相应的齐次方程组: AX = 0
⑦
性质3. 若1,2是⑥的解,则1 2是⑦的解.
性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解,
则 是⑥的解.
定理:若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解
返回
下面四种提法可互为充要条件:
(1). 方程组④有解.
(2). b 可由1, , n 线性表示.
(3). 向量组1, , n与 向量组1, , n ,b等价.
(4). R(A) = R(B) .
显然
显然
证明: (1) (2) (3).
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
R(A)=R(B).
返回
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
设秩同为 r,
1, , r 是1, , n 的一个最大无关组. 1, , r ,b 线性相关, 否则与秩为 r 矛盾! 1, , r也是 1, , n,b的一个最大无关组.
1, ,n与1, ,n,b等价. 证毕.
定理二. (非齐次线性方程组④有解的判别定理)
(iii) 令这 n–r 个自由未知量分别为基本单位向量1,L ,nr ,
可得相应的 n–r 个基础解系 1 , ,nr ; (iv) 写出通解 k11 k22 L knr nr ,其中k1, k2,L , knr为任意实数
《非齐次线性方程组》课件
《非齐次线性方程组 》ppt课件
目录
CONTENTS
• 非齐次线性方程组的基本概念 • 非齐次线性方程组的解法 • 非齐次线性方程组的特解和通解 • 非齐次线性方程组的解的结构 • 非齐次线性方程组的应用
01 非齐次线性方程组的基本 概念
非齐次线性方程组的定义
总结词
非齐次线性方程组是由至少一个 常数项不为0的线性方程组成的方 程组。
考虑方程组$begin{cases}x + y = 1 x - y = 3end{cases}$，解为$x = 2, y = -1$和$x = -1, y = 2$，线性组合如$0.5x_1 + 0.5x_2 = 0.5(2,-1) + 0.5(-1,2) = (0.5,0.5)$也是该 方程组的解。
特解的求解方法
特解的求解方法通常包括代入法、消元法等。代入法是将方程组的某个方程代入其他方程，消元后得到一个或多 个方程，再求解得到特解。消元法则是通过消元过程将原方程组化为一个等价的单一方程，再求解得到特解。
通解的概念和求解方法
通解的概念
通解是非齐次线性方程组中满足方程组的所有解的集合。它通常表示为某个常数向量的线性组合。
在研究热传导问题时，非齐次线性方 程组可以用来描述温度随时间和空间 的变化规律。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、电磁波 等，非齐次线性方程组可以用来描述 波的传播和变化规律。
在经济问题中的应用
供需平衡
非齐次线性方程组可以用来描述 市场经济中的供需关系，如商品
的价格和销售量之间的关系。
投资组合优化
02 非齐次线性方程组的解法
消元法
总结词
消元法的核心是通过消元过程将非齐次线性方程组转化为 齐次线性方程组，从而求解。
目录
CONTENTS
• 非齐次线性方程组的基本概念 • 非齐次线性方程组的解法 • 非齐次线性方程组的特解和通解 • 非齐次线性方程组的解的结构 • 非齐次线性方程组的应用
01 非齐次线性方程组的基本 概念
非齐次线性方程组的定义
总结词
非齐次线性方程组是由至少一个 常数项不为0的线性方程组成的方 程组。
考虑方程组$begin{cases}x + y = 1 x - y = 3end{cases}$，解为$x = 2, y = -1$和$x = -1, y = 2$，线性组合如$0.5x_1 + 0.5x_2 = 0.5(2,-1) + 0.5(-1,2) = (0.5,0.5)$也是该 方程组的解。
特解的求解方法
特解的求解方法通常包括代入法、消元法等。代入法是将方程组的某个方程代入其他方程，消元后得到一个或多 个方程，再求解得到特解。消元法则是通过消元过程将原方程组化为一个等价的单一方程，再求解得到特解。
通解的概念和求解方法
通解的概念
通解是非齐次线性方程组中满足方程组的所有解的集合。它通常表示为某个常数向量的线性组合。
在研究热传导问题时，非齐次线性方 程组可以用来描述温度随时间和空间 的变化规律。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、电磁波 等，非齐次线性方程组可以用来描述 波的传播和变化规律。
在经济问题中的应用
供需平衡
非齐次线性方程组可以用来描述 市场经济中的供需关系，如商品
的价格和销售量之间的关系。
投资组合优化
02 非齐次线性方程组的解法
消元法
总结词
消元法的核心是通过消元过程将非齐次线性方程组转化为 齐次线性方程组，从而求解。
非齐次线性方程组
2019年3月26日星期二
kn-r n-r 0
k n可取任意常数.
(Spring 16ppt) 7
例
x1 1 3 4 5 2 x2 2 1 1 1 x 1 3 1 2 3 3 4 x 4
2019年3月26日星期二 (Spring 16ppt) 8
练习
0 1 2 2 1 3 4 2 1. 设 A , 2 1 1 0
5 b 6 , 求 Ax b 的通解． 4
解
0 5 4 3 1 2 2 1 0 2 行 0 1 A b 1 3 4 2 6 2 2 1 2 4 0 0 0 1 1 0 0 0
以上说明了，原非齐次线性方程组（2.17）与向量方程（2.18）等价.
2019年3月26日星期二
(Spring 16ppt)
17
另一方面,若向量b能由向量组1 , 2 ,
, n线性表示, 那
么在增广矩阵B中,最后一列的向量组可以表示为系数 矩阵A的列向量组的线性组合,所以,矩阵A与矩阵B的秩 相等,即R(A)=R(B).
例
x1 2 x2 x3 x4 2 解方程组 2 x1 x2 x3 3x4 1 4 x 3x x x 3 2 3 4 1
2 1 2 1 1 2 r 2 r 1 2 1 1 r32 4 r11 B 2 1 1 3 1 0 5 3 5 5 4 3 1 1 3 0 5 3 5 5
反之, 若R( A) R( B) r 0, 那么,向量组1 , 2 , 与向量组1 , 2 , , n , b有相同的秩, 若1 , 2 ,
kn-r n-r 0
k n可取任意常数.
(Spring 16ppt) 7
例
x1 1 3 4 5 2 x2 2 1 1 1 x 1 3 1 2 3 3 4 x 4
2019年3月26日星期二 (Spring 16ppt) 8
练习
0 1 2 2 1 3 4 2 1. 设 A , 2 1 1 0
5 b 6 , 求 Ax b 的通解． 4
解
0 5 4 3 1 2 2 1 0 2 行 0 1 A b 1 3 4 2 6 2 2 1 2 4 0 0 0 1 1 0 0 0
以上说明了，原非齐次线性方程组（2.17）与向量方程（2.18）等价.
2019年3月26日星期二
(Spring 16ppt)
17
另一方面,若向量b能由向量组1 , 2 ,
, n线性表示, 那
么在增广矩阵B中,最后一列的向量组可以表示为系数 矩阵A的列向量组的线性组合,所以,矩阵A与矩阵B的秩 相等,即R(A)=R(B).
例
x1 2 x2 x3 x4 2 解方程组 2 x1 x2 x3 3x4 1 4 x 3x x x 3 2 3 4 1
2 1 2 1 1 2 r 2 r 1 2 1 1 r32 4 r11 B 2 1 1 3 1 0 5 3 5 5 4 3 1 1 3 0 5 3 5 5
反之, 若R( A) R( B) r 0, 那么,向量组1 , 2 , 与向量组1 , 2 , , n , b有相同的秩, 若1 , 2 ,
非齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组的解线性方程组是数学中一个非常重要的概念，可以用来描述多个未知数之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到非齐次线性方程组，即右端项不为0的线性方程组。
非齐次线性方程组的解是指使得方程组中所有方程都成立的未知数的取值。
在本文中，将详细讨论非齐次线性方程组的解及其求解方法。
首先，我们先回顾一下齐次线性方程组的解。
对于齐次线性方程组Ax=0，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，0为零向量，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，那么x就是齐次线性方程组的解。
齐次线性方程组总有非零解，因为零向量满足Ax=0。
但齐次线性方程组的解不唯一，它有无穷多个解。
可以通过求解方程组的增广矩阵，经过高斯消元法得到阶梯形矩阵，再得到最简形矩阵，从而得到基础解系。
然而，非齐次线性方程组Ax=b是指右端项不为0的线性方程组，我们需要找到一组解使得Ax=b成立。
如果存在一个向量x使得Ax=b，那么x就是非齐次线性方程组的解。
但是，非齐次线性方程组的解不再有无穷多个，而是只有一个特解x0加上齐次线性方程组的解。
也就是说，非齐次线性方程组的解是特解加上齐次线性方程组的解。
具体来说，对于非齐次线性方程组Ax=b，我们可以通过增广矩阵的高斯消元法来求解。
我们将增广矩阵进行行变换，使得增广矩阵的左半部分变为一个最简形矩阵，然后根据最简形矩阵的形式来确定特解。
最后，我们可以通过求解齐次线性方程组Ax=0来得到齐次线性方程组的解。
举个例子来说明非齐次线性方程组的解的求解过程：假设我们有一个非齐次线性方程组：2x+y+z=23x+2y+z=4首先，我们可以写出增广矩阵：[211，2][321，4]接下来，我们对增广矩阵进行高斯消元法。
通过行变换，将增广矩阵的左半部分变为最简形矩阵：[10-1，0][011，2]从最简形矩阵中可以看出，特解x0=0，y=2，z=-2、然后，我们需要求解齐次线性方程组Ax=0。
根据最简形矩阵的形式，我们可以得到齐次线性方程组的解：x=t,y=-t,z=t，其中t为任意实数。
线性代数 非齐次方程组
⎪⎩4x1 + 5x2 − 5x3 = −1
不再是含参数 的方程组了。
a
=
−
4 5
时，方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧4−2xx1451+x−1545−x2xx−22
=
⎜ ⎜
a22
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ am2 ⎟⎟⎠
⎜⎛ a1n ⎟⎞
αn
=
⎜ a2n ⎜
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ amn ⎟⎟⎠
⎜⎛ b1 ⎟⎞
β
=
⎜ b2 ⎜
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ bm ⎟⎟⎠
x1α1 + x2α2 + + xnαn = β
方程组的向量方程
即 (α 1 ,α 2 ,
⎛ x1 ⎞
,α
n
)
⎜ ⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟ ⎟
其中 η* 是n 元非齐次线性方程组（1）的一个特解，ξ1, ξ2 , , ξn−r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，k1,k2, ,kn−r为任意常数.
(3) 当 r(A) ≠ r(A) 时，方程组(1)无解.
例 设A为m×n矩阵，AX＝0为AX＝b的导出组，则
1) 当 AX＝0 仅有零解时，AX＝b 有唯一解 2) 当 AX＝b 有唯一解时，AX＝0 仅有零解 3) 当 AX＝0 有非零解时，AX＝b 有无穷多解 4) 当 AX＝b 无解时，AX＝0 仅有零解
通解。
注意什么？
补充
含参数的方程组
在求解方程组之前，要先确定参数值。——这是准则。
而参数值的确定，要依据有解的条件即：r( A) = r( A)
一般而言，有两种方法确定参数值。一种是行列式法，另一种是
初等变换法。
例3 解
非齐次线性方程组PPT课件
一、非齐次线性方程组解的性质
１．非齐次线性方程组解的性质
第1页/共32页
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1
为对
2
应的
齐次方程
Ax
0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
第2页/共32页
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
故Ax b的通解为 x1 1 1 1 x2 k1 1 k2 3 3 2, x3 2 2 1 2
其中k1 , k 2为任意实数.
第31页/共32页
感谢您的欣赏
第32页/共32页
1
1
1 0
,
0
1
2
02 ,
1
第10页/共32页
于是所求通解为
x1 1 1 1 2
x2 x3 x4
c1
1 0 0
c2
0 2 1
0 12
,
(c1
,
c2
0
R).
第11页/共32页
例2 求下述方程组的解
x1 x2 x3 x4 x5 7,
3x1 x2 2x3 x4 2x2 x3 2x4 6x5
x5 0 0 1
第15页/共32页
代入
x1 2 x2
x2 x3
x3 2x4
x4 x5 6x5
7 23
依次得
x1 1 2, 0 , 2 . x2 1 2 1 3
第16页/共32页
故得基础解系
1 2 1 2
1
1
,
0
0
0 1
１．非齐次线性方程组解的性质
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(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1
为对
2
应的
齐次方程
Ax
0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
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(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
故Ax b的通解为 x1 1 1 1 x2 k1 1 k2 3 3 2, x3 2 2 1 2
其中k1 , k 2为任意实数.
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感谢您的欣赏
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于是所求通解为
x1 1 1 1 2
x2 x3 x4
c1
1 0 0
c2
0 2 1
0 12
,
(c1
,
c2
0
R).
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例2 求下述方程组的解
x1 x2 x3 x4 x5 7,
3x1 x2 2x3 x4 2x2 x3 2x4 6x5
x5 0 0 1
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代入
x1 2 x2
x2 x3
x3 2x4
x4 x5 6x5
7 23
依次得
x1 1 2, 0 , 2 . x2 1 2 1 3
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故得基础解系
1 2 1 2
1
1
,
0
0
0 1
《非齐次线性方程组》PPT课件
bm
第八页，共41页。
返回
则方程组④可写成:
x11 x22 xnn b
④的系数阵:
a11 a12 a1n
A
am1 am2 amn
(1, 2 , , n ).
第九页，共41页。
⑤
返回
a11 a12 a1n b1
④的增广阵:
B
am1 am2 amn bm
(1, , n , b).
(3). 当 2 时,
1 1 2 4 B [ A,b] 0 3 3 6.
0 0 0 3
R( A) 2, R(B) 3.
故方程组无解.
第三十页，共41页。
返回
题1 讨论当t 为何值时，
（1
x1
t) x1 x2 x3 0, (1 t) x2 x3 3,
（1）有唯一解；
5
ai 0
i 1
5
0 0 0 0 0 ai
i1
第十五页，共41页。
返回
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
由于原方程组等价于方程组 由此得通解：
x1 x2 a1
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4 x5 a4
x1 a1 a2 a3 a4 x5
x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5
2 x1
x1 2x2 3x3 11x2 12x3
7x4 2x5 0 34x4 3x5 0
x1 5x2 2x3 16x4 3x5 0
的基础解系及通解.
第二页，共41页。
1 0 19 3 1
8 8 2
解
：A
0
1
7 8
非齐次与齐次线性方程组的概念资料
35 2 3
0 D3 1
3 1
4 11 6
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
1 1 3 5 6
x1
D1 D
67 3
67
1 3
,
x3
D3 D
67 2
67
1 2
,
x2
D2 D
0 67
0,
x4
D4 D
67 67
1.
例3 问 取何值时，齐次方程组
1
2
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
非齐次与齐次线性方程组的概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
在把 n 个方程依次相加，得
n
n
n
ak1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
10第十次课 非齐次线性方程组教程
有无穷多解 R A R A n ( b 能被1 , , n 线性表示,且表示形式不唯一)
2018年10月6日星期六 3
三、AX=b 解的性质
性质 1：1 ,2 是 AX b的解，
(P109性质4.2.1)
则1 2 是对应的 AX 0的解
化、判、化、扩 例5
问 a , b 为何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 x 2 2 x 3 2 x4 1 x 2 a 3 x 3 2 x4 b 3 x1 2 x2 x3 ax4 1
1>：无解；2>：存在唯一解； 3>：有无穷多解，并求其通解。
例1
1 2 3 1 1 增广矩阵A A b 3 1 5 3 2 2 1 2 2 3 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 因为R A 2 R A 3 0 0 0 0 2 所以方程组无解
+
基础解系
化、判、化、扩
2018年10月6日星期六
11
化、判、化、扩 例3 (P110例4.2.1) 求解方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3 x4 2 x x 2 x 3 x 1 2 3 4 1
2018年10月6日星期六
理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念 掌握用行初等变换求方程组通解的方法 重 点
线性方程组解的判定定理及通解的求解 难 点 线性方程组解的结构的论证
b1 a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 一、形式 b a x a x a x b 2 21 1 22 2 2n n 2b 1、一般形式： bm a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 a1n a11 a12 x AX b a 2、矩阵形式： a22 a2 n 2 21 X A 3、向量形式： x1 amn xn x am 1 am 2 2 1 , 2 , , n x11 x22 xnn b 1 2 n 2 2018年10月6日星期六 x n
非齐次线性方程组
1 9
3 7
6 3 6
( k1, k2 任意常数)
解
A~
1 a
a 1
1 1
a 1
a1
1 0
0 1
1 a 1
a a2
a
1 1 a a2
0
0
a2
1
2a
a
2
1 0 0 a1,a2 0 1 0
1 a a2 1
a2
4 x4 5x4
15 22
x1 x2
5x4 9
解
1 0 1 2 1
A
0 0
1 0
1 0
3 8 0 0
0 0 0 0 0
齐次方程组 的基础解系
2
1
1 1
,
2
3 0
0
0
1
1 2a a2
a2
当 a 1,a 2 时，方程组存在唯一解
x1
1 a a2
x2
x3
1
a2 1 2a
a2
a2
当 a 1时
A~
1 0
1 0
1 0
1 0
0 0 0 0
方程组有无穷多组解
X k11 k22
1 1 1 k1 1 k2 0 0 0 1 0 ( k1, k2 任意常数)
非齐次线性方程组的系数行列式
非齐次线性方程组的系数行列式最近在看线性代数的书和课，想解答一下，顺便对自己最近的学习过程做个小总结。
首先，齐次线性方程组的系数矩阵不一定是方阵，只有方阵才有行列式。
所以行列式等于0只适用于方阵的情况。
本质上，我们是要求解形式为： a\mathbb{x}=\mathbb{b} 的线性方程，由于矩阵惩罚需要满足相应的维度，因此使用下角标表示维度：a_{m\times n}\mathbb{x}_{n\times1}=\mathbb{b}_{m\times 1} 。
如果\mathbb{b}=\mathbb{0} ，即 a\mathbb{x}=\mathbb{0} ，此时我们称其为齐次线性方程组；如果常数项不全为0，则称之为齐次线性方程组。
非齐次线性方程组的求解依赖于齐次线性方程组，所以我们需要先分析齐次线性方程组。
下面给出一般规律：当系数矩阵是满秩矩阵的时候，只有 0 解（因为满秩矩阵，列向量线性无关，因此 ax=0 只有当 x 的分量(x_i ,...,x_k) 都为零，即 x_i\beta_1+...+x_k\beta_k=0 只有零解，这里：将a写成列向量的形式：a=(\beta_1,...,\beta_k) ）。
特别的，当a是方阵的时候，称其为满秩方阵，满足方阵的行列式不为零，因此 x 也只有0解，使用克拉默法则也可以求出）当系数矩阵不是满秩矩阵的时候，有非零解然后，之前自己也是乱背一通，这样时间长了就会记混，对于ax=0 ，以向量的方式来看待。
a是一个 m \times n 矩阵，可以把 a 的各列看成是列向量。
然后这个题目实际上就是说a 的列向量能不能通过线性组合成为零向量。
那你一定学过线性相关和线性无关，当 a 的各列线性无关的时候（ a 是满秩矩阵的时候），如果让a的各列通过线性组合组合成零向量，即 x_i\beta_1+...+x_k\beta_k=0 ，那么只能 x 的每个分量都为0，即 x 为零向量。
非齐次与齐次线性方程组的概念
+ x3 + x3
=1 =λ
x1 + x2 + λ x3 = λ 2
有唯一解，并求出该解。
推论 如果齐次线性方程组（2）有非零解，则
它的系数行列式 D ＝０．
注：
在第三章中还将证明这个条件也是充分的 ．即
a11 a21
x1 x1
an1 x1
+ +
+
a12 x2 a22 x2 an2 x2
+L+ +L+ L +L+
a1n xn a2n xn ann xn
= =
=
0 0
0
有非零解
⇔
det(aij
n
∑ = bs Asj . s=1
例1 解线性方程组
x1 + x2 + x3 + x4 = 5
x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = −2 2x1 − 3x2 − x3 − 5x4 = −2 3 x1 + x2 + 2 x3 + 11x4 = 0
解：方程组的系数行列式
11 1 1
D=
1 2
的元素用方程组（1）的常数项 b1,b2 ,L,bn 代换 所得的一个 n 阶行列式，即
a11 L a1, j−1 b1 a1, j+1 L a1n
Dj =
a21 L
L L
a2, j−1 L
b2 L
a2, j+1 L
L L
a2n L
an1 L an, j−1 bn an, j+1 L ann
= b1 A1 j + b2 A2 j + L + bn Anj
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0
1
1
因为RR AA 4R AR An44，n所以4方程组存在唯一解
建立同解方程组
x1 1
x2 x3
2 2
唯一解为：X
x 1 4 2019年6月19日星期三
9
1
2
2
1
复习
AX=0解的性质
教学内容
第十次课
§4.2 非齐次线性方程组
教学目标及基本要求
理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念 掌握用行初等变换求方程组通解的方法
重点
线性方程组解的判定定理及通解的求解 难点
线性方程组解的结构的论证
§4.2 非齐次线性方程组
一、形式 a11 x1 a12 x2 1、一般形式： a21 x1 a22 x2
的三个解向量，其中
2
2
1
0 0
,
2
3
0
，求
AX
0
b的通解。
5
6
2019年6月19日星期三
18
例6 (P111例4.2.3)
设 4 阶方阵 A 1,2 ,3 ,4 ，其中2 ,3 ,4线性无
关，1 22 44，如果 1 22 33 44， 求线性方程组 AX 的通解。
13
2 x1 ax2 x3 1 ax1 x2 x3 2
解
4 x1 5 x2 5 x3 1
2 a 1
2 a 1
A
a 4
1 5
1 5
A
a 4
1 5
1 5a2 a 4 5
A 0 a 1,a 4
2019年6月19日星期三
19
小结 AX=b解的性质
AX=b的通解
通解 = 特解 + 基础解系
AX=b的求解步骤 化、判、化、扩
2019年6月19日星期三
20
作业
习题4(A)：P126 5 P126 6 (1) P127 7、8、11
习题4(B)：P128 1
提前预习
§5.1 向量的内积与正交向量组
x2
x11
x22
xnn b
xn
无解(b不能被1, ,n线性表示) R A R A
存在唯一解 R A R A n
有解 (b能被1, ,n线性表示,且表示形式唯一)
有无穷多解 R A R A n
am1
x111
am 2
x22 2
2
a1n a2n
X
x1 x2
amn
xn
xnnn b
矩阵形式
二、AX=b 解的判定定理
AX b
1,2, ,n
x1 向量形式(线性表示的定义式)
A
1 4
1 5
1 5
21
1 0 0 1
0 0
1 0
1 0
01
2019年6月19日星期三
15
a
4 5
时,方程组为
2 x1 4
5 x1
4 5
x2 x2
x3 x3
1 2
4 x1 5 x2 5 x3 1
2019年6月19日星期三
11
化、判、化、扩 例3 (P110例4.2.1)
求解方程组
x1 x1
x2 x2
x3 x4 0 x3 3x4 2
x1 x2 2 x3 3 x4 1
2019年6月19日星期三
12
补充：含参数的方程组
一般而言，有两种方法确定参数值。
x2
x2 2
a 3
ห้องสมุดไป่ตู้
x3 x3
2 x4 2 x4
1 b
3 x1 2 x2 x3 ax4 1
1>：无解；2>：存在唯一解；
3>：有无穷多解，并求其通解。
2019年6月19日星期三
17
例5 (P111例4.2.2)
设有 4 元 AX b，且 R A 3，1,2 ,3是 AX b
A
3
2019年6月19日星期三
7
化、判、化、扩
例2
x1 x2 x3 5
求解方程组
2 x1 x1 2
x2 x2
x3 x3
x4 x4
1 2
x2 2 x3 3 x4 3
解
1 1 1 0 5
增广矩阵 A
A
b
2
1
1
1
1
1 2 1 1 2
0
1
2
3
3
2019年6月19日星期三
8
x1 x2 x3 x4 1 1 1 0 5 1 0 0 0 1
0
1
3
1
9
0
1
0
0
2
0 0 1 4 6 0 0 1 0 2
0
0
0
18
18
0
0
1 2
2 x1 x2 2x3 2x4 3
解
1 2 3 1 1
增广矩阵 A
A
b
3 2
1 1
5 2
3 2
2 3
1
0 0
2 5 0
3 4 0
1 0 0
1 21
因为R A 2 R
所以方程组无解
if R A R A n AX b 有无穷多解
Step3.1：确定自由未知量并建立通解方程组
Step3.2：令自由未知量全为 0，求得 AX b的特解 *
Step3.3：令自由未知量取n r维的基本单位向量组ei，
求出 AX 0的基础解系1,2 , ,nr
5
a 1且a 4 时,方程组有唯一解
5
xj
Dj , j 1,2,3
D
2019年6月19日星期三
14
a
1时,方程组为
2 x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 2
4 x1 5 x2 5 x3 1
不再是含参数 的方程组了
2 1 1 1
2019年6月19日星期三
21
2
4 5
1
1
A
4 5
1
1
2
1
0
15 22
0
1
5 11
4
5
5
1
0
0
0
2019年6月19日星期三
16
不再是含 参数的方
程组了
0
0
1
化、判、化、扩 例5
问a , b为何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 0
a1n xn a2n xn
b1 b2
b
b1 b2
am1 x1 am2 x2
amn xn bm
bm
a11 a12
2、矩阵形式：AX
b A
a21
a22
3、向量形式： x1
1 ,2 ,
,n
x2
2019年6月19日星期三 xn
AX 0 解的线性组合还是解。
AX=0解的结构(通解) n-r个基础解系的任意线性组合
AX=0的求解步骤
化、判、化、扩
2019年6月19日星期三
10
AX=b解的性质
1,2是 AX b的解，则1 2是对应的 AX 0的解
AX=b的通解
通解 = 特解 + 基础解系
AX=b的求解步骤 化、判、化、扩
行列式 Cramer法则：“非不唯”
初等行变换
有解的条件：R( A) R( A)
例4
a 为何值时，方程组
2 x1 ax2 x3 1 ax1 x2 x3 2
无解？
4 x1 5 x2 5 x3 1
有唯一解？无穷多解？并在有解时求其解。
2019年6月19日星期三
Step3.4：则 AX b的通解为：
X * k k 2019年6月19日星期1三 1
22
k 6
nr nr
k1 ,
kr R
化、判、化、扩
例1 求解方程组