人教版高中数学简易逻辑”教材分析与教学建议

“简易逻辑”教材分析与教学建议
简易逻辑知识与其它内容有着紧密联系，它们是学习掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的起点，且是新教材新增加的一部分,下面就我在这一章的教学中谈些体会一、地位：
（1）简易逻辑知识则是新增加的内容,也是高中数学的入门知识，学习掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的起点。

（2）简易逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具。

它和集合知识一样都是学习、掌握和使用数学语言的基础。

（3）逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科.学习数学,需要全面地理解概念,正确地进行表述,推理和判断,这就离不开对逻辑知识的掌握和运用.更广泛地说,在日常生活,学习,工作中,基本的逻辑知识也是认识问题,研究问题不可缺少的工具,是人们文化素质的组成部分.
二、考纲解读：
1、考试内容：逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。

2、考试要求：理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义、理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。

三、重点难点分析：
重点：对“或”“且”“非”等逻辑联结词的理解、四种命题之间的关系及利用真值表判断复合命题的真假。

难点：对反证法的理解及运用。

四、本部分的教材分析
（一）、初中与高中的衔接在集合这部分：
"简易逻辑".学生在初中数学中,学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识,掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解).由此,这一大节首先给出含有"或","且","非"的复合命题的意义,介绍了判断含有"或","且","非"的复合命题的真假的方法.接下来,讲述四种命题及其相互关系,并且在初中的基础上,结合四种命题的知识,进一步讲解反证法.然后,通过若干实例,讲述了充分条件,必要条件和充要条件的有关知识.这一大节的重点是逻辑联结词"或","且","非"与充要条件.学习简易逻辑知识,主要是为了培养学生进行简单推理的技能,发展学生的思维能力,在这方面,逻辑联结词"或","且","非"与充要条件的有关内容是十分必要的.这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断.初中阶段,学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉,并且,相关的技能和能力,主要还是通过几何课的学习获得的,初中代数侧重的是运算的技能和能力,因此,像对代数命题的证明,学生还需要有一个逐步熟悉的过程.根据《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》的规定,本章的教学要求是:理解逻辑联结词"或","且","非"的含义;理解四种命题及其相互关系;
（二）、内容与要求:
在逻辑这部分,有关命题的内容,突出的是对逻辑联结词"或","且","非"的理解和
对复合命题真值的认识,而不过多地涉及对一个语句是不是命题的判断.此外,像关于复合
命题的否定,对近期学习影响不大,学生学习又比较困难,本章基本未涉及.为了帮助学生理
解逻辑联结词"或","且","非",教科书中介绍了"或门电路","与门电路",这是两个应用的
实例.实际上,计算机的"智能"装置就是以数学逻辑为基础进行设计的。

进一步了解反证法,
会用反证法证明简单的问题;掌握充要条件的意义.
（三）、教学安排及内容：
本块共分三节：逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件，共6课时。

1.
2． 一个命题的真假与其他命题之间的关系
● 原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题
● 原命题为真命题，它的否命题不一定为真命题
● 原命题为真命题，它的逆否命题一定为真命题。

即原命题与它的逆否命题是等价命题。

3． 条件
（1）、从逻辑推理关系上看： ● 如P ⇒Q 那么P 是Q 的充分条件,Q 是P 的必要条件 ● 如P ⇒Q 且Q ⇒ P 那么P 是Q 的充分非必要条件 ● 如P ⇒Q 且Q ⇒ P 那么P 是Q 的充分非必要条件 ● 如P ⇔Q 那么P 是Q 的充要条件 ● 如P ⇒Q 且Q ⇒ P 那么P 是Q 的即不充分也不必要条件 （2）、从集合与集合之间的关系上看： ● 若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；
● 若B A ⊇，则A 是B 的必要条件；
● 若B A =，则A 是B 的充要条件；
● 若A B ⊄⊄且B A ，则A 即不是B 的充分条件，也不是B 的必要条件。

4、反证法：
●
● 适用反证法证明的命题：否定性问题、至多至少性问题、存在性唯一性问题
（四）、教学中应注意的问题：
⒈教学要求的把握要适时,适度本章是高中数学的起始章,适当地把握本章的教学要求
是教学中应该重视的问题.集合与逻辑的初步知识是高中数学的基础知识,学习这些内容,主
要是为今后进一步学习其他知识作基本语言,基本方法的准备,相应地,对知识系统性,严谨
性的要求一定要适度..本章安排的是集合与逻辑的初步知识,这些知识的讲述,是以初中数
学的内容为基础的.从引出有关知识的实例,到具体应用的问题,基本都属于初中数学的范围,
这种局限自然会对有关知识的理解和掌握造成一定影响.随着后续章节的学习,对集合与逻
辑知识的应用将越来越广泛和深入,相应地,对集合与逻辑知识理解和掌握的水平也就越来
越高了.因此,本章的教学要求,应该避免一步到位.关于含有"或","且","非"的复合命题的
真值表,在开始时,教学重点还是借助三个真值表,加深对含有"或","且","非"的复合命题的了解,而不必急于让学生掌握对一般复合命题的真假的判断.关于充分条件,必要条件与充要条件,本章对教学要求的尺度,还是控制在对初中代数,几何的有关问题的理解上为宜.
⒉提高集合与逻辑的教学效益目前高中数学教学的一个突出问题是教学效益不高.具体表现在:一方面,学生用在数学上的时间比较多,像与美国比,是美国学生的好几倍;另一方面,学生在考试中表现良好,但创造性能力和应用能力有一定欠缺,个性发展也存在着不足之处.为了后续章节的学习,在本章必须给学生打下适当的集合与逻辑基础,限于学生的预备知识与接受能力,在本章又不能过多地追求理论的完整,只有处理好这个关系,才能提高教学效益.因此,在实际教学时,一定要抓住重点.怎样把握本章的教学重点呢 一是要有助于对初中数学的理解,二是要能为高中数学的学习扫除障碍.换句话说,学习逻辑,要着眼于用逻辑的知识解决数学学习中的问题,而不要在概念的严谨性,知识的系统性上花过多的时间与精力.像逻辑中有不少问题,在学术界内部都有争论,在高一数学课上,就完全没有必要去涉及了.
⒊使用数学符号要规范：本章教材有不少集合与逻辑的数学符号,这些符号的采用,依据的是新的国家标准,其中有些符号与原教科书不同,在教学时应该注意.
（五）、例题精选:
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让学生能准确判定给定的两个命题的充要关系.
［例1、已知p ：|1－3
1-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.
命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.
知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.
错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.
技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.
解：由题意知：
命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.
p :|1－
31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤3
1-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q ：:x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *
∵p 是q 的充分不必要条件，
∴不等式|1－3
1-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0
∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴⎩
⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).
例2、有命题a,b,c,d,e 已知(1) a 是b 必要条件; (2) b 是d 的充要条件;
(3) 由d 不可推出c 但c 可推出d; (4) c ⇒e 成立,e 又等价于b;
问：(1)d 是a 的什么条件? (2) a 是c 的什么条件?
(3) c 是b 的什么条件? (4) d 是e 的什么条件?
分析:本题条件间有较多的交叉,从文字叙述的条件来推理容易混淆.但是若将各个命题间的关系用”⇒” ⇐”⇔”联结起来形成一个网络,那么就易解答了.如图所示:
a ⇐
b ⇔d ⇐c
e
以上是个人教学中的体会，由于水平有限，时间匆促，缺点错误在所难免，望各位同事批评指正。

五、04、05、06年高考题分析：
1. （04重庆）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条 件．那么p 是q 成立的：（ ）条件
（A ）充分不必要（B ）必要不充分（C ）充要（D ）既不充分也不必要
2. （04福建）命题p ：若a 、b ∈R ，则||||b a +＞1是||b a +＞1的充分而不必 要条件；命题q ：函数2|1|--=x y 的定义域是（－∞，][31 -，＋∞). 则（ ）（A ）“p 或q ”为假（B ）“p 且q ”为真 （C ）p 真q 假（D ）p 假q 真
3. （04浙江）“2
1sin =A ”是“A=30º”的（ ）条件 （A ）充分而不必要（B ）必要而不充分（C ）充分必要（D ）既不充分也必要 4. （04重庆）一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分
不必要条件是（ ） （A ）0a <（B ）0a >（C ）1a <- （D ）1a >
5. （04湖北）设A 、B 为两个集合，下列四个命题：
①A B ⇔对任意A x ∈，有B x ∉ ②A B ⇔=B A ∅
③A B ⇔A ⊇B ④A B ⇔存在A x ∈，使得B x ∉ 其中真命题的序号是 ．（把符合要求的命题序号都填上）
6. （05北京卷）“m =2
1”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的 (B) （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件
（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
7. （05江西卷） “a =b ”是“直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的（A ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件
8. （05天津卷）给出下列三个命题
①若1->≥b a ,则b b a a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2
)(n m n m ≤- ③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆O 2以),(b a Q 为圆心且半径为 1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆O 1与圆O 2相切其中假命题的个数为（ B ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9. （05天津卷）设γβα、、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件
（D ） A ． l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα B ． γβγαγα⊥⊥=⋂,,m
C ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,
D ． αβα⊥⊥⊥m n n ,,
10. （05福建卷）已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：
①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα
③若.,//,βαβα⊥
⊥则m m 其中真命题的个数是（ C ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3 11. （05广东卷）给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若m α⊂，l A α=，点A m ∉，则l 与m 不共面；
②若m 、l 是异面直线，l α，m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥；
③若l α，m β，αβ，则l m ； ④若l α⊂，m α⊂，l m =点A ，l β，m β，则αβ．
其中为假命题的是(C) （Ａ）①（Ｂ）②（Ｃ）③（Ｄ）④
12. （05江苏卷）设γβα，，为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下
列四个命题:
① 若；，则，βαγβγα//⊥⊥②若；则βαββαα//,//,//,,n m n m ⊂⊂ ③；则若βαβα//,,//l l ⊂④.//,//,,,n m l n m l 则若γαγγββα=⋂=⋂=⋂ 其中真命题的个数是(B ) ( A ) 1 ( B ) 2 ( C ) 3 ( D )4
13. （05辽宁卷）已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平
面，给出下列四个命题： ①若βαβα//,,则⊥⊥m m ；
②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂
⊂； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂
其中真命题是（D ） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④
D ．①和④ 14. （05浙江卷）设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且
l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 (D ) (A) ①是真命题，②是假命题
(B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
15. （05福建卷）已知p ：,0)3(:,1|32|<-<-x x q x 则p 是q 的（ A ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 16. （05湖北卷）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：
①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
17. （05江西卷）设集合⋃
--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（I C B ）=（D ） A ．{1} B ．{1，2} C ．{2} D ．{0，1，2}
18. （05湖南卷）设集合A ＝｛x |
1
1+-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠Φ ”的（ A ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分又不必要
19. （05辽宁卷）极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（B ）条件 A ．充分而不必要的B ．必要而不充分的C ．充要D ．既不充分也不必要
20. （05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数
x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = 。

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.
.如 ①x 轴，－3－log 2x ②y 轴，3+log 2(－x ) ③原点，－3－log 2(x ) ④直线y=x , 2x －3
21. （05江西卷）以下同个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零
常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2
OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆2
2135
x y +=有相同的焦点.其中真命题的序号为 ③④ 22. （06天津卷）设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”
是“N a ∈”的（ B ）条件
A ．充分而不必要
B ．必要而不充分
C ．充分必要
D ．既不充分也不必要
23. （06湖北卷）有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给
出下列命题：
①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card ()A + card ()B ；
②B A ⊆的必要条件是card ()≤A card ()B ；
③B A ⊄的充分条件是card ()≤A card ()B ；
④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .
其中真命题的序号是 （B ） A. ③、④ B. ①、② C. ①、④ D. ②、③
24. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平
面上”的 [答]（ A ）条件；
（A ）充分非必要（B ）必要非充分C ）充要（D ）非充分非必要。