《双曲线》练习题经典(含答案)

《双曲线》练习题
一、选择题：
1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(A)
A.17
B.15
C.17
4 D.
15
4
2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B）
A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=
3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（B）
A．B．C．或D．
4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）
A B C D
5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）
6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（A）
A．2 B．C．D．
7．已知双曲线
22
2
1
9
y x
a
-=的两条渐近线与以椭圆
2
2
1
259
y
x+=的左焦点为圆心、半径为16
5
的圆相切，则双曲
线的离心率为（ A ）
A．5
4
B．
5
3
C．
4
3
D．
6
5
8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(B)
A.3
B.
6
2 C.
6
3 D.
3
3
9．已知双曲线
22
1(0,0)
x y
m n
m n
-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的
，则m等于( D )
A ．9
B ．4
C ．2
D ．,3
10．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足
12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )
A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 2
9＝1 C.x 23－y 27
＝1
D.x 27－y 2
3
＝1 11．设F 1，F 2是双曲线x 2
－y 2
24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等
于( C )
A ．4 2
B ．83
C ．24
D ．48
12．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C ) A ．28 B ．14－82 C ．14＋8 2
D ．8 2
13．已知双曲线
﹣
=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线
相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．
﹣
=1
B ．
﹣
=1 C ．
﹣
=1 D ．
﹣
=1
14．设双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲
线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ．
C ．
D ．2
15．过双曲线12
2
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
16．已知双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0），以原点为圆心，b 为半径的圆与x 轴正半轴的交点恰
好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（ C ）
A ．﹣=1
B ．﹣=1
C ．﹣=1
D ．﹣=1
17．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲
线的左右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A ．4
B ．
C ．
D ．
18．如图，已知双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的
一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |=1，则双曲线的离心率是（B ） A ．3 B ．2 C ． D ． 19．已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( B )
A ．22
1(1)8y x x -
=<- B ．221(1)8y x x -=>
C ．1822=+y x （x > 0）
D ．22
1(1)10y x x -=> 20.已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点)0,2(1-F ，)0,2(2F ，椭圆的一个短轴端点为B ，直线B F 1与双曲线的一条渐近线平行，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ， 则21e e +取值范围为（ D ） A.),2[+∞ B. ),4[+∞ C.),4(+∞ D. ),2(+∞
21.若双曲线的两条渐近线与椭圆的
交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( D )
A
B
C D 22.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>过其左焦点F 1作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若双曲线右顶点在以AB
为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为( A ) A ．（2，+∞）
B ．（1，2）
C ．（
3
2
，+∞） D ．（1，
3
2
） 23.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝
角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ D ）
A. （∞+，3）
B. （1，3）
C. （∞+，2）
D. （1，2）
24．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以
下几个说法：①双曲线x 2
－2y 2
5＋1
＝1是黄金双曲线；
②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确的是( D)
A ．①②
B ．①③
C ．①③④
D ．①②③④ 二、填空题：
25．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为__ ___ e 1<e 2<e 4<e 3___． 26．已知双曲线x 2
－y 2
3
＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲 线右支上一点，则PA 1·
PF 2的最小值为________．－2
27．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上除顶点外的任意一点，F 1、F 2 分别为左、右焦点，c
为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ，则|F 1M |·|F 2M |＝__ ______. b 2
28．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、 F 2(c,0)．若双曲
线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a
c ，则该双曲线的离心率的取值范围是_____ (1，2＋1)
29.已知双曲线x 2
﹣
=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为（﹣2，3），则
|PQ|+|PF 1|的最小值为 ．7 三、解答题：
30．已知曲线C ：y 2λ
＋x 2
＝1.
(1) 由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能是圆吗？请说明理由；
(2) 如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又9
2
MA MB =-，求曲线C 的方程．
31．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为)
.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程
（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围
32.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围． 33.已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点，|AB |=2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点P 是椭圆C 上的动点，且直线PA ，PB 与直线x=4分别交于M 、N 两点，是否存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．
30.已知曲线C ：y 2λ
＋x 2
＝1.
(1)由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能是圆吗？请说明理由； (2)如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又
9
2
MA MB =-，求曲线C 的方程．
解：(1)设E(x 0，y 0)，P(x ，y)，则F(x 0,0)，∵3,FP EP =，
∴(x －x 0，y)＝3(x －x 0，y －y 0)．∴00,2.3x x y y =⎧⎪
⎨=⎪⎩
代入y 20λ＋x 2
0＝1中，得4y 29λ＋x 2＝1为P 点的轨迹方程．当λ＝49时，轨迹是圆．
(2)由题设知直线l 的方程为y ＝2x －2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2
)，
联立方程组22,
2 1.y y x λ
⎧=-⎪
⎨+=⎪⎩消去y 得：(λ＋2)x 2－42x ＋4－λ＝0.
∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0， ∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x 1·x 2＝4－λ
λ＋2
，
而MA MB ＝x 1x 2＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1·2x 2＝3x 1x 2＝3(4－λ)
λ＋2，
∴4－λλ＋2
＝－32，解得λ＝－14.∴曲线C 的方程是x 2－y 214＝1.
31．(本题满分12分) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为
()2,0，右顶点为)
.
（Ⅰ）求双曲线
C 的方程
（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围
解（1）设双曲线方程为22221-=x
y a b
由已知得2==a c ，再由222
2+=a b ，得21=b
故双曲线C 的方程为2
213
-=x y . （2
）将=y kx 2
213
-=x y
得22(13)90---=k x 由直线l
与双曲线交与不同的两点得()
22
22
13036(13)36(1)0
⎧-≠⎪
⎨
∆=+-=->⎪⎩
k k
即2
13
≠
k 且2
1<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则
22
9
,1313-+=
=--A B A B
x y x y k k ，由2∙>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，
而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x
22
222937
(1)2131331
-+=++=---k k k k k k .
于是2237231+>-k k ，即22
39031-+>-k k 解此不等式得2
1 3.3
<<k ② 由①+②得
21
13
<<k
故的取值范围为3(1,,1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
32. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围． 解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23
－y 2
＝1.
(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2
＝1，
得：(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
1－3k 2≠0，
Δ＝36(1－k 2
)>0，x A
＋x B
＝
62k
1－3k
2
<0，x A x B
＝－91－3k
2
>0，解得
3
3
<k <1. ∴当
3
3
<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k
1－3k 2
，
∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝
22
1－3k 2
. ∴AB 的中点P 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为：y ＝－1
k
x ＋m ，
将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝42
1－3k 2.
∵
3
3
<k <1，∴－2<1－3k 2<0.∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)． 33.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点，|AB |=2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点P 是椭圆C 上的动点，且直线PA ，PB 与直线x=4分别交于M 、N 两点，是否存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，
又a 2
﹣c 2
=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y 2
=1； （Ⅱ）设P （m ，n ），可得
+n 2
=1，即有n 2
=1﹣
，
由题意可得A （0，1），B （0，﹣1），设M （4，s ），N （4，t ）， 由P ，A ，M 共线可得，k PA =k MA ，即为=
，
可得s=1+
，
由P ，B ，N 共线可得，k PB =k NB ，即为
=
，可得s=
﹣1．
假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．
可得QM⊥QN，即有•=﹣1，即st=﹣4．
即有[1+][﹣1]=﹣4，
化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，
解得m=0或8，
由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．。