立足基本图形 探究网格作图——以2020年天津市中考第18题(2)问为例

立足基本图形採堯网格作图
一以2020年天津市中考第18题（2)问为例
周佳佳
(天津市三人行数学工作室天津300380)
摘要：围绕“追溯源头”“解法探究”“生长引申”“教学感悟”四个方面对2020年天津市中考第18题进行探究，旨 在对此类题探本质，究内涵，评思路，找出路.
关键词：解法探究；网格作图；基本图形
网格作图是近几年天津市中考命题的一个“特 色”，命题往往融合平行、垂直、对称、全等与相似等知 识点,小网格，蕴含大能量.现围绕“追溯源头” “解法
探究”“生长引申”“教学感悟”四个方面对2020年天 津市中考第18题进行探究，旨在对此类题探本质，究 内涵，评思路，找出路.1
题目再现
题目（2020年天津市中考第18题）如图1，在
每个小正方形的边长为1的网格中，
的顶点<4,C 均落在格点上，点B 在网格线上，且
=
(1) 线段4(：的长等于_____.
(2) 以B C 为直径的半圆与边A C 相交于点/)，若 分别为边上的动点，当
+
取得最
小值时，请用无刻度的直尺，在如图1所示的网格中， 画出点Z 5，(?，并简要说明点P ，<?的位置是如何找到的 (不要求证明）______•
图1
2追溯源头
人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册第
5页中指出：连接直线外一点与直线上各点的所有线 段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.如图2所 示,PO 丄/(我们称P O 为点P 到直线/的垂线段），则
P O 这条线段最短.
p
图3
结合题目背景，我们可以将问题转化为：如图3 所示，
分别为边上的动点，当B P +P (?取
得最小值时，请用直尺和三角板，画出点
解析如图4所示，作点关于/i c 的对称点 过点丨作丄于点(？，交4C 于点P ,则点 即为所求.
证明如图5,在4C 上取异于点P 的点在
S C 上取异于点的点连接过点作 B 'Q ±B C 干点、Q ，交AC 于叙P _
因为点B 和'关于4C 对称，所以
= B 'P '，那
么B T 3' (当点三点共线时取
“=”），由“垂线段最短”知当B 'd B C 时,取得
最小值
把题目“源头”镶嵌在网格中，符合天津近些年命 题意图，弄清了题目的来龙去脉后，我们可以把所解 问题划分为两个步骤:先作出点6关于的对称点
，再过点丨作B '(?丄B C 于点(？，交/I C 于点R 3
解法探究
3.1关于作对称点的思考
策略1利用平行线等分线段成比例解题.
作法1如图6所示，取格点£，/\(；,圪连接£1 CW ,分别交竖直格线于点/，人连接//,连接S D 并延
作者简介：周佳佳（1990 -)，男，河南洛阳人，硕士，研究方向：
初中数学教学研究.
图4
B'
长交/•/于点,则点f即为所求.
解析由作图知Z I///G，且/!/= (：/,所以四边形 从/C为平行四边形，那么4C////
由于狀=/1/ = |~，所以
又B C为半圆的直径，所以乙B£»C= 90。

，即丄
，从而点B和S'关于4C对称.
作法2如图7所示，取格点£，F，连接£F，连接 SZ)并延长交于点B'，则点即为所求.
解析如图8所示,取格点Z/，G,连接£//，FC.易通过计算证明//C恰好经过点B.
由作图知四边形4E F C和四边形M G C都为平行 四边形，则 £F//zlC////C.因为 /IE = 所以 B/)= 丨Z)•又为半圆的直径，所以乙BZ)C二90。

，即4C丄SB',从而点B和B'关于4C对称.
策略2执果索因，逆向思维.
作法如图9所示，取格点尸,(；，好，/，连接《/，G/交于点7,记/I C与水平格线交于点0,连接*/0并 延长交竖直格线于点£，连接连接SZ)并延长交 /!£于点S'，点f即为所求.
解析如图9所示，由作图知点0为/1C的中点.因为 tan乙ACF= 了，tan Z__/O A f= += |,
T
所以厶ACF= AJOM.
因为 + ZA/OC二90。

，
所以乙/OM+ 乙A/OC=90。

.
所以0•/丄AC.
所以〇瓦为A C的垂直平分线.
那么似=£C,进而可以得到乙似C=乙£C4.
因为£C///1B,所以乙£C4 =乙&4C.
又因为B C为半圆的直径，所以=90。

.
所以 A/1SZ)二AAB'D.
所以=S'Z)，从而点B和S'关于/I C对称.
评析本题关于对称点提供了三种解题策略，策
略1和2都利用了平行线等分线段成比例和垂直进
而确定对称点的位置，策略3是通过逆向思维的方
式寻觅”对称点的位置，第一种思考方式更容易被
学生所接受,第二种思考方式存在一定的“偶然性”，
适宜那些逻辑较强的学生.
3.2 关于过一点作已知直线的垂线的思考
引例1如图是半圆的直径，点C在半圆
外;图11中，点C在半圆内.
(1) 在图10中，画出A/1B C中S C边上的高；
(2) 在图11中，画出A/IB C中边上的高，并写 出画法（不要求证明）.
作法（1)如图I2所示，记/IC,S C与半圆分别
交于点£,D,连接交于点F,连接C F并延长
交A S于点则C P为A/lf iC中4S边上的高；
(2)如图13所示，分别延长交半圆于点
C，连接并延长交于点F,连接F C并延长交
A S于点则C P为A/I
B C中/If l边上的高.
评析引例中的两小问都巧妙地利用了“直径所
对的圆周角为直角”“三角形三条高线相交于一点”这
两个知识点，从不同角度分别考查了圆周角定理的推
论和垂心的应用，需要学生在解题时具有一定的发散
思维能力.透析了引例中的关键点，再来审视2020年
天津市中考卷第18题(2)问，会发现命题人把引例中
涉及的考点“隐藏”于网格图形中，给题目设置了一层
神秘的面纱，经仔细推敲后，就会发现题目设置的美
妙之处.
策略圆周角定理的推论和三条高线交于一点.
作法连接fi'C交半圆于点C，连接B G交4C于
点P，连接B'P交B C于点(?，则点即为所求.
解析因为S C为半圆的直径，所以ZBD C
=
zlBGC= 90。

，即CZ)丄丄B'C,那么点 P 为△的垂心，则丄S C,从而知+ 取得最 小值.
评析图12为图14作图进行了铺垫，受图12中作三条高线的交点的作用，将图14转化迁移至图12, 有了两幅图的“储备”准备，图14的作图就会变得自 然流畅.
4生长引申
试题中的半圆为寻找对称点，作高线起到了“引擎”的作用，其作用在解题中可谓举足轻重.如果考虑 把半圆去掉，那么这个题是否还可以作出呢？我们不 妨设计如下的改编：
改编题如图15所示，在每个小正方形的边长 为1的网格中，的顶点七C均落在格点上，点S在网格线上，且仙=|■•若分别为边
上的动点，当BP+ P(?取得最小值时，请用无刻度的 直尺，在如图所示的网格中，画出点P，C>，并简要说明 点的位置是如何找到的（不要求证明）_____•
图14
经过分析可以发现题目本意没有发生变化，但是 由于去掉半圆，增加了作图的难度，尤其是过点作S C的垂线，主要问题出在网格作图的限制和分割线 段的困难，如果强行分割线段，效果适得其反，不过此 时可以换个角度进行思考，也可以达到解决问题的目的•
角度1构造全等，实现转化.
引例2如图16所示，点B和关于对称,
记交/1C于点Z),连接B'C，点C绕点B逆时针旋 转90°至点£，点£和£'关于fifi'对称，连接则'丄B'C,则点P为A B C B'的垂心，连接Z T P交BC 于点<?.证明：丄BC.
证明由题意知乙£B C=90。

，乙
ABCD =厶B'CD.因为乙EBD + 厶DBC 二厶BCD + = 90。

，所以乙=乙5CZ),等量代换得
Z P C B，，易证 ZPD S=90。

，即丄B'C，那么点P为A6CB'的垂心，由“三角形的三条高 线所在直线交于一点”得丄BC
作法如图17所示,取格点C，i连接C L交竖直 格线于点I连接S K，取格点人7\连接几交于点
S'，取格点W，f，/，连接//人/f交于点£，连接取
格点《，0，/!,,连接MO,义L交于点/V,取格点y,i r，连接y w交竖直格线于点连接/v x，取格点f i，t/，s，A，连接滞，S fi,，交于点K，连接交/VZ于点F，连 接'交/1C于点P，连接B'P并延长交f iC于点(?，则 点即为所求.
解析容易确定•/7T/々1C,且点到的距离和
几到/I C的距离相等，S A U7\根据平行线等分线段 成比例知B和B'关于/1C对称.根据分割线段知点£
在所在的小正方形里面相对点/的位置为（f，f)，
则可以得到仙=C B且丄CB.由作图知/VZ//B尺，由£欠=層知点£到M的距离和/V X到的距离
相等，又伙丄■，那么点£和£'关于狀对称，至此 可以得到'丄以C,那么点P为A S C S'的垂心，由“三角形的三条高线所在直线交于一点”得丄BC.
角度2整体平移思想.
如图18所示，交C£»于点£，沿垂直直线/方向平移A6至/T f D至C W,且满足/L4' = CC'，
记
/1'6'与（：'£>'交于点£'，连接£^,则££'丄/.
作法如图19所示，取格点/),£，连接取格点"，士，连接f/,岑交竖直格线于点F,连接交£>£于点B'，取格点//,/，人连接/1W交格线于点G,连 接〇/，/_/交于点连接取格点M，/V,0,连接 W,/VO交于点L，取格点,连接4,，/?，6,，S交 于点7\连接7X并延长交C K于点K连接fi'F分别交 于点P,B C于点(?，则P，(？即为所求.
解析点B和B'关于4C对称（解析过程不再赘 述)后，只需过点S'作B C的垂线即可确定P，(？的位
置，将点〇向左平移}个单位，再向下平移3个单位得到点C，由盖=諼=富则…/此/厦，可理解为把直线£>£平移至直线CK，同理，将点F向左平移+个单位，再向下平移3个单位得到点L，因为
/T= BL，fT//B i，则四边形f T L B为平行四边形，则 FS//71，可理解为把直线B F平移至直线71，记
和71的交点为K,则点向左平移^个单位，再向下
平移3个单位得到点V,连接W分别交/1C于点Z5, f iC于点(?，则P，(？即为所求.
评析角度1通过构造全等，实现问题的转化，难点在于思考量很大，作图过程复杂；角度2利用整 体平移思想将不在格点上的有理点迁移位置，在变换 的过程中,保持步调一致，是一个十分优美的解法，计 算量和几何构造量相比角度1有很大的优势.
5教学感悟
5.1网格作图彰显新意
网格作图是天津市历年来命题的一大特色，其包 含了平行、垂直、全等、勾股、圆、相似等知识点，考查 面广，具有较强的选拔性，旨在让不同的人在数学上 得到不同的发展.本题立足于网格，全面考查了三角 形高线，三角形的三边关系，圆周角定理的推论，轴对称变换，勾股定理，等腰三角形，直角三角形，线段和
的最值等核心知识，让学生体验了等价转化、由特殊
到一般、建模、数形结合等重要的数学思想方法，感悟
数学探究思考的意义，实现对数学核心素养的有效
考查.
5.2狠抓基本图形教学
《义务教育数学课程标准(2011年版）》提出了十
个“核心概念”：数感、符号意识、空间观念、几何直观、
数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用
意识和创新意识.
基本图形教学要求学生能够准确地识别题目中
的条件和结论，并且能够用几何语言对图形的内容进
行表述.在实际课堂教学过程中，教师要着重培养学
生对基本图形中所蕴含的定理和性质的认知能力，并
引领学生能通过综合法、分析法挖掘题目中的隐含信 息，寻求解题的路径.数学教材都注重从生活实例中
抽象、建模的过程，教师引导学生抽象出几何图形，再
抓住共性建立几何模型，分析几何模型的特点，得出
基本图形的结论.这样的教学活动不仅培养了学生的
数学抽象能力、归纳能力，又渗透了建模的数学思想•
5.3 解题教学中的反思
新时期的教育对教师提出，要通过教学实现学科
对学生发展的独特价值.解题教学是其中一个重要实
施手段，在实际操作过程中，我们应重视基本概念、基
本图形、基本结论的理解掌握，更应根据不同学生，开
展“因材施教”，找到不同学生的“最近发展区”，让学
生能够从中体会思考的意义.另外教师在教学时，除
了将重点知识进行梳理，重点方法进行归纳，还需要
运用思维导图或者思维线路等方法引导学生将解题
策略进行归纳整理，学生对解题策略铭记于心，那么
在解决问题时就不再“担惊受怕例如2020年天津
中考第18题(2)问，如果学生清楚“三角形三条高线
交于一点”，那么在处理垂直关系时就能很快找到解
题方法.在一个聚合了多个知识点的考题中，需要学
生在实际学习过程中养成严密思考、言必有据、实事
求是和科学严谨的学习态度，达到提升数学核心素养
的目标.
参考文献：
[1]白丽娜，刘金英,顾洪敏.探寻网格作图问题提升数学思维能力—2015年天津市中考试题第18题第（2)小题的
思考[J].中国数学教育,2016(Z3):102 -105 + 128.
[2]刘家良.小网格，大容量—品2018年天津市中考卷第18题第二问有感[J].中学数学，2019(02) :50 -52.
(收稿日期：2020 -12
-23)。