随机波动率模型PPT课件

:
( 1
,
2 1
2
)=(h
,
2 h
)
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
7
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= x p f (x)dx
性质1：GMM估计量是相合的，即ˆT P
性质2：1
T
T t i
ft ( ) d (0, S), S是N * N正定矩阵
则ˆT 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A
var(ˆT
)

(GWG)
1GTWSWG(G
WG)1
,
其中G

E[
ft (
s 1 s2 2
e 2 ,s ¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
9
SV模型（ =0 ）
对于 SV 模型（t =0， =0）
rhtt

eht

/2 zt , zt : iidN (0,1)
ht1 vt , 0
1, vt
:
iidN (0,1)
8)
11
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E[rt2rt
2 i
]

exp(2h


2 h
(1


i ))
E[
rt rti
]

2

exp(h


2 h
4(1 ຫໍສະໝຸດ ))Corr(rt2 ,
r2 t i
)

exp(
2 h

i
)

1
3
exp(
Corr[zt , vt ] =0
（1） E[rtm ]
E[rti ] 0，i为奇数
E[rt2
]

E[eht
zt2
]

E[eht
]E[ zt2
]

exp(h


2 h
/
2)
E[rt4
]

E[e2ht
zt4
]

E[e2ht
]E[ zt4
]

3 exp(2h

2
2 h
)
E[rt6
]
❖ 另一类是Taylor 于1986年在解释金融收益序列波动 的自回归行为时提出的随机波动模型（Stochastic volatility model），简称SV 模型。
3
1.随机波动率模型（SV）的设定
SV 模型
GARCH 模型
rt t t


t
eht /2 zt , zt

ˆ u
)
其中，q是依数据的自相关性选择的一个整数，
ˆ v =
1 T
T t v1
ft
(ˆT
2 h
)

1
12
SV模型（ 0 ）
❖ 此时，模型变形为：
SV
模型（t
=0，Corr[zt
,v t
]

=0）

rt
eht /2 zt ,
ht ht1 vt , 0 1

zt vt

:
iid
[
0 0

2 1
（22+(21） 2)
2


2
2
2 2 2
2 2 2 2 22
t t1
16
3.SV模型的广义矩（GMM）估计
❖ 与ARCH/GARCH类模型相比，SV模型的估计要复 杂得多。因为SV模型中波动率过程是潜藏的，即不 可直接观察。因此，任何估计步骤必须处理潜变量， 一般要使用替代变量或在似然函数中通过积分去掉 潜变量。由于似然函数中的高维积分一般难以降到 一维（或大幅降维）积分，数值积分往往需要先将 连续时间模型离散化，然后模拟期路径，因此需要 非常大的计算量。这里重点介绍通过前面导出的矩 条件而使用广义矩方法（GMM，Generalized Method of Moments）来估计SV模型。
,

1


1
]
13
❖ rt 的各阶矩条件（使用条件期望的迭代性质）：
E[rtm ]

E[E[rtm
/
ht
]]

E[E[em( ht1 vt
z )/2 m t
/
ht 1 ]]
E{em( ht1)/2 gE[em vt /2 ztm / ht1]} E[em( ht1)/2 ]gE[em vt /2 ztm ]
6
由于ht 平稳性，可知
Eht

Eht
Eht1
Eht1

Eht

1
Varht Varht
Varht1
2Varht1

2
Varht

2 1

因为 ht 可以展开为一个 ht svts
s0
ht
17
给定总体矩条件E[ ft ( )] 0，ft ( )是N维列向量 是K维参数向量矩阵，N K.
很多时候先获得条件矩E[ht / t1], 根据条件期望的
性质有E[ht
gzt
]

0，其中，zt
是信息集t
中的任意
1
元素，称为工具变量。选择不同的工具变量就
得到不同的矩条件。如果N K，即矩条件个数等 于参数个数时，就可以得到矩方法。
14
❖ 根据Jiang、Knight和Wang（2007）导出SV 模型的矩条件：
❖ （1）
E[rti ](i 1,…,4) :
e 2(1

)

8
2 (1
2
)
E[rt ]
2
E[r ] e (e e ) 2
1

2 2 (1
2
)


2 2
❖ SV 中新的随机变量的引入，使得无论是从长期波动性的预 测能力来看，还是从波动率序列的稳定性、抑或对资产定价 理论的应用来看，它都是优于ARCH 类模型的。
❖ 教材P140-141做出了收益率，收益率平方以及条件方差的 自相关函数。其中收益率的各阶自相关函数都不显著。收益 率平方以及条件方差的部分自相关函数都是显著的。体现了 收益率的波动率集聚特征。
用样本矩gT
(
)

1 T
T t i
ft ( )代替总体矩，使样本矩
等于0的估计量称为矩估计量。
当N K时，即矩条件个数大于估计参数个数时，
这种情况称为过度识别。
18
广义矩方法（GMM）估计的思想是，选择 值使得
由模型导出的矩条件个数与由数据计算的样本矩尽
可能接近。
GMM估计量是使下式目标函数JT ( )最小的估计量：
❖ （2）E[ rt m ]：
E[ rt ] E[eht /2 zt ] E[eht /2 ]E[ zt ]
2
/

exp(h
/
2

2 h
/
8)
E[ rt 3] E[e3ht /2 zt 3] E[e3ht /2 ]E[ zt 3] 2
2
/

exp(3h
/
2

9
2 h
/

p
p ( p 1)!!，p为奇数
1)!!，p为偶数
8
❖ 对数正态分布 密度函数
X : ln (, 2 )
f (x)
1
e
(ln x 2 2
)2
2
对数正态分布的均值、方差、原点矩公式：
1 2
EX e 2
VarX (e 2 1)e2 2
EX s

ˆT

arg
min{JT ( )

g
T
(
)Wˆ
(
)
gT
(
)}

其中，是参数空间；Wˆ 是一个对称的正定矩阵，
称为权重矩阵，依概率收敛与一个对称的正定矩阵W,
它可以是参数 和样本数据的函数，最简单的权重
是恒等矩阵，它赋予每个矩阵条件相同的权重。
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❖ GMM估计量具有良好的性质。Hansen（1982）证明，在一 定的正规性条件下（主要是样本数据的平稳性）：
随机波动率模型 Stochastic volatility model
1
内容框架
❖ 简介 ❖ SV模型的设定（与GARCH对比） ❖ SV模型的矩条件（两种情况下） ❖ SV模型的广义矩估计（GMM） ❖ 模特卡罗模拟评判估计方法 ❖ 其他估计方法
2
简介
❖ 经济或金融时间序列存在着普遍的波动性现象，而 波动性是描述金融市场研究的一个核心问题，它通 过金融收益率的方差来测度。目前研究金融衍生物 的价格的波动模型主要有随机游走模型 (Random Walk)、对数正态分布模型等，而主要有两类：
❖ 中心矩
E[(X-X )P ]=

(
x


x
)
p
f
( x)dx
❖ 中心绝对值矩
E[ X-X
P
]=

x x
p
f
( x)dx
❖ 正态分布矩条件
原点矩
E[X
P
]=
0，p为奇数
p ( p 1)!!，p为偶数
中心绝对值矩
E[ X-X
P
]=


2/ p(
2
2 2 2
2 2 2 22
t
9e 3
2
3 (1
)

9 2 8 (1
2
)

9
2 8
2
9 2 2 8
E[r ] e ( 2 t
9 2 2
27e 8
33
)
8
E[rt4 ]
e (3e 1

2 2 (1 2
)

2

2
2
❖ 由于式中包含 ht1，而ht1 的边际分布与 ht 边际
分布同为 ( 1
2
,
1
2
)
。
❖ E[em(ht1)/2] 可根据对数正态分布矩条件公式计算。
所以，关键是要计算 E[emvt /2 ztm ] 。
❖ 但是， zt，vt 相关使得矩条件计算比不相关
情形更为复杂。
)
]
性质3：如果有S的一个相合估计Sˆ，那么渐进方差 — 协方差矩阵的
一个相合估计为：Av·ar(ˆT
)

(Gˆ WˆGˆ )1Gˆ TWˆSˆWˆGˆ (Gˆ WˆGˆ )1, 其中Gˆ

T t 1
ft (ˆT
)
性质4：如果Wˆ =Sˆ1，此时得到的GMM估计量具有最小的渐进方差—协方差矩阵，
❖ 一类是由诺贝尔经济学奖获得者、美国著名的统计 学家Engle 于1982 年在研究英国通货膨胀指数问题 时提出的自回归条件异方差（ autoregression conditional heteroscedasticity variance）模型，简 称ARCH 模型以及后来由Bollerslev 提出的GARCH 类模型；

E[e3ht
zt6
]

E[e3ht
]E[ zt6
]

15
exp(3h

9
2 h
/
2)
10
rt的峰度：
Kurt[rt ]=
E[(rt E[rt ])4 ] Var[rt ]2

E[rt4 ] E[rt2 ]2

3 exp(2h

2
2 h
)

3e
2 h
3
exp(2h


2 h
)
因此，rt的分布具有厚尾的性质。
称为最优的GMM估计量。此时渐近方差—协方差矩阵简化为：Av·ar(ˆT ) (Gˆ Sˆ-1Gˆ )1
20
从以上性质3、4可知，要估计渐近方差 — 协方差矩阵，
需要矩阵S的一个相合估计Sˆ
Sˆ的一个常用估计量是Newey-West估计量：
Sˆ=ˆ 0

q v1
[1
q
v
1](ˆ v
2 2 2
24e22 2 2 2
16e22 2 4 41)5
❖ （2）其他矩条件

e1
（1 + ） 2 2 2
（ 2(1 2 )
1
+

）

（1 + 2） 2 2 2
e （1 + 1 2(12 )
2
）2 2
E[rtrt1]
22 2
，E[rtrt2 ]
22 2

（1 + 3） 2 2 2
e （1 + 1 2(12 )
3
）3 3

（1 + 6） 2 2 2
e （1 + 1 2(12 )
6
）2 2
E[rtrt3]
22 2
，E[rtrt6 ]
22 2
E[r r ] e (e e ) 2 2
:
iidN (0,1)
ht ht1 vt , 0 1, vt : iidN (0,1)
Corr[zt , vt ]
rt ln(St / St1)为资产收益率
rtt

t t
zt
t
, zt
:
iidN (0,1)
t2


1
2 t 1

1
2 t 1
ut是资产的条件期望收益率 ht是一个平稳的AR(1)过程
Corr[zt , vt ] 刻画了资产收益率的杠杆效应
4
GARCH与SV的数据模拟
5
GARCH与SV模型的比较
❖ 由于ARCH 类模型将条件方差定义为过去观测值的平方项和 前期条件方差的确定性函数, 条件方差的估计与过去观测值 直接相关, 因此当存在异常观测值时, 估计的波动性序列将不 很稳定, ARCH 类模型对于长期波动性的预测能力也较差。