第一节映射与函数

第一节 映射与函数
(2) 函数的表示法
函数的表示法有三种：表格法、图形法和解析法．
用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐
标平面上的点集 C = { P(x , y) | y = f (x) , x D }
称为函数y = f (x) , x D 的图形． Rf
y
y (x, y) y = f (x)
f 是一个映射， f 的定义域 Df = R，值域 Rf = { y| y 0 }，
值域 Rf 是 R 的一个真子集． 对于 Rf 中的元素 y， 除
y = 0外，它的原像不是唯一的． y = 4的原像就有 x = 2,
x = -2两个．
4y
像
f (x) = x2
原像
-2
O
原像
2
x
第一节 映射与函数
函数 f 的值域，记作 Rf = f (D) = { y| y = f (x) , x D }．
两点说明
第一节 映射与函数
(1) 定义域 对于抽象函数（即无具体实际背景），其定义域是 指使表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义 域．自然定义域可以省略．对于有实际背景的函数，在 写书时必须写出定义域．例如，对于函数 f (x) = x2 ， 它的自然定义域为 (- , + )，如果它表示正方形的面积 则其定义域为(0 , + )．
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
第一节 映射与函数
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y f ( x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映
))..
解 f (x) 的定义域 D [0, ), 值域 f (D) [0, ).
y
f
(
1 2
)

2
1 2

2
y
y 1 x
f
(
1 t
)

11 , t
2, t
0t 1
t 1
y2 x y2 x
O1
y 1 x
x
O1
x
第一节 映射与函数
从上述例子中看到，有时一个函数要用几个式子表 示．这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同 式子来表示的函数，通常称为分段函数．
用几个式子来表示一个函数，不仅与函数定义并无 矛盾，而且有现实意义． 在自然科学和工程技术中，经 常会遇到分段函数的情形．例如在等温过程中，气体压 强 p 与体积 V 的函数关系，当 V 不太小时依从玻意耳 (Boyle)定理：当 V 相当小时，函数关系就要用范德瓦
第一节 映射与函数
耳斯(van der Wanls)方程来表示，即
对映射 若
第一节 映射与函数
有
则称 f 为单射.
Xf Y
单第射一节 映射与函数
上面的例3
设
f是: 单 射π2 ,．π2


[1
,
1]
,
对每个x


π 2
,
对映射
第一节 映射与函数
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
Xf Y
双第射一节 映射与函数
上面的例3
y sgn x
图形如图所示．
O
x
-1
第一节 映射与函数
例7 设 x 为任一第实一数节 ，映射不与超函过数 x 的最大整数称为 x
的整例数部7 分设，x 记为作任一[ x实]．数例，如不，超过 x 的最大整数称为 x
的求整函数数部75y=分[，x0],75记的 作2定0,义[ 1x2,域[]．1和,]例[π值]如3域,3[，,[11]]
定义一个从 Rf 到 X 的新映射 g，即
g :Rf X ,
对每个 y Rf , 规定 g(y) = x , 其中 x 满足 f(x) = y . 则称
映射 g 为 f 的逆映射，记作 f -1 , 其定义域 D f 1 R f ,
值域 R f 1 X .
只有单射才存在逆映射
第一节 映射与函数
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y = f (x) , x D ,
其中 x 称为自变量， y 称为因变量， D 称为定义域，
记作Df ，即 Df ＝D．函数值f (x) 的全体所构成的集合称
第一节 映射与函数
一、集合
第一节 映射与函数
1二. 集、合映的射概念
定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合，
组成集三合、的函事物数称为元素，不含任何元素的集合称为
空集，记作 ， 含有有限个元素的集合称为有限集，
含有无穷多个元素的集合称为无限集．元素 a 属于集
合 M , 记作 a M , 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M .
图形如图所示．
-32
-43
-4
第第一一节节 映 映射射与与函函数数
例例88 已已知知函函数数
yy

ff
((xx))

122
xx ,, x,
00 xx 11 x 1
求求 ff ((xx)) 的的定定义义域域及及值值域域,, 并并求求
ff ((1212))及及
ff
((
11 tt
x
O
x
D
例例44
求函数 求函数
第一节 映射与函数 第一节 映射与函数
y y2 2
y y2
的定义域和值域并画图 ．
解 定义域 D =第(-一节，映+射)与，函数 例5 值求域函数 Rf = { 2 }，
Oy y
x
y图|形x |如y 图|xx所,x|,示xx．x0,x0,, x
f (x ) 2
f (x ) 1
O
x1 x2
xO
单调减
f (x ) 1 f (x ) 2
x1 x2
x
第一节 映射与函数
例10 设函数 y = f (x) 的图形分别如下所示，求函
数的单调区间．
y
y x4
y
y1 x
O
x
O
x
单调减区间
单调增区间
第一节 映射与函数
(3) 奇偶性
xD，且有 x D,
0, x0
y2
y | x |
的定义域和值域并画图 ．
解 定义域 D = (-，+)，
O O
x xyBiblioteka 例6 求函数第一节 映射与函数
1, x 0,
y

sgn
x


0,
x 0,
1, x 0 y
的定义域和值域并画图 ．
解 定义域 D = (-，+)，
值域 Rf = { -1, 0, 1 }， 1
射 f 的定义域 ; Y 的子集 R f f ( X ) f (x) x X
称为 f 的值域 .
注意 (1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. (2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.
第一节 映射与函数
例1 设 f : RR，对每个 x R，f (x) = x2 . 显然，
例2 设 X = {(x , y) | x2 + y2 = 1},Y = {(x , 0) | |x| 1 },
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
O
x
O
x
O
x
无界
无界
有界
第一节 映射与函数
(2) 单调性
x1 , x2 I , x1 < x2 时，
若 f(x1) < f(x2) , 称f (x)为 I 上的单调增函数 ;
若 f(x1) > f(x2) , 称f (x)为 I 上的单调减函数．
y
y
单调增
y f (x)
y f (x)
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2


[1
,
1]
,
对每个
x


π 2
,
π 2

,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df

π 2
,
π 2

,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
M 0 , x0 I , 使|f (x0)| M, 称 f (x) 在 I 上无界.
第一节 映射与函数
例9 设函数 y = f (x) 的图形分别如下所示，讨论
函数的有界性．
y
y1, x
D (0 , )
y
y ex, D (,)
y
cos 3 ,
I [0 , 2π]
O x1 x2
x
A
B
奇函数的图形关于原点对称
第一节 映射与函数
(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
-2
-
y
y = sin2x
2
O

x
第一节 映射与函数
要注意的是，并非每个周期函数都有最小正周期， 下面的函数就属于这种情形．
设
f既: 是 单π2 ,射π2又 是[满1射, 1，] , 故对是每双个射x．
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df


π 2
,
π 2
第一节 映射与函数
说明
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
名称. 例如, X (≠ )
f Y (数集)
f 称为X 上的泛函
f
X (≠ )
X
f 称为X 上的变换
X (数集或点集 ) f R
f 称为定义在 X 上的函数
第一节 映射与函数
2. 逆映射与复合映射
定义 设 f 是 X 到 Y 的单射，则由定义，对每个 y
R f , 有唯一确定的 x X , 适合 f (x) = y . 于是，我们可
1
π 2
f (x) = sin x
O
πx
2
-1
第一节 映射与函数
对映射
若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射.
Xf Y
满射第一节 映射与函数
上面的例2 设 X是=满{(射x ．, y) | x2 + y2 = 1}，Y = {(x , 0) | x
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0)
定义 设有两个映射 g : X Y1 , f : Y2 Z ,
其中 Y1 Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x X 映成 f [g(x)] Z . 这个法 则确定了一个从 X 到 Z 的映射，称之为映射 g 和 f 构成
的复合映射，记作 f g , 即
f g : X Z , ( f g ) (x) f [g (x)] , x X .
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
1, [3.5]
1, [3.5]y 4. y
4.
3
求并函画图数 y．= [x] 的定义域和值域并画图 ． 23
解
定义域
D = (-，+)，
-4
y [x] -3y -2[x-]1
12
O1
123
4x
值域 Rf = Z，
x -1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -21
若
则称 f (x) 为偶函数;
若
则称 f (x) 为奇函数.
若 f (x) 在 x = 0 有定义 ,则当 f (x) 为奇函数时，必 有 f (0) = 0．
第一节 映射与函数
y
y f (x)
A
A
-x O
x
x
偶函数的图形关于 y 轴对称
第一节 映射与函数
y
y f (x)
B
A
-x2 -x1
p

k V
,

,
V V 2
V V , 0
V V 0
其中 k , , , 都是常数．
第一节 映射与函数
2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性 x D , M 0 , 使|f (x)| M, 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0 , 使|f (x)| M, 称 f (x) 在 I 上有界. x I , M , 使 f (x) M, 称 f (x) 在 I 上有上界. x I , M , 使 f (x) M, 称 f (x) 在 I 上有下界.