[北师大版]八年级下册数学《期末测试题》含答案解析

2019-2020学年度第二学期期末测试
八年级数学试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、选择题(本部分共12小题,每小题3分,满分36分,每小题给出四个选项,其中只有一项是正确的)
1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.不等式215x -≤的解集在数轴上表示为（ ） A.
B.
C.
D.
3.下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ） A. 2242(2)a a a a +=+ B. 2
2
(1)y x xy x x
-=-
C. 2(3)(3)9a a a +-=-
D. 25(2)(3)1x x x x +-=-++
4.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 6
C. 5
D. 4
5.若分式
2ab a b +中,a b 都扩大到原来的3倍，则分式2ab
a b
+的值是（ ） A. 扩大到原来3倍 B. 缩小3倍 C. 是原来的1
3
D. 不变
6.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD =2CD ，BC =6cm ，则点D 到AB 距离为（ ）
A. 4cm
B. 3cm
C. 2cm
D. 1cm
7.如图，将一个含有45o 角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30o 角，则三角板最长的长是（ ）
A. 2cm
B. 4cm
C. 22
cm D. 42cm
8.已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0
420
x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
9.如图，在△ABC 中，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于
1
2
AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线
MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若∠BAD =45°，则∠B 的度数为（ ）
A. 75°
B. 65°
C. 55°
D. 45°
10.下列语句：①每一个外角都等于60o 的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，其中正确的个数为（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ）
A 13310=+
B. 25916=+
C. 491831=+
D. 642836=+
12.如图，等边△ABC 边长为6，点O 是三边垂直平分线的交点，∠FOG =120°，∠FOG 的两边OF ，OG 分别交AB ，BC 与点D ，E ，∠FOG 绕点O 顺时针旋转时，下列四个结论正确的是（ ）
①OD =OE ；②ODE BDE S S ∆∆=；③27
38
ODBE
S =；④△BDE 的周长最小值为9， A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分)
13.分解因式：255x -=__________．
14.如图所示,在直角坐标系中,右边的图案是由左边的图案经过平移得到的,左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(-4,2),(-2,2),右边图案中左眼的坐标是(3,4),则右边图案中右眼的坐标是__.
15.若分式方程
2322x m
x x
+=--有增根,
则m 等于__________. 16.在△ABC 中，AB =10，CA =8，BC =6，∠BAC 的平分线与∠BCA 的平分线交于点I ，且DI ∥BC 交AB 于点D ,则DI 的长为____.
三、解答题：
17.解不等式组：22112
x x x x ≤+⎧⎪
⎨-<+⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
18.解分式方程：
2303(3)
x x x x --=++ 19.先化简，再求值：2144
(1)11
x x x x -+-÷
--，其中x 是不等式30x -≥正整数解.
20.如图，平行四边形ABCD 的边OA 在x 轴上，将平行四边形沿对角线AC 对折，AO 的对应线段为AD ，且点D ，C ，O 在同一条直线上，AD 与BC 交于点E .
（1）求证：△ABC ≌△CDA .
（2）若直线AB 的函数表达式为6y x =-，求三角线ACE 的面积.
21.某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料. （1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？
22.如图，在平面直角坐标系中，网格图由边长为1的小正方形所构成，Rt △ABC 的顶点分别是A （-1，3），B （-3，-1），C （-3，3）.
（1）请在图1中作出△ABC 关于点（-1，0）成中心对称△'''A B C ,并分别写出A ，C 对应点的坐标
'A ;'C
（2）设线段AB 所在直线的函数表达式为y kx b =+，试写出不等式2kx b +>的解集是 ； （3）点M 和点N 分别是直线AB 和y 轴上的动点，若以'A ，'C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，
求满足条件的M点坐标.
23.如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6,△ABC沿BC方向向右平移得△DCE，A、C对应点分别是D、
E.AC与BD相交于点O.
（1）将射线BD绕B点顺时针旋转，且与DC，DE分别相交于F，G，CH∥BG交DE于H，当DF=CF时，求DG的长；
（2）如图2，将直线BD绕点O逆时针旋转，与线段AD，BC分别相交于点Q，P.设OQ=x，四边形ABPQ 的周长为y，求y与x之间的函数关系式，并求y的最小值.
（3）在（2）中PQ的旋转过程中，△AOQ是否构成等腰三角形？若能构成等腰三角形，求出此时PQ的长？若不能，请说明理由.
答案与解析
一、选择题
1.观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【详解】A. 是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；
C. 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意；
D. 是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.
x-≤的解集在数轴上表示为（）
2.不等式215
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．
【详解】解不等式得：x⩽3，
所以在数轴上表示为
故选A.
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握在数轴上表示不等式的解集.
3.下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ） A. 2242(2)a a a a +=+ B. 22
(1)y x xy x x
-=-
C. 2(3)(3)9a a a +-=-
D. 25(2)(3)1x x x x +-=-++
【答案】A 【解析】 【
分析】
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解． 【详解】2
242(2)a a a a +=+是把一个多项式化为几个整式的积的形式，所以A 正确；
22(1)y
x xy x x
-=-中含有分式，所以B 错误；
2(3)(3)9a a a +-=-不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，所以C 错误； 25(2)(3)1x x x x +-=-++不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，所以D 错误.
【点睛】本题考查分解因式的定义，解题的关键是掌握分解因式的定义.
4.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ）
A. 8
B. 6
C. 5
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【详解】设多边形的边数为n ，根据题意 （n-2）•180°=360°， 解得n=4．
故选：D ．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
5.若分式2ab a b +中,a b 都扩大到原来的3倍，则分式2ab
a b
+的值是（ ） A. 扩大到原来3倍 B. 缩小3倍 C. 是原来的1
3
D. 不变
【答案】A 【解析】 【分析】
把分式中的分子,分母中的 ,a b 都同时变成原来的3倍,就是用 3a, 3b 分别代替式子中的a , b,看得到的式子与原式子的关系. 【详解】将分式2ab a b
+中,a b 都扩大到原来的3倍，得到1833ab a b +=6ab a b +，则6ab a b +是2ab
a b +的3倍.故答案为
A.
【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质.
6.如图，在三角形ABC 中，90C =o ∠，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且2BD CD =，6BC cm =，则点D 到AB
的
距离为（ ）
A. 4cm
B. 3cm
C. 2cm
D. 1cm
【答案】C 【解析】 【分析】
如图，在△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD=2CD ，BC=9cm ，则点D 到AB 的距离.
【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD：DC=2：1，BC=6，
∴DC=
1
12
×6=2，
∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，
∴DE=DC=2．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质.
7.如图，将一个含有45o角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30o角，则三角板最长的长是（）
A. 2cm
B. 4cm
C. 22cm
D. 42cm
【答案】D
【解析】
【分析】
过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
【详解】过点C作CD⊥AD，
∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×2=4，
又∵三角板是有45°角的三角板， ∴AB=AC=4，
∴BC 2=AB 2+AC 2=42+42=32， ∴
BC= 故选：D.
【点睛】本题考查等腰直角三角形和含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含30度角的直角三角形.
8.已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩
的整数解共有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B 【解析】 【分析】
先求解不等式组得到关于m 的不等式解集，再根据m 的取值范围即可判定整数解．
【详解】不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩
①
②
由①得x ＜m ； 由②得x ＞2；
∵m 的取值范围是4＜m ＜5， ∴不等式组0
420
x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解有：3，4两个．
故选B ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m 的取值范围是本题的关键．
9.如图，在ABC ∆中，B Ð=55°，30C ∠=o ，分别以点A 和点C 为圆心，大于
1
2
AC 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则BAD ∠的度数为（ ）
A. 65o
B. 75o
C. 55o
D. 45o
【答案】A
【解析】
【分析】
根据内角和定理求得∠BAC=95°，由中垂线性质知DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，从而得出答案．
【详解】在△ABC中,∵∠B=55°,∠C=30°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=95°，
由作图可知MN为AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=65°，
故选：A.
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，作图—基本作图，解题关键在于求出∠BAC=95°.
10.下列语句：①每一个外角都等于60o的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，其中正确的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形的外角，反证法的定义，等腰三角形的性质与判定，分式有意义的条件，进行逐一判定分析，即可解答．
【详解】①每一个外角都等于60°的多边形是六边形，正确；
②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故错误；
③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，正确； ④分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，故正确；
正确的有3个.
故选C.
【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定理.
11.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ）
A. 13310=+
B. 25916=+
C. 491831=+
D. 642836=+
【答案】D
【解析】
【分析】 三角形数=1+2+3+……+n ，很容易就可以知道一个数是不是三角形数.结合公式，代入验证三角形数就可以得到答案.
【详解】A.中3和10是三角形数，但是不相邻；
B.中16、9均是正方形数，不是三角形数；
C.中18不是三角形数；
D.中28=1+2+3+4+5+6+7，36=1+2+3+4+5+6+7+8，所以D 正确；
故选D.
【点睛】此题考查此题考查规律型：数字的变化类，勾股数，解题关键在于找到变换规律.
12.如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的中心，120FOG ∠=o ，FOG ∠的两边,OF OG 与,AB BC 分别相交于,D E ，FOG ∠绕O 点顺时针旋转时，下列四个结论正确的个数是（ ）
①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③433
ODBE S =四边形BDE ∆周长最小值是9.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
首先连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，
于是可判断△BOD≌△COE，利用全等三角形的对应边相等可对①进行判断；再利用S
BOD
V =S
COE
V
得到四
边形ODBE的面积=1
3
S ABC
V
，则可对③进行判断，然后作OH⊥DE，则DH=EH，计算出S ODE
V
=
3
OE2，
利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断，
接下来由△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+3OE，结合垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断.
【详解】连接OB，OC，如图.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵点O是△ABC的中心，
∴OB=OC，OB. OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，
而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，
∴∠BOD=∠COE.
在△BOD 和△COE 中，∠BOD=∠COE ，BO=CO ，∠OBD=∠OCE ，
∴△BOD ≌△COE ，
∴BD=CE ，OD=OE ，所以①正确；
∴S BOD V =S COE V ，
∴四边形ODBE 的面积=S OBC V =13 S ABC V =13×42 ，所以③正确； 作OH ⊥DE ，如图，则DH=EH ，
∵∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OEH=30°．
∴OH=12OE ，OE ，
∴OE ，
∴S △ODE=12 ·12· OE 2， 即S ODE V 随OE 的变化而变化，而四边形ODBE 的面积为定值，
∴S ODE V ≠S BDE V ，所以②错误；
∵BD=CE ，
∴△BDE 的周长OE ，
当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，此时， ∴△BDE 周长的最小值=4+2=6，所以④错误.
故选：B. 【点睛】此题考查旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是牢记旋转前、后的图形全等.
二、填空题
13.分解因式：255x -=__________．
【答案】5(1)(1)x x -+
【解析】
【分析】
先提出公因式5，再直接利用平方差公式分解因式．平方差公式：a 2 -b 2=（a+b ）（a-b ）．
【详解】255x -=5()
21x - =5(1)(1)x x -+
故答案为：5(1)(1)x x -+.
【点睛】此题考查分解因式，解题关键在于先提出公因式.
14.如图所示,在直角坐标系中,右边的图案是由左边的图案经过平移得到的,左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(-4,2),(-2,2),右边图案中左眼的坐标是(3,4),则右边图案中右眼的坐标是__.
【答案】（5，4）
【解析】
【详解】由左图案中左眼的坐标是（－4，2），右图案中左眼的坐标是（3，4），可知左图案向右平移了7个单位长度，向上平移了2个单位长度变为右图案．因此右眼的坐标由（－2，2）变为（5，4）． 故答案为：（5，4）.
15.已知关于x 的方程
2322x m x x
+=--会产生增根，则m =__________． 【答案】4
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-2=0，得到x=2，然后代入整式方程算出未知字母的值．
【详解】方程两边都乘(x−2)，得
2x−m=3(x−2)，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−2=0，即增根为x=2，
把x=2代入整式方程，得m=4.
故答案为：4.
【点睛】此题考查分式方程的增根，解题关键在于根据方程有增根进行解答.
16.如图所示,△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,过点O作BC的平行线MN 交AB于点M,交AC于点N,则△AMN的周长为____.
【答案】18
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义、平行线的性质，及等角对等边可知OM=BM，ON=CN，则△AMN的周长=AB+AC可求．
【详解】∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
∵BC∥MN，
∴∠BOM=∠CBO，∠CON=∠BCO，
∴∠BOM=∠ABO，∠CON=∠ACO，
∴OM=BM，ON=CN，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+OM+AN+NC=AB+AC=18cm.
故答案为：18.
【点睛】此题考查角平分线的定义，平行线分线段成比例，解题关键在于得出OM=BM，ON=CN.
三、解答题
17.解不等式组：
()
-324 211 5
2
x x
x x
⎧-≥
⎪
⎨-+
<
⎪⎩
并把其解集在数轴上表示出来.
【答案】−7<x⩽1，见解析.
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解不等式x−3(x−2)⩾4，得：x⩽1，
解不等式
5
211
2
x x
-+
<，得：x>−7，
则不等式组的解集为−7<x⩽1，
将解集表示在数轴上如下：
【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则.
18.解分式方程：
23
3(3)
x
x x x
-
-=
++
【答案】原方程无解.
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：2(3)0
x x
--=
30
x+=
3
x=-
经检验3
x=-是原方程的增根
∴原方程无解
【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于先去分母.
19.先化简，再求值：2144(1)11
x x x x -+-÷--，其中x 是不等式30x -≥的正整数解. 【答案】1.
【解析】
【分析】
将原式被除式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，再由关于x 的不等式求出解集得到x 的范围，在范围中找出正整数解得到x 的值，将x 的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【详解】解：原式=()2
211()111
x x x x x ---÷--- =()2
2112x x x x --⨯-- 12x =- 30x -≤的正整数解为1,2,3x =
但1,2x x ≠≠
所以3x = ∴原式的值112
x =- 【点睛】此题考查一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.
20.如图，平行四边形ABCD 的边OA 在x 轴上，将平行四边形沿对角线AC 对折，AO 的对应线段为AD ，且点D ，C ，O 在同一条直线上，AD 与BC 交于点E .
（1）求证：△ABC ≌△CDA .
（2）若直线AB 的函数表达式为6y x =-，求三角线ACE 的面积.
【答案】（1）证明见详解；（2）
92 【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质，可得出CD=AB ，∠DCA=∠BAC ，结合AC=CA 可证出△ABC ≌△CDA （SAS ）；
（2）由点D ，C ，O 在同一直线上可得出∠DCA=∠OCA=90°，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A 的坐标及OA 的长度，由OC ∥AB 可得出直线OC 的解析式为y=x ，进而可得出∠COA=45°，结合
∠OCA=90°可得出△AOC 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得出OC 、AC 的长，结合（1）
的结论可得出四边形ABDC 为正方形，再利用正方形的面积公式结合S △ACE =
14
S 正方形ABDC 可求出△ACE 的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCO 为平行四边形，
∴AB=CO ，AB ∥OC ，
∴∠BAC=∠OCA ．
由折叠可知：CD=CO ，∠DCA=∠OCA ，
∴CD=AB ，∠DCA=∠BAC ．
在△ABC 和△CDA 中， AB CD BAC DCA AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△CDA （SAS ）．
（2）解：∵∠DCA=∠OCA ，点D ，C ，O 同一直线上，
∴∠DCA=∠OCA=90°．
当y=0时，x-6=0，解得：x=6，
∴点A 的坐标为（6，0），OA=6．
∵OC ∥AB ，
∴直线OC 的解析式为y=x ，
∴∠COA=45°，
∴△AOC 为等腰直角三角形，
∴AC=OC=32
∵AB ∥CD ，AB=CD=AC ，∠DCA=90°，
∴四边形ABDC 为正方形，
2119442
ACE ABCD S S AC ∆==⋅=正方形 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定、等腰直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的面积，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS 证出△ABC ≌△CDA ；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形的性质，求出正方形边长AC 的长．
21.某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料.
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？
【答案】（1）甲框每个2.4米，乙框每个2米；（2）最多可购买甲种边框100个.
【解析】
【分析】
（1）设每个乙种边框所用材料x米，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，根据“同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个”，列出方程，即可解答；
（2）设生产甲边框y个，则乙边框生产640 2.4
2
y
-
个，再根据“要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框
数量的2倍”求出y的取值范围，即可解答．【详解】解（1）设每个乙种边框所用材料x米
则1212
1
1.2
x x
-= 2
x=
经检验：2
x=是原方程的解，1.2x=2.4, 答：甲框每个2.4米，乙框每个2米.
（2）设生产甲边框y个，则乙边框生产640 2.4
2
y
-
个，
则640 2.4
2
2
y
y
-
≥100
y≤
所以最多可购买甲种边框100个.
【点睛】此题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于列出方程.
22.由边长为1的小正方形组成的格点中,建立如图平面直角坐标系,△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1),B(−4,5),C(−5,2).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)请你判断△AA1A2与△CC1C2的相似比;若不相似,请直接写出△AA1A2的面积.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4.
【解析】
【分析】
（1）利用关于y 轴对称点的性质得出对应点位置求出即可；
（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点坐标进而求出即可；
（3）利用相似三角形的判定方法得出即可，再利用三角形面积求法得出答案．
【详解】(1)如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；
(2)如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求；
(3)∵112112
CC C C AA A A ， ∴△AA 1A 2与△CC 1C 2不相似，
S 12AA A △ =12
×2×4=4. 【点睛】此题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，相似三角形的判定，解题关键在于掌握作图法则.
23.如图1，在△ABC 中，AB=BC=5，AC=6，△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，连接AE 、BE ，且AC 和BE 相交于点O.
(1)求证：四边形ABCE 是菱形；
(2)如图2,P 是线段BC 上一动点(不与B. C 重合)，连接PO 并延长交线段AE 于点Q ，过Q 作QR ⊥BD 交BD 于R.
①四边形PQED的面积是否为定值?若是，请求出其值；若不是，请说明理由；
②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B. C. O为顶点的三角形是否可能相似?若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）①24，②7
5
；
【解析】
【分析】
（1）利用平移的性质以及菱形的判定得出即可；
（2）①首先过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB=90°，证出△QOE≌△POB，利用QE=BP，得出四边形PQED的面积为定值；
②当∠QPR=∠BCO时，△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3，过O作OG⊥BC交BC于G，得出
△OGC∽△BOC，利用相似三角形的性质得出CG的长，进而得出BP的长．
【详解】(1)证明：∵△ABC沿BC方向平移得到△ECD，
∴EC=AB，AE=BC，
∵AB=BC，
∴EC=AB=BC=AE，
∴四边形ABCE是菱形；
(2)①四边形PQED
的面积是定值，理由如下：过E作EF⊥BD交BD于F,则∠EFB=90°，∵四边形ABCE是菱形，∴AE∥BC，OB=OE，OA=OC，OC⊥OB，∵AC=6，∴OC=3，∵BC=5，
∴OB=4,sin ∠OBC=
3=5
OC BC ， ∴BE=8， ∴EF=BE ⋅sin ∠OBC=8×324=55
， ∵AE ∥BC ，
∴∠AEO=∠CBO ，四边形PQED 是梯形，
在△QOE 和△POB 中
AEO CBO OE OB
QOE POB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△QOE ≌△POB ，
∴QE=BP ，
∴S PQED 梯形 =12 (QE+PD)×EF=12 (BP+DP)×EF=12×BD×EF=12
×2BC×EF=BC×EF=5×245 =24； ②△PQR 与△CBO 可能相似，
∵∠PRQ=∠COB=90°，∠QPR>∠CBO ，
∴当∠QPR=∠BCO 时,△PQR ∽△CBO ，此时有OP=OC=3.
过O 作OG ⊥BC 交BC 于G.
∵∠OCB=∠OCB ，∠OGC=∠BOC ，
∴△OGC ∽△BOC ，
∴CG:CO=CO:BC ，
即CG:3=3:5，
∴CG=95
， ∴BP=BC−PC=BC−2CG=5−2×
95=75 . 【点睛】此题考查相似形综合题,涉及了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，菱形的性质，平移的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。