2024年中考数学第一次模拟试卷(无锡卷)(全解全析)

2024年中考第一次模拟考试（无锡卷）
数
学·全解全析
（考试时间：120分钟
试卷满分：140分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．下列各组数中，互为相反数的组是()
A ．2023-和2023-
B ．2023和
12023C ．2023-和2023D ．2023-和
1
2023
【答案】A
【解析】解：A ．20232023-=和2023-互为相反数，故A 选项符合题意；B ．2023和
1
2023
互为倒数，故B 选项不符合题意；C ．20232023-=和2023不互为相反数，故C 选项不符合题意；D ．2023-和1
2023
不互为相反数，故D 选项不符合题意；故选：A ．2．已知1
14
A a =-
+，下列结论正确的是（）
A ．当5a =-时，A 的值是0
B ．当4a >-时，A 的最小值为1
C ．若A 的值等于1，则4a =-
D ．若A 的值等于2，则5
a =-【答案】D
【解析】解：当5a =-时，1
111254
A =-
=+=-+，A 选项错误；
当4a >-时，40a +>，104a >+，104a -<+，1
114
a -<+，即A 的最小值小于1，B 选项错误；当1A =时，1
114
a =-+，解得4a =-，此时分式无意义，故不合题意，C 选项错误；当2A =时，1
214
a =-+，解得5a =-，D 选项正确，故选：D ．
3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，1122,2∠=︒∠的度数为（
）
A ．32︒
B ．58︒
C ．68︒
D ．78︒
【答案】B
【解析】解：如图，
根据题意得：a b ，c d ∥，∴13180∠+∠=︒，32∠=∠，∵1122∠=︒，∴258∠=︒．故选：B ．
4．下列计算错误的是（
）
A ．()2
1x x x x -=-B ．325
x x x ×=C ．()2
36
x x =D ．()2
224
a a -=-【答案】D
【解析】解：A 中()2
1x x x x -=-，正确，故不符合要求；
B 中325x x x ×=，正确，故不符合要求；
C 中()2
36x x =，正确，故不符合要求；
D
()
2
222444a a a a -=-+≠-，错误，故符合要求；
故选：D ．
5．若点()()()112233A x y B x y C x y ，、，、，是反比例函数11
y x
=-图象上的点，且1230x x x <<<，则123y y y 、、的大小关系是（）
A ．123y y y <<
B ．321
y y y <<C ．231
y y y <<D ．312
y y y <<【答案】D
【解析】解：根据题意画出函数图象得，
可知，312y y y <<．故选：D ．
6．
随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km /h ，动车提速后行驶480km 与提速前行驶360km 所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km /h ，则下列方程正确的是（）
A ．
360480
60
x x =+B ．
360480
60x x =-C ．
360480
60
x x =-D ．
360480
60x x
=+【答案】B
【解析】解：根据题意，得360480
60x x
=-．故选：B ．
7．将抛物线()2
15y x =-+通过平移后，得到抛物线的解析式为223y x x =++，则平移的方向和距离是（
）
A ．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B ．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C ．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D ．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】D
【解析】解：抛物线()2
15y x =-+的顶点坐标为15（，），抛物线()2
22312y x x x =++=++的顶点坐标为()12-，
，而点()15
，向左平移2个，再向下平移3个单位可得到()12-，，所以抛物线()2
15y x =-+向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x 2+2x+3．故选：D ．
8．如图，正方形ABCD 和正方形AEFG ，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒时，如图，连接DG 、BE ，并延长BE 交DG 于点.H 若AE =228AB =，时，则线段BH 的长为（
）
A 1610
5
B 14105
C ．5210+
D ．610
+【答案】A
【解析】解：连结GE 交AD 于点N ，连结DE ，如图，
正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒，
AF ∴与EG 互相垂直平分，且AF 在AD 上，2
AE = 22AN GN ∴==，826DN ∴=-=，
在Rt DNG 中，DG =
22DN GN +2=10；
由题意可得：ABE 相当于逆时针旋转90°得到AGD ，
2DG BE ∴==10，
DEG S = 12
GE ND ⋅=
12
DG HE ⋅，
HE ∴=
10=6105
BH BE HE ∴=+=
61010
21055
+=
故选：A ．
9．如图，AB 是O 的一条弦，点C 是O 上一动点，且ACB θ∠=，点E ，F 分别是,AC BC 的中点，直线EF 与O 交于G ，H 两点，若O 的半径是r ，则GE FH +的最大值是（
）
A ．()2sin r θ-
B ．()2sin r θ+
C ．()2cos r θ-
D ．()
2cos r θ+【答案】A
【解析】解：作直径AP ，连接BP ，
90ABP ∴∠=︒，
,2P C PA r θ∠=∠== ，
sin sin AB P AP
θ∴∠==
，2sin AB r θ∴=⋅，
∵E ，F 分别是,AC BC 的中点，EF ∴是ABC 的中位线，
1
sin 2
EF AB r θ∴=
=⋅，GE FH GH EF +=- ，
∴当GH 长最大时，GE FH +有最大值，∴当GH 是圆直径时，GH 最大．
∴GE FH +最大值是()2sin 2sin r r r θθ-=-．故选：A ．
10．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以AE 为边向上作正方形AEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边AE 上取点M 使AM AD =，作MN AG ∥交CD 于点L ，交FG 于点N ，记AE a =，EM b =，欧几里得在《几
何原本》中利用该图解释了()()22
a b a b a b +-=-．现以BM 为直径作半圆O ，恰好经过点H ，交CD 另一
点于P ，记HPB △的面积为1S ，DLF △的面积为2S ，若1b =，则12S S -的值为(
)
A ．1
2B ．
22
C ．1
D 2
【答案】A
【解析】解：依题意得：四边形AEFG AMLD ，均为为正方形，四边形AMNG MEFN MEHL MBCL EBCH ，，，，均为矩形，∵AE a EM b ==，，点E 为AB 的中点，
∴EB AE CH a ===，AD AM DL EH BC a b =====-，DG LN HF ME HL b =====，ML EH BC ==，∴()211
•22
S DL HF a b b =
=-，连接MH ，
∵HC ME ∥，
∴ MH
BP =，∴MH BP =，
在Rt MHL △和Rt BPC △中，ML BC MH BP
=⎧⎨=⎩，
∴()Rt Rt HL MHL BPC ≌△△，∴HL PC b ==，∴HP CH PC a b =-=-，∴()2
11122
S HP BC a b =
⨯=-，∵MB 为直径，
∴90MHB ∠=︒，即90MHE BHE ∠+∠=︒，∵90MEH HEB ∠=∠=︒，∴90HME MHE ∠+∠=︒，∴HME BHE ∠=∠，∴HME BHE ∽，∴EH EB EM EH =：：，
∴2EH BE EM =⨯，即：()2
a b ab -=，
∴()2
11122
S a b ab =
-=，∴()212111
222S S ab a b b b -=--=，∵1b =，∴1212
S S -=．故选：A ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．化学元素钉()Ru 是除铁
()Fe 、钻()Co 和镍()NIi 以外，在室温下具有独特磁性的第四个元
素．钉()
Ru 的原子半径约0.000 000 000 189m ．将0.000 000 000 189用科学记数法表示为．
【答案】10
1.8910-⨯【解析】解：100.000 000 000 189 1.8910-=⨯，
故答案为：10
1.8910-⨯12．若2a +与3b -互为相反数，则22a b =．
2
【解析】解：∵2a +与3b -互为相反数，∴230a b ++-=，即1a b +=，∴)2222a b a b =+=213．不等式组32122
x x x x ≥-⎧⎪
⎨+≥⎪⎩的解集是
．
【答案】113
x -≤≤
【解析】解：321
22x x x x ≥-⎧⎪
⎨+≥⎪⎩
①②解不等式①得：1x ≥-解不等式②得：13
x ≤
，∴不等式组的解集为：1
13x -≤≤，
故答案为：1
13
x -≤≤．
14．写出一个图象是曲线且过点()1,2的函数的解析式：．
【答案】2
y x
=
（答案不唯一）【解析】解：设反比例函数解析式为k y x
=，依题意，2
k =∴一个图象是曲线且过点()1,2的函数的解析式是：2y x
=，故答案为：2
y x
=
（答案不唯一）．15．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是
．
【答案】3π
根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．【解析】解：如图：
∵ABC 是正三角形，∴60BAC ∠=︒，∴ BC
的长为：603
180
ππ⨯=，∴“莱洛三角形”的周长=33ππ⨯=．故答案为：3π．
16．如图，已知平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连接AE DE 、，若AD DE =，AE DC =，4BE =，
tan 3B ∠=，则EC 的长为
．
【答案】6
【解析】解：作,AF BE DG AE ⊥⊥，如图所示：
∵,AE DC AB DC
==
∴,AB AE B AEB =∠=∠∵AD BC ∥∴AEB DAE ∠=∠∴B AEB DAE ∠=∠=∠∵4BE =∴2BF EF ==∵tan 3AF
B BF
∠=
=∴226,210AF AB AE AF BF ===+=∵AD DE =,DG AE ⊥∴10
AG EG ==∵tan tan tan 3DAE AEB B ∠=∠=∠=∴22310,10DG AD DG AG ==+=∴10BC AD ==∵4
BE =∴6EC BC BE =-=故答案为：6
17．我国魏晋时期的数学家刘徽(263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 3.14π≈．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，⋯，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为R ，圆内接正六边形的周长66P R =，计算632P πR ≈
=；圆内接正十二边形的周长1224sin15P R =︒，计算12 3.102P
πR
≈=；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率π≈
．（参考数据：sin150.258︒≈，
sin 7.50.130)
︒≈【答案】3.12
【解析】解：圆内接正二十四边形的周长2448sin 7.5P R =⋅⋅︒，则48sin 7.5480.130 3.1222
R R π⋅︒⨯≈≈≈，故答案为3.12
18．如图，点A 是双曲线y=8x
在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．
【答案】y=﹣8
x ．
【解析】解：如图，连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，
∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y=8
x 的交点，
∴点A 与点B 关于原点对称，
∴OA=OB ，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴OC=OA ，OC ⊥OA ，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE ，
∵在△COD 和△OAE 中，CDO OEA DCO EOA CO OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△COD ≌△OAE （AAS ），
设A 点坐标为（a ，
8a ），则OD=AE=8a ，CD=OE=a ，∴C 点坐标为（﹣
8a
，a ），∵﹣8a a ∙=﹣8，∴点C 在反比例函数y=﹣
8x
图象上．故答案为：y=﹣8x ．三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：()1
03127123π2-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；（2）用配方法解方程：24210x x --=．【解析】（1）解：原式()23211
=--+23211
=+-+52=（2）解：24210
x x --=2421
x x -=244214
x x -+=+()2225
x -=25
x ∴-=±17x ∴=，23
x =-20．计算：
(1)()()22a b b a b -+-；(2)21241121
x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭【解析】（1）解：()()
22a b b a b -+-222
22a ab b ab b =-++-2a =；
（2）解：21241121
x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭()2
1212(2)
x x x x ++=⨯++1
2x +=21．如图，在ABC 中，过A 点作AD BC ∥，交ABC ∠的平分线于点D ，点E 在BC 上，DE AB ∥．
(1)求证：四边形ABED 是菱形；
(2)当6BC =，4AB =时，求DF 的长．
【解析】（1）证明：∵AD BC ∥，DE AB ∥，
∴四边形ABED 是平行四边形，
∵AD BC ∥，
∴ADB CBD ∠=∠，
∵BD 平分ABC ∠，
∴ABD CBD ∠=∠，
∴ADB ABD ∠=∠，
∴AD AB =，
∴四边形ABED 是菱形；
（2）解：∵四边形ABED 是菱形，4AB =，
∴4DE BE AD AB ====，AD BC ∥，
∴ADF CEF ∠=∠，
∵AFD CFE ∠=∠，
∴CEF ADF ∽△△，∴AD
DF
CE EF =，
∵6BC =，
∴2CE BC BE =-=，
∴42DF EF
=，∴2DF EF =，∴23DF DE =
，∴83
DF =．22．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片A ，B ，C ，卡片除正面图案不同外，其余均相同，
(1)若将三类卡片各10张，共30张，正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是___________．
(2)现将三类卡片各一张，放入不透明箱子，小明随机抽取一张，看后，放回，再由小充随机抽取一张．请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到相同卡片的概率．
【解析】（1）解；∵一共有30张卡片，其中琮琮的卡片有10张，且每张卡片被抽到的概率相同，∴从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
101303
=，故答案为：13．（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中恰好摸到相同卡片的结果数有3种，∴恰好摸到相同卡片的概率为3193
=．23．
某校初三物理组为激发学生学习物理的热情，组织初三500名学生进行“水火箭”制作和演示飞行活动．为了解该年级学生自制水火箭的飞行情况，现随机抽取40名学生进行水火箭飞行测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：5060,6070,7080,8090,90100x x x x x ≤<≤<≤<≤<≤<，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在8090x ≤<这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，8.8，89，根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)抽取的40名学生成绩的中位数是____________；
(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，
试估计该年级500名学生中水火箭飞行测试为优秀的学生约有多少人？
【解析】（1）解：在7080x ≤<这组的人数为：404612108----=（人），补全频数分布直方图如下：
（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，
∵数据处于较小的三组中有46818++=（个）数据，
∴中位数应是8090x ≤<这一组第2，3个数据的平均数，∴中位数为：8183822
+=（分），故答案为：82分；
（3）∵样本中优秀的百分比为：1210100%55%40
+⨯=，∴可以估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：55%500275⨯=（人），
答：估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有275人．
24．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．
(1)经过点A 、B 、D 三点作O ；
(2)O 是否经过点C ？请说明理由．
【解析】（1）解：如图所示，O 即为所求；
（2）O 经过点C ，理由如下：
连接OC ，
∵90BCD ∠=︒，点O 为BD 的中点，∴12
CO BC OD OB ===，∴点C 在O 上．
25．最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P 距底面a 米，最低处的点Q 距底面b 米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF 上求使视角最大的点．
如图2，当过P Q E ，，三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角PEQ ∠最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E 的水平线HM 上任取异于点E 的点E '，连接PE '交O 于点F ，连接QF ，…
任务一：请按照小明的思路，说明在点E 时视角最大；
任务二：若3 1.8a b ==，，观察者的眼睛距地面的距离为1.5米，最大视角为30︒，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到0.013 1.73≈)．
【解析】任务一：过点E 的水平线HM 上任取异于点E 的点E '，连接PE '交O 于点F ，连接QF ，∵PFQ ∠是QFE ' 的外角，
∴PFQ PE Q '∠>∠，
又∵PFQ ∠与PEQ ∠都是弧PQ 所对的圆周角，
∴PFQ PEQ ∠=∠，
∴PEQ PE Q '∠>∠，
∴在点E 时视角最大．
任务二：∵30PEQ ∠=︒，
∴60POQ ∠=︒，
又∵OP OQ =，
∴OPQ △是等边三角形，OP OQ PQ ==．
如图2，连接OE ，
∵HE 是O 的切线，
∴90OEH ∠=︒，
∵90PHE ∠=︒，
∴180OEH PHE ∠+∠=︒，
∴//PQ OE ，
又∵PQ OP OE ==，
∴四边形PQOE 是平行四边形，
∴30OPE PEQ ∠=∠=︒，
∴603030EPH OPQ OPE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
由题意得，3 1.5 1.5PH =-=(米)，
在Rt PHE △中，3•tan 1.50.873
HE PH EPH =∠=⨯(米)．答：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想．
26．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如
图1所示，他在会场的两墙AB 、CD 之间悬挂一条近似抛物线2435
y ax x =-+的彩带，如图2所示，已知墙AB 与CD 等高，且AB 、CD 之间的水平距离BD 为8米．
(1)如图2，两墙AB ，CD 的高度是米，抛物线的顶点坐标为；
(2)为了使彩带的造型美观，
小星把彩带从点M 处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M 到墙AB 距离为3米，使抛物线1F 的最低点距墙AB 的距离为2米，离地面2米，求点M 到地面的距离；
(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M 到地面的距离提升为3米，通过适当调整M 的位置，使
抛物线2F 对应的二次函数的二次项系数始终为15
，若设点M 距墙AB 的距离为m 米，抛物线2F 的最低点到地面的距离为n 米，探究n 与m 的关系式，当924
n ≤≤时，求m 的取值范围．【解析】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为4x =，则45422b x a a
==-=-，解得：0.1a =；∴抛物线的表达式为0.10.83y x x =-+，则点(0,3)A ，即3AB CD ==（米)，
当4x =时，0.10.83 1.4y x x =-+=，即顶点坐标为(4,1.4)，
故答案为：3，(4,1.4)；
（2）解：设抛物线的表达式为2(2)2y a x ='-+，
将点A 的坐标代入上式得23(02)2a ='-+，解得14
a '=，∴抛物线的表达式为21(2)24
y x =-+，当3x =时，21(2)2 2.254
y x =-+=（米)，∴点M 到地面的距离为2.25米；
（3）解：由题意知，点M 、C 纵坐标均为4，则右侧抛物线关于M 、C 对称，
∴抛物线的顶点的横坐标为11(8)422m m +=+，则抛物线的表达式为211(4)52
y x m n =--+，将点C 的坐标代入上式得2113(84)52m n =--+，整理得21412055
n m m =-+-；当2n =时，即214122055m m =-
+-，解得85m =-；当9
n 4=时，同理可得86m =故m 的取值范围为：8685m ≤≤27．定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
(1)如图1，将ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 落在BC 边上的D 处，再将纸片分别沿EF ，HG 折叠，使点B 和点C 都与点D 重合，得到双层四边形EFGH ，则双层四边形EFGH 为______形．
(2)ABCD Y 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形EFGH 为矩形，若5EF =，12EH =，求AD 的长．
(3)如图3，四边形ABCD 纸片满足AD BC ∥，AD BC <，AB BC ⊥，8AB =，10CD =．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时BC 的长．
【解析】（1）双层四边形EFGH 为矩形，
理由如下：由折叠的性质可得AEH HED ∠=∠，BEF DEF ∠=∠，180AEH HED BEF DEF ∠+∠+∠+∠=︒ ，90HED DEF ∴∠+∠=︒，
90HEF ∴∠=︒，
同理可得90EHG EFD ∠=∠=︒，∴四边形EFGH 是矩形，故答案为：矩；
（2） 四边形EFGH 为矩形，90FEH ∴∠=︒，EH FG =，EH FG ∥，222251213FH EF EH ∴=+=+=，EHM GFN ∠=∠，又ABCD 为平行四边形，A C ∴∠=∠，AD BC =，由折叠得A EMH ∠=∠，C GNF ∠=∠，EMH GNF ∴∠=∠，
在EHM 与GFN 中，
EH FG
EHM GFN EMH GNF
=⎧⎪∠=∠
⎨⎪∠=∠⎩，
(AAS)EHM GFN ∴ ≌，
MH NF ∴=，
由折叠得AH MH =，CF FN =，AH CF ∴=，
又AD BC = ，
DH BF FM ∴==，
又AD AH DH =+ ，HF MH MF =+，13AD HF ∴==．
（3）有以下三种基本折法：折法1中，如图所示：
由折叠的性质得：AD BG =，142AE BE AB ==
=，152
CF DF CD ===，GM CM =，90FMC ∠=︒， 四边形EFMB 是叠合正方形，
4BM FM ∴==，2225163GM CM CF FM ∴=-=-=，
1AD BG BM GM ∴==-=，7BC BM CM =+=；
折法2中，如图所示：
由折叠的性质得：四边形EMHG 的面积12=梯形ABCD 的面积，142AE BE AB ===，DG NG =，NH CH =，BM FM =，MN MC =，
12
5GH CD ∴==， 四边形EMHG 是叠合正方形，
5EM GH ∴==，正方形EMHG 的面积2525==，
90B ∠=︒ ，
2225163FM BM EM BE ∴=-=-=，
设AD x =，则3MN FM FN x =+=+，
梯形ABCD 的面积1
()82252
AD BC =+⨯=⨯，252AD BC ∴+=，252
BC x ∴=-，2532
MC BC BM x ∴=-=--，
MN MC = ，
25332
x x ∴+=--，解得：134x =，134AD ∴=，251337244
BC =-=．折法3中，如图所示，作GM BC ⊥于M ，
则E ，G 分别为AB ，CD 的中点，
则4AH AE BE BF ====，152
CG CD ==，正方形的边长42EF GF ==4GM FM ==，2225163CM CG GM --=，
11BC BF FM CM ∴=++=．
综上所述：7BC =或11或374
．28．如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且1OA =，4OB OC ==．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接AC 、BC ．动点D 从点A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位长度向点B 做匀速运动；同时，动点E 从点B 出发，在线段BC 2个单位长度向点C 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE ，设运动时间为t 秒．在D 、E 运动的过程中，当t 为何值时，四边形ADEC 的面积最小，最小值为多少？
(3)点M 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点N 在x 轴上，是否存在以点M 为直角顶点的等腰直角三角形
CMN ？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：∵4OB OC ==，1OA =，则()0,4C ，()4,0B ，()0,1A -∴抛物线解析式为2(1)(4)34y x x x x =-+-=-++；
（2）解：∵4OB OC ==，
∴OBC △是等腰直角三角形，由点的运动可知：
2BE t =，过点E 作EF x ⊥轴，垂足为F ，
∴22t
BE BF t t ==，
又∵()0,1A -，则5AB =，
∴ADEC ABC BDE
S S S =- 1
1
45(5)22t t
=⨯⨯-⨯-⨯21
5
55
(228t =-+，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，∴224442AC =+=5AB =，
∴04t ≤≤，当5
2t =时，四边形ADEC 的面积最小，即为55
8；
（3）解：存在，(15,15)M +或(222,222)M -，当点M 在CN 的右侧时，如图所示，
过点M 作y 轴的平行线PQ ，交x 轴于点Q ，过点C 作CP PQ ⊥，∵CMN 是以M 为直角为直角顶点的等腰直角三角形，∴CM MN =，90CMN ∠=︒，
∴90PCM PMC NMQ ∠=︒-∠=∠，
又90CPM MQN ∠=∠=︒
∴CPM MQN ≌，
∴CP MQ =，
设2(,34)M m m m -++，
∴234m m m -++=，解得：51m =或15m =∴(15,15)M ；
当点M 在CN 的右侧时，同理可得234m m m -++=-，解得：222m =-22m =（舍去）∴(222,222)M -，综上所述，(15,15)M 或(22,22)M -．。