2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套(讲义)专题探究课三含解析

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1。

(2015·重庆卷)已知等差数列｛a n}满足a3＝2，前3项和S3＝错误!。

（1)求{a n}的通项公式；
（2)设等比数列{b n｝满足b1＝a1，b4＝a15，求{b n｝的前n项和T n。

解（1）设｛a n｝的公差为d,则由已知条件得
a1＋2d＝2，3a1＋错误!d＝错误!,
化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝错误!，
解得a1＝1，d＝错误!，
故{a n}的通项公式a n＝1＋错误!，即a n＝错误!。

(2)由（1)得b1＝1，b4＝a15＝错误!＝8.
设｛b n}的公比为q，则q3＝错误!＝8,从而q＝2，
故{b n}的前n项和
T n＝错误!＝错误!＝2n－1。

2.（2017·东北三省四校模拟）已知等差数列{a n｝的前n项和为S n，公差d≠0，且S3＋S5＝50,a1，a4，a13成等比数列。

(1)求数列{a n｝的通项公式;
(2)设错误!是首项为1，公比为3的等比数列，求数列｛b n}的前n项和T n.
解（1）依题意得错误!
解得错误!∴a n＝2n＋1。

(2)∵错误!＝3n－1，∴b n＝a n·3n－1＝(2n＋1）·3n－1，
∴T n＝3＋5×3＋7×32＋…＋（2n＋1)×3n－1，
3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1）×3n－1＋(2n＋1）×3n，两式相减得，
－2T n＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n
＝3＋2×错误!－(2n＋1）×3n＝－2n×3n,
∴T n＝n×3n.
3。

已知二次函数y＝f（x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2,数列｛a n}的前n项和为S n，点（n，S n)（n∈N＊)均在函数y＝f(x）的图象上.
（1）求数列{a n}的通项公式；
(2）设b n＝错误!，试求数列{b n}的前n项和T n。

解（1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx（a≠0)，
则f′（x）＝2ax＋b。

由于f′（x）＝6x－2,得a＝3，b＝－2,
所以f（x)＝3x2－2x.
又因为点(n,S n)（n∈N*）均在函数y＝f（x)的图象上，
所以S n＝3n2－2n。

当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3n2－2n－［3(n－1)2－2（n－1)］＝6n －5；
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，也适合上式，
所以a n＝6n－5（n∈N*).
（2)由（1）得b n＝错误!＝错误!
＝错误!·错误!，
故T n＝错误!错误!
＝错误!错误!＝错误!.
4。

在数列｛a n}中，log2a n＝2n＋1,令b n＝（－1）n－1·错误!，求数列{b n}的前n项和T n。

解由题意得b n＝(－1）n－1错误!
＝（－1)n－1错误!.
当n为偶数时，T n＝错误!－错误!＋错误!
－…－错误!＝错误!－错误!；
当n为奇数时，T n＝错误!－错误!＋错误!
－…＋错误!＝错误!＋错误!，
故T n＝错误!
5.(2017·兰州模拟）正项数列{a n｝的前n项和S n满足:S错误!－（n2＋n－1）S n－（n2＋n)＝0.
(2)令b n＝错误!，数列{b n}的前n项和为T n,证明：对于任意的n∈N＊,都有T n〈错误!。

（1)解由S错误!－（n2＋n－1）S n－(n2＋n）＝0，
得［S n－(n2＋n）］(S n＋1)＝0。

由于{a n}是正项数列，所以S n〉0,S n＝n2＋n。

于是a1＝S1＝2，
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－（n－1)2－(n－1）＝2n，又a1＝2＝2×1。

综上，数列｛a n｝的通项a n＝2n。

(2)证明由于a n＝2n，b n＝
n＋1
（n＋2）2a2n，
则b n＝错误!＝错误!错误!。

T n＝错误!错误!错误!
＝错误!错误!〈错误!错误!＝错误!.
所以对于任意的n∈N＊,都有T n＜5
64。

6。

已知单调递增的等比数列｛a n}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2,a4的等差中项.
(2)若b n＝a n log错误!a n，S n＝b1＋b2＋…＋b n,对任意正整数n,S n＋(n＋m)a n＋1<0恒成立，试求m的取值范围.
解(1)设等比数列{a n｝的首项为a1，公比为q。

依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28,得a3＝8。

∴a2＋a4＝20,
∴错误!解得错误!或错误!
又｛a n｝单调递增,∴错误!∴a n＝2n.
(2)b n＝2n·log错误!2n＝－n·2n，
∴－S n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
∴－2S n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1,②
①－②,得S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝错误!－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2。

由S n＋（n＋m）a n＋1<0，
得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意正整数n恒成立，
∴m·2n＋1〈2－2n＋1，即m〈错误!－1对任意正整数n恒成立。

∵错误!－1>－1，
∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1］。