圆周运动

匀速圆周运动（一）

知识要点：

知道什么是匀速圆周运动，理解圆周运动是变速运动。理解线速度的概念，知道线速度就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度，理解角速度、周期、频率和转速的概念，会用有关公式进行计算。理解线速度、角速度、周期、频率和转速之间的关系，会用有关公式进行计算。 1. 匀速圆周运动、圆周运动；运动轨迹为圆或圆的一部分，这样的运动叫圆周运动。如果质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动叫匀速圆周运动。

匀速圆周运动的轨迹为曲线，所以匀速圆周运动是变速运动，匀速是运动的快慢程度不改变。

匀速圆周运动是变速运动，所以做匀速圆周运动的物体状态是非平衡态，所受合外力不为零。

2. 描述圆周运动的物理量

（1）线速度：线速度大小又叫速率，用v 表示，t

S

v =，S 为弧长，t 为通过这段弧长的时间，速率越大则沿弧运动得越快。

线速度的方向为圆的切线方向。 线速度就是圆周运动的瞬时速度。

（2）角速度：连接质点和圆心的半径转过的角度ϕ，与所用时间比叫角速度t

ϕ

ω=

。

ϕ的单位是弧度，时间t 单位是秒，ω的单位就是弧度/秒，用字母表示为s rad /角速

度的大小描述了做圆周运动绕圆心转动快慢程度。角速度大则绕圆心转得快。对一个不变形

的物体转动中任何点转过的角度都相同，所以角速度都相同。

（3）周期：使圆运动运动一周的时间叫周期用字母T 表示，单位为秒。 周期描述圆周运动重复的快慢，也反映了转动快慢。周期越小，转动越快。

（4）频率：1秒内完成圆周运动的次数叫频率。它是周期的倒数，单位是1/秒。用符号f 表示单位又叫赫兹（Hz ），f 越大，转动就越快。

（5）转速：工程技术中常用。定义为每秒转过的圈数，数值与频率相同，单位也是1/秒。

各量之间的关系，线速度与角速度t

S v =

， ϕR S =t R ω=，ωR v =

R 一定，v 与ω成正比，ω一定v 与R 成正比，v 一定，ω与R 成反比。 （6）f T v 、、、ω的关系：

f T f

T ππω2/21===

==

T

r

v π2ωπr rf =2 （7）向心加速度

① 物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

② 大小：r f r T

r r v a 22222

244ππω==== ③ 方向：总是指向圆心，与线速度方向垂直

3. 匀速圆周运动

（1）定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间里通过的圆弧长度相等，就是匀速圆周运动。

（2）运动学特征：线速度大小、向心加速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动。

4. 向心力

（1）作用效果：产生向心加速度，以不断改变物体的速度方向，维持物体做圆周运动。

（2）大小：r f m r T

m r m r v m ma F 22222

244ππω===== （3）产生：向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力。

5. 向心加速度的分析

向心加速度是向心力的效果，其方向与向心力相同，总是指向圆心。 从运动的角度看，向心加速度是描述做匀速圆周运动的物体的速度方向变化情况的物理

量，其计算公式r f r T

r r v a 22222

244ππω==== 由上式可以看出：当线速度v 一定时，向心加速度a 跟轨道半径r 成反比；当角速度ω

一定时，向心加速度a 跟r 成正比；由于ωr v =，所以a 总是跟v 与ω的乘积成正比。 6. 圆周运动中向心力的特点

（1）匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。

（2）变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化．求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度，在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心，合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。

【典型例题分析】

[例1] 皮带传动装置B A r r 21=

，B C r r 2

1

=，求ω与v 的大小关系？ 解析：A 与B 线速度大小相等，B A v v =，两轮转动角速度不等，::B B A r =ωωA r A 轮转得快，同一轮上的B 与C 角速度相等，C B ωω=，C B r r 2=

B B B r v ω=，

C C C r v ω=，C B v v 2=

[例2] 地球的半径约为R=6400km ，试计算：

（1）赤道上的物体随地球自转的线速度多大？

（2）北纬︒60的地方，随地球自转的角速度、线速度各是多少？

解析：地面上的物体随地球自转的角速度与地球的角速度相等，

36002424⨯==h T 地s

地

T R v π2=

s m /1065.4360024104.6226

⨯=⨯⨯⨯⨯=π 北纬︒60的地方随地球自转圆心在地轴上，圆周运动半径为r ，ϕcos R r = ︒=60ϕ 2

1

c o s =

ϕ s m v R r v /233c o s c o s ===='ϕϕ

ωω s rad /1027.736002425-⨯=⨯==π

ωω地

[例3] 大型转盘，在水平面内绕竖直轴转动，在转动盘的边缘上的人向转盘中心的靶子瞄准射击，能否击中靶子？若不能，应该怎样瞄准才能击中靶子，设转盘半径为R ，角速度为ω。

解析：立于中心处的靶子对地无移动。而人与发射出的子弹都有对地的线速度，子弹发射出后对地速度是线速度与发射速度的矢量合。设线速度为线v ，发射速度为射v ，子弹速度为v ，v 的方向与发射时线速度方向夹角为θ，