2020-2021学年安徽省宿州市十三所重点中学高二上学期期中联考数学(文)试题

宿州市十三所重点中学2020-2021学年度第一学期期中质量检
测
高二数学试卷（文科）
注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．考生务必将答题内容填写在答题卡上，写在试题卷上无效。

一、选择题
120y -+=的倾斜角是（）
A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
2．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为（）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
3．若()2,3A -，()3,2B -，1,2C m ⎛⎫
⎪⎝⎭
三点共线，则实数m 的值为（） A ．2-
B ．2
C ．1
2
-
D ．
12
4．下列命题正确的是（） A ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B ．斜棱柱的侧面中可能有矩形
C ．用一个平面去截圆锥，得到的一定是一个圆锥和一个圆台
D ．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
5．已知直线1l ：3420x y --=和直线2l ：3430x y -+=，则1l 与2l 之间的距离为（）
A ．1
B
C ．2
D ．3
6．如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）
A ．72
B ．64
C ．48
D ．24
7．在空间直角坐标系中，点()1,3,1P -和点()2,1,2Q 之间的距离为（）
A
B C
D 8．已知两条不同的直线m ，n ，三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（） A ．若//m n ，//n α，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ
D ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥
9．圆1O ：()()2
2
122x y -+-=与圆2O ：2
2
4230x y x y +++-=的位置关系是（） A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
10．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为4，一只蚂蚁从A 点出发沿每个侧面爬到1A ，路线为1A M N A →→→，则蚂蚁爬行的最短路程是（）
A ．4
B ．5
C 、6
D ．1
11．已知点E ，F 分别是三棱锥P ABC -的棱PA ，BC 的中点，6PC AB ==，若异面直线PC 与AB 所成角为60°，则线段EF 长为（）
A ．3
B ．6
C ．6或
D ．3或12．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：2
2
230x y x ++-=的两条切线，切点分别为
A ，
B ，则四边形PACB 面积的最小值为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．若圆锥的母线长为4，底面半径为______．
14．若圆22
2440x y x y ++-+=关于直线0x y m -+=对称，则实数m 的值为______．
15．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知阳马P ABCD -，
PA ⊥底面ABCD ，3PA =，1AB =，2BC =，则此阳马的外接球的表面积为______．
16．已知直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围为______． 三、解答题
17．已知直线1l ：2360x y ++=，求直线2l 的方程，使得： （1）2l 与1l 平行，且过点()2,1-；
（2）2l 与1l 垂直，且2l 与两坐标轴围成的三角形面积为3．
18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，直线PA ⊥平面ABCD ．
（1）求证：//BC 平面PAD ；
（2）若AB AD =，求证：BD ⊥平面PAC ．
19．已知圆C ：2
2
870x y y +-+=，直线l ：()20x my m m R +-=∈．
（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判定直线与圆的位置关系；
（2）若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB =时，求直线l 的方程．
20．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，且AB =，M 是CD 上异于C ，D 两
点的一个动点．
（1）证明：MC ⊥平面ADM ；
（2）当四棱锥M ABCD -的体积最大且最大值为9时，求该四棱锥M ABCD -的侧面积． 21．已知圆C 与x 轴相切于点()1,0，且圆心C 在直线3y x =上， （1）求圆C 的方程；
（2）若圆C 与直线y x m =+交于不同两点A ，B ，若直角坐标系的原点O ，在以线段AB 为直径的圆上，求实数m 的值．
22．如图在Rt ABC △中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，且//MN BC ，AB BC =，2AM MB =．若将AMN △沿MN 折起到PMN △的位置，使得60PMB ∠=︒． （1）求证：平面PBN ⊥平面BCNM ；
（2）在棱PC 上是否存在点G ，使得//GN 平面PBM ？说明理由．
宿州市十三所重点中学2020-021学年度第一学期期中质量检测 高二数学（文科）试卷参考答案 一、选择题
二、填空题 13．8π 14．3
15．14π
16．
)
1,2⎡⎣
三、解答题
17．解：（1）设2l ：230x y m -+=，∵2l 过点()2,1-， ∴430m ++=，解得7m =-． 所以2l 的方程为：2370x y --=．
（2）设2l ：320x y p ++=，设2l 与x 轴交于点,03P M ⎛⎫-
⎪⎝⎭，与y 轴交于点0,2P H ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
∴13223
MOH P P
S =
⋅=△，∴236P =．∴6P =±． 所以2l 的方程为：3260x y ++=或3260x y +-=． （其他解法，酌情赋分！）
18．解：（1）证明：由题设易知：//BC AD ，AD
平面PAD ，
BC ⊂/平面PAD ，∴//BC 平面PAD ．
（2）证明：连接AC 、BD 由题设易知AC BD ⊥
又PA ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ，PA BD ⊥
AP 平面PAC ，AC 平面PAC ，AP AC A ⋂= ∴BD ⊥平面PAC ．PC
平面PAC ，BD PC ⊥．
19．解：（1）由题设知圆C ：()2
2
49x y +-=．所以圆C 的圆心坐标为()0,4，半径为3． 又l ：()20x m y +-=恒过()0,2M ，()2
2
02449+-=<
所以点M 在圆C 内，故直线必定与圆相交． （此问使用方程联立的方法也可！）
（2）圆心C 到直线l
的距离记为d =3r =
，
2AB
= 又2
22
2AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，代入解得：3m =±
． 所以直线l
的方程为：30x +-=
或30x +=． （其他解法，酌情赋分！）
20．（1）证明：由题设知，平面CDM ⊥平面ABCD ，平面CDM ⋂平面ABCD CD =，
AD CD ⊥，AD
平面ABCD ，所以AD ⊥平面CDM ．
又MC
平面CDM ，故AD MC ⊥．
因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且CD 为半圆弧CD 的直径， 所以DM MC ⊥． 又AD DM D ⋂=，AD 平面ADM ，MD
平面ADM ，
所以MC ⊥平面ADM ．
（2）由题意可知，当M 是半圆弧CD 的中点时，四棱锥M ABCD -的体积最大． 设BC a =
，则AB CD ==
，则21932
M ABCD V a -=⋅=，解得3a =．
此时，AB CD ==3AD BC ==．
易知，此时MCD △为等腰直角三角形，可求得3MD MC ==． 由（1）知，AD ⊥平面CDM ． 所以AD DM ⊥，BC CM ⊥．
易证，MCD MBC MAD ≌≌△△△， 所以19
3322
MCD MBC MAD S S S ===
⨯⨯=△△△．
又因为MA MB AB ===
(
2
MAB S =
=
△． 故该四棱锥M ABCD -
． （其他解法，酌情赋分!） 21．解：（1）由题意可得：
圆心C 的横坐标为1，且圆心直线3y x =上，可得圆心C 坐标为()1,3，半径3r =， 则圆C 的方程为：()()2
2
139x y -+-=．
（2）由()()22
139
y x m
x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩可得：()22228610x m x m m +-+-+= 设()11,A x y ，()22,B x y 则：122124612
x x m
m m x x +=-⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩，且2
41656m m ∆=-++，
由题意可得：OA OB ⊥，且11y x m =+，22y x m =+， 所以1OA OB k k ⋅=-代入化简可得：2
210m m -+= 求得：1m =，此时满足：2416560m m ∆=-++> 综上可知：1m =． （其他解法，酌情赋分！）
22．解：解：（1）在Rt ABC △中，由AB BC =可知，BC AB ⊥． 因为//MN BC ，所以MN AB ⊥．
翻折后垂直关系没变，仍有MN PM ⊥，MN BM ⊥． 又PM BM
M ⋂=，所以MN ⊥平面PBM ．
又60PMB ∠=︒， 可令2PM
=，则1BM =
，由余弦定理得PB =
所以2
2
2
PB BM PM +=，即PB BM ⊥．
又因为BM MN M ⋂=，所以PB ⊥平面BCNM ．
又因为PB 平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面BCNM ．
（2）在PC 上是存在一点G ，当
1
3
CG CP =时，使得//GN 平面PMB ． 证明如下：过点N 作//NH BM ，交BC 于点H ，则四边形BMNH 是平行四边形， 且2MN BH ==，1CH =． 又由NH ⊄平面PBM ，BM
平面PBM 知，//NH 平面PBM ．
再过点H 作//GH PB ，交PC 于点G ，则1
3
CH CG CB CP ==． 又由GH ⊄平面GHN ，PB 平面PBM 知，//GH 平面PBM ．
又NH
面GHN ，GH
面GHN ，GH HN H ⋂=，
所以平面//GHN 平面PBM ． 又GN
平面PBM ，所以//GN 平面PBM ．
（其他解法，酌情赋分！）。