信息论与编码_第7章线性分组码

1 1 1 0 1 1 [000]. 0 0 1 0 0 1
17
线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求对偶码C
1 1 0 1 0 0 对偶码的生成矩阵=校验矩阵H 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
c mH , c1 m1 m2 m3 c m m 1 2 2 c3 m2 m3 c4 m1 c5 m2 c6 m3
例7-3 设一个（6,3）线性分组码C的校验矩阵为
1 1 0 1 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1
任何1列线性无关， 第1、2列线性相关， C的最小汉明距离 =2
23
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
21
线性分组码的最小汉明重量
定理7-4 线性分组码C的最小汉明距离等于该码中非零 码字的最小 汉明重量 。 例7-2（续3） 全体码字为：
码字 000000 011101 110001 101100 111010 100111 001011 010110
C的最小汉明距离=3， 可以纠1个错，检2个错
对偶码C 000 000 101 001 111 010 010 011 110 100 011 101 001 110 100 111
18
线性分组码的校验矩阵
课堂练习：已知(5, 3)线性分组码的生成矩阵为G
1 0 1 1 0 G 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0
信息元
000 001 010 011 100 101 110 111
码字
000000 011101 110001 101100 111010 100111 001011 010110
9
线性分组码的生成矩阵
系统线性分组码 m1m2,…,mkm1m2,…,mkck+1ck+2,…,cn
c1 m1 ... ck mk ck 1 g1k 1m1 g 2 k 1m2 ... g kk 1mk ... cn g1n m1 g 2 n m2 ... g kn mk
14
线性分组码的校验矩阵
校验（监督）矩阵 定理7-2 c是（n, k）线性分组码C的一个码字当且仅当 HcT=0 H被称为C的校验（监督）矩阵
cHT=0
GHT=0：G与H正交！
15
线性分组码的校验矩阵
系统线性码的校验（监督）矩阵
系统生成矩阵：G [ I k Pk ( n k ) ]， 校验矩阵: H [ PT I k ]( n k )k .
f
F2n S=F2k
C
3
线性分组码概念
定义7-1 一个(n, k)分组码C被称为线性分组码，如果 它满足全零 （0,0, …,0)C 任意两个码字的和也是码字. 即, c=(c0,c1,…,cn1), d=(d0,d1,…,dn1)C c+d=(c0+d0, c1+d1,…,cn1+dn1)C
ck+1ck+2,…,cn 称为校验 位！
1 0 ... 0 g1k 1 g1k 2 ... g1n 0 1 ... 0 g g 2 k 2 ... g 2 n 2 k 1 [I | P ] 系统生成矩阵：G k k k r 0 0 ... 1 g kk 1 g kk 2 ... g kn
(n, k)线性分组码的标准阵列：(n, k)线性码有2k=m个码字: C ={c0=(00,…,0),c1,…,cm1}. 全部n重有2n个元素，排成一个h=2nk行m=2k列的表
系统生成矩阵 1 0 0 1 1 1 Gs 0 1 0 1 1 0 I | P 0 0 1 0 1 1
校验矩阵 1 1 0 1 0 0 H P T | I 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
24
线性分组码的译码
差错图样（错误图样） c→发送的码字，r→接收的码字， 差错图样： e =rc. 对二进制码, 有: e =r⊕c, r=c⊕e，c =r⊕e. 因为 rHT=(c⊕e)HT=cHT⊕eHT=0⊕eHT=eHT eHT=0 接收码字r无差错！
25
线性分组码的译码
f
F2n S=F2k
C
4
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
5
线性分组码的生成矩阵
生成矩阵 C是F2n的一个k维线性子空间，设{g1,g2,…, gk}是C的一个基
g1 g11 g12 ... g1n g 2 g 21 g 22 ... g 2 n ... g k g k 1 g k 2 ... g kn
证明：c是码字 c m G P c H m G H m [ I k | P ] m 0 0. Ik
T T
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线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求系统码的校验矩阵H. 若收到码元序列r =(100110)，d =(101100)，验证是否为码字？
求全体码字C，系统生成矩阵Gs，校验矩阵Hs，系统码 Cs，对偶码C。
信息元 000 001 010 011 100 101 110 111 码C 系统码Cs 对偶码C
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线性分组码的校验矩阵
课堂练习：已知(5, 3)线性分组码的生成矩阵为G
1 0 1 1 0 G 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0
编码函数不同: ffs 码字相同
系统码fs 000 000 001 011 010 110 011 101 100 111 101 100 110 001 111 010
000 001 010 011 100 101 110 111
12
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
信息论与编码
Information and Coding Theory
第7章 线性分组码
王永容 机械与电气工程学院 wangyr416@
1
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
2
线性分组码概念 (n, k)线性分组码=“(n, k)分组”+“线性” 2元 (n, k)分组码 f : S=(F2)k C (F2)n m=(m2,…,mk)c=(c1c2,…,cn) C是(F2)n的一个k维线性子空间！
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线性分组码的最小汉明重量
定理7-5 线性分组码C的最小汉明距离是d当且仅当它的校 验矩阵H的任意d1列线性无关，而存在d列线性相关。 例7-2（续4） 校验矩阵为
1 1 0 1 0 0 H 1 1 1 0 1 0 1、4、5列线性相 关，C的最小汉明 距离=3
13
对偶码
线性分组码的校验矩阵
线性码C k维线性子空间C{0,1}n
对偶空间V={a=(a0,a1,…,an1){0,1}n， c=(c0,c1,…,cn1)C, ac }{0,1}n 是nk维子空间
C确定一个（n, nk）线性分组码，称为码C的 对偶码C，其生成矩阵记为H
编 码 函 数 f
c1 m1 m2 c m m m 1 2 3 2 c3 m1 m3 c4 m3 c5 m1 c6 m2 m3
编 码 函 数 fs
d1 m1 d m 2 2 d3 m3 d 4 m1 m2 d5 m1 m2 m3 d 6 m1 m3
d m1 1 0 0 1 1 1 m2 0 1 0 1 1 0 m3 0 0 1 0 1 1.
11
线性分组码的生成矩阵
例7-2（续1）：求系统生成矩阵Gs及全部码字
信息元
码f 000000 011101 110001 101100 111010 100111 001011 010110
1 1 0 r H T [100110] 1 0 0 r不是码字.
1 1 1 0 1 1 [001] [000]. 0 0 1 0 0 1
1 1 0 d H T [101100] 1 0 0 d 是码字.
信息元 000 001 010 011 100 101 110 111
码f 000000 011101 110001 101100 111010 100111 001011 010110
系统码fs 000 000 001 011 010 110 011 101 100 111 101 100 110 001 111 010
g1 g11 g g G 2 21 gk gk1 g12 ... g1n g 22 ... g 2 n g k 2 ... g kn
码字：c c1 c2 . .. cn m1 g1 +m2 g2 +...+mk gk mG.
求全体码字C，系统生成矩阵Gs，校验矩阵Hs，系统码 Cs，对偶码C。
1 0 0 0 1 Gs 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1
0 1 1 1 0 Hs 1 1 1 0 1
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线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
c1 m1 m2 c m m m 1 2 3 2 c3 m1 m3 c4 m3 c5 m1 c6 m2 m3
8
线性分组码的生成矩阵
例7-2 全体码字为：
c1 m1 m2 c m m m 1 2 3 2 c3 m1 m3 c4 m3 c5 m1 c6 m2 m3
7
线性分组码的生成矩阵
例7-2 已知(6, 3)线性分组码的生成矩阵G为
1 1 1 0 1 0 G 1 1 0 0 0 1 . 0 1 1 1 0 1
则编码函数f ：
c f (m) m1[1 1 1 0 1 0] m2[1 1 0 0 0 1] m3[0 1 1 1 0 1].
kn矩阵G称为生成矩阵
6
线性分组码的生成矩阵
例7-1 （4,2）分组码 C={(0,0,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,1,1)} 是线性分组码，其生成矩阵有三个：
0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 , 0 0 1 1 , 0 1 0 1
10
线性分组码的生成矩阵
非系统码转换为系统码—系统化 例7-2（续1）：求系统生成矩阵Gs及全部码字
1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 行变换:(1) (3) G 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 Gs (1)+(2); (2)+(3) 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1