初中数论-题集

1.1.自然数
拓展题：
（14）正整数 m﹥n， 若 3m 与 3n 个位数相同， 求 m + n 的最小值。

若 3m 与 3n 末两位数字相同，求 m - n 的最小值。

（15）质数 a、b、c 均 ﹥3，c=2a+5b。

若 a+b+c 是 n 的倍数，求 n 最大值。

（17）求最小的正整数 n，满足：n 恰有 144 个不同的正约数；
n 的正约数中有 10 个连续整数。

（18）整数：2836、4582、5164、6522 除以同一个正整数余数相同，求这个余数。

拓展题：
（6）一个两位数，它乘以 9 以后，各位上的数字之和不变，
求所有这样的两位数。

（7）已知 N 是质数，且分数（N-4）/（N+17）不约分或经过约分后是一个最简分
数的平方，求 N 的值。

练习三、质数、因数、质因数
（1）某个质数，当它加上 6、8、12、14 后还是质数。

证明：这个质数是 5。

（2）已知质数 p，且 q = 4p + p 4 + 4 也是质数。

求 q 。

（3）用 2836，4582，5164，6522 除以同一个正奇数，所得余数相同，求该余数。

（5）证明：一定存在一个形如 111…1 的数，它是2011的倍数。

（6）若 510510 的所有质因数按从小到大的顺序排列为a1, a2, a3, ……, a k , (k是最
大的质因数的序号)，求：(a1－a2)(a2－a3)(a3－a4)……(a k－1－a k )的值。

（7）N 4 - 16N 2 + 100 是质数，则 N ＝ 。

拓展题：
（4）设 a 、b 、c 、d 为正整数，且 a 7＝b 6, c 3＝d 2, c －a ＝17，求 d －b 的值。

（8）对自然数 n, 求：n 3 + 3/2 n 2 + 1/2 n - 1 除以 3 的余数。

（5）三个不同的正整数 abc = 16，求：a b - b c + c a 可能的最大值。

（6）求证：对任意自然数 n，都存在自然数 m，使得 mn + 1 是合数。

（7）已知自然数 N、K 满足不等式 7
N 6如果对于某13
N + K 11一给定的自然数 N，只有唯一的一个自然数 K 使不等式成立，求所有符合要求的自然数 N 的最大值和最小值。

求 N 的第一位小数。

﹤﹤。

（9）设： N ＝20102011 + 20112012
20102010 + 20112011
拓展题：
（14）b 5 + b + 1
（15）（x +1)(x+2)(x+3) - 6 * 7 * 8
练习二、因式分解的应用
拓展题：
（13）实数 a+b+c=0, 求：a 2+a 2c-b 2c-abc+b 3-2 的值。

（14）正数 a、b、c 满足： ab+a+b = bc+b+c = ca+c+a = 3,
求：(a+1)(b+1)(c+1) 的值。

（15）正数 a、b、c、d 满足：a 4+b 4+c 4+d 4＝4abcd，求证：a = b = c = d
（18）已知：m 2=m+1，n 2=n+1，且 m≠n。

求：m 5+n 5 的值。

2.2. 整式（含绝对值整式）的运算
练习一、整式代数式的运算
（3）求： y =︱2x + 6︱+︱x - 1︱- 4︱x + 1︱的最大值。

（4）a﹤b﹤c﹤d, 求：︱x-a︱+︱x-b︱+︱x-c︱+︱x-d︱的值。

（5）已知 m = 1+√2，n = 1-√2，且(7m 2-14m+a)(3n 2-6n-7) = 8，求 a。

（6）若：14（a 2+b 2+c 2) = (a+2b+3c)2，求：（a:b:c）
（7）已知：a﹤0, ab﹤0, 化简：︱b-2a+1︱-︱a-2b-5︱。

（8）对自然数 n, 求：n 3 + 3/2 n 2 + 1/2 n - 1 除以 3 的余数。

（9）化简：1+x+x 2+x 3+ …… + x 2012
练习二、乘方数和开方数的式子化运算
（2）已知：a = 3√4 + 3√2 + 3√1, 求 3a -1 + 3a -2 + a -3 的值。

（3）求证：22225555 + 55552222 被 7 整除。

（4）化简的值最接近于： 。

A、 1/2， B、1/3， C、2/3， D、5/8。

（5）三个不同的正整数 abc = 16，求：a b - b c + c a 可能的最大值。

已知：n 2 + 3n - 10
是个既约分数，求这个分数的值。

（23-1）（33-1）（43-1） … （1003-1）
（23+1）（33+1）（43+1） … （1003+1）
（17）n 2 + 6n - 16
2.3. 代数式求值
（5）已知：X=（1+√1994）/2，求：（4X 3-1997X-1994）2001的值。

（6）已知: x 2 - 3x + 1 = 0, 求代数式 x 8 + x 4 + 1 的值。

（7）已知: a 5 + b 5 +3ab = 1, 求 (a + b) 的值。

（15）已知: (b-c)2 = 4(a-b)(c-a), a≠0, 求 (b + c) / a 的值。

点评：拆项法如此运用将时时带给你方便。

a 3 - 1
a 5 + a 4 - a 3 - a 2 的值。

求代数式：
2.4.整式的整除及系数问题
（6）求证：对任意自然数 n，都存在自然数 m，使得 mn + 1 是合数。

练习二、整式的系数问题
（1）代数式：ax4 + bx3 + cx2 + dx + e,
当 x=1 时，值为√7-√3，求 a+b+c+d+e 的值。

当 x=-1 时，值为√7+√3，求 a + c + e 的值。

（4）若：（2x-1)5 = a
5
x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0,
求：︱a5︱+︱a4︱+︱a3︱+︱a2︱+︱a1︱+︱a0︱的值。

做这一题就需要动动脑筋了。

（5）Y = x3 + ax2 + bx + c，当 x=1 时，Y=1, 当 x＝2 时，Y=2；当 x=8 及x=-5 时，值为 M 和 N。

求 M - N 的值。

练习三、X + 1/X 形代数式求值问题。

（7）若：x2 + x + 1
x
= a求值：
x2
= a
x4 + x2 + 1
练习四、一般分式化简和求值
（15）已知：a(y-z) + b(z-x) + c(x-y) = 0, 求证：
x-y y-z z-x a-b b-c c-a
练习四、二次根式拓展题
（3）已知：1899x 2 = 1999y 2，且 1/x + 1/y = 1，x﹥0，y ﹥0, 求证：
√1899x + 1999y = √1899 + √1999
（4）已知：2010x 3 = 2011y 3 = 2012z 3，xyz ﹥0，
3√2010X 3+2011Y 3+2012Z 3 = 3√2010+3√2011+3√2012 求：1/x+1/y+1/z
（6）求：√ 7 + √48 的算术平方根。

＝＝(z-x)(z-y)(y-z)(y-x)(-2x+y+z)(x-2y+z)
(x-y)(x-z)
+化简+(x+y-2z)(-2x+y+z)（17）(x-2y+z)(x+y-2z)
练习三、根式方程
解分式方程是高中解析几何中时常要碰到的繁重的演算工作。

一般笨办法是，移项分置根号，两边平方。

如果你有用技巧的习惯，好多这样的演算就要找妙法简化了。

（1）解方程：√ x2 + 2x - 3 + √ x2 - 3x + 2 = x - 1
（2）解方程：√ 2x - 3 + √ x - 2 = x - 1
（3）解方程：√ x + 3 - 4√x-1 + √ x +8 - 6√x-1 = 1
（4）解方程：√ 2x - 4 - √ x + 5 = 1（切记：两边平方最笨）
（5）解方程： x2-6x-6 + x√x2-2x-2 = 0（相信你不会去两边平方）
（6）解方程：3√3x - 4 - 3√5 - 3x = 1（再试一题）
（7）解方程组：(xy + x ) / (x+y+1) = 2
｛
(xz + 2x) / (x+z+2) = 3
(y+1)(z+2)/ (y+z+3) = 4
（7）已知自然数 N、K 满足不等式 7
N 6如果对于某13
N + K 11一给定的自然数 N，只有唯一的一个自然数 K 使不等式成立，求所有符合要求的自然数 N 的最大值和最小值。

6.3. 绝对值不等式及根式不等式
（1）对实数 x，不等式︱x - 1︱+︱x - 2︱+︱x - 3︱+︱x - 4︱+︱x - 5︱≥ a
恒成立，求实数 m 的取值范围。

（2）当 X≥1时，不等式︱X + 1︱+√ X - 1 ≥ M -︱X - 2︱恒成立，
求实数 M 的取值范围。

（3）已知：a﹤0, b≦0, c﹥0, √(b 2-4ac) = b-2ac, 求：b 2-4ac 的最小值。

第 6 章 不等式（组）及最大最小值
﹤﹤。

6.4. 完全平方式引导的不等式
（1）由（a-b)2≥0 得 a 2 + b 2≥2ab, 当且仅当 a=b 时等号成立。

同理：对于正数 x、y，有 x + y≥ 2√xy， 当且仅当 x=y 时等号成立。

同理：2√xy ≦ (x+y) ≦ √2(x2+y2) 当且仅当 x=y 时等号成立。

（2）对于正数 x，求证：x + 1/x ≥ 2，当 x = 1/x 时等号成立。

证明：由（√x - 1/√x ）2≥0 得到：x + 1/x -2 ≥0，∴ x + 1/x ≥ 2
（3）对于正数a、b，有：证明：1﹤（a + b) ≦ 4/3
（4）已知x 1,x 2,x 3,…x 19都是正整数，且x 1+x 2+ … +x 19=59，x 12+x 22+x 32+ …
+x 192 的最大值为A，最小值为B，求： A+B 的值。

（5）对实数 a、b，求代数式 a 2 + ab + b 2 - a - 2b 的最小值。

（6）实数 a、b、c 满足 a 2 + b 2 +c 2 ＝ 9 。

求：（a-b)2 + （b-c)2 + (c-a)2 的最大值
（7）对于 x﹥1, 求当 x 取何值时，x + 1/(x-1) 取得最小值，并求该最小值。

（8）已知： x 3 + y 3 = 2, 求证：x + y ≦ 2。

一般思路： x 3 + y 3 = （x + y)(x 2 - xy + y 2)
就是要证明：(x 2 - xy + y 2) ≧ 1，或 ≧ （x + y) 的某个式子。

若要证明前者难度不小，所以证明后者。

因为需要 ≧，我们容易想到：（x-y)2 ≧0, 同时我们需要的式子是 （x+y),
能否同时得到这两个式子呢？这是本题的演算想要介绍给大家的“分项方法”：（该方法系笔者自己从实践中总结的方法，姑且就这么叫 “分项方法” 吧）：设：(x 2-xy+y 2) ＝ a（x+y)2 + b（x-y)2
，容易得到 a=1/4, b=3/4；于是：
用习惯以后你直接就可以观察出来这样的分项结果。

（9)实数a、b，满足 a 2 + b 2 = 1，求：a 4 + ab + b 4 最大、最小值。

思路：最小值好求。

求最大值与上题方法类似，略难一点。

看看通过上题的演练，你会把方法搬到这一题来用没？
6.5. 边界不等式及其最大最小值。

（1）x + 2y - z = 6 x - y + 2z = 3
（2）3a + 2b + c = 52a + b - 3c = 1
求：S 的最大值、最小值。

（3）x + 2y - 5z = 3x - 2y - z = -5a、b、c 为非负数, S = 3a+b-7c；｛求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值。

｛44x 2 + 4y 2 - 4xy 4== 解决！｛求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值。

(x 2 - xy + y 2)＝(x 2+2xy+y 2) + (3x 2-6xy+3y 2)4
（x+y)2
+ 3（x-y）2
≧（x+y)2
44,0111=+-+-a b b a
7.1. 三元轮回对称式 （其要领是：三元轮回一次得到圆满的对称式子）
（1）甲、乙、丙三人，甲和乙平均体重59千克，乙和丙平均体重51千克，丙和甲平均体
重56千克。

问：他们的体重各多少？
（2）对实数a、b、c,已知：
ab
bc
ca
a+b b+c c+a （3）（A+B)/C = (B+C)/A = (C+A)/B 证明：A = B = C
（4）已知 A + B + C = 1，1/A + 1/B + 1/C = 0，求 A 2 + B 2 + C 2 的值
（5）实数a≠b≠c，且：a + b -1 = b + c -1 = c + a -1 = t, 求 t 的值。

求 t 的值。

（6）已知：求值：只要你按照三元轮回的原则去做，再难的题都没有弯路需要走。

把问题改为解这三个方程组成的方程组，解法有什么不同？
（7）已知 a、b、c 不为零且 a + b + c = 0，求证：a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
注意：这是一个常用的结论。

有关因式一章已出现过该题目。

（8）已知：k = a/(b+c-a) = b/(c+a-b) = c/(a+b-c), 求 k 值。

此类题目有个共同问题，就是不要忽略一个根（比如忽略 a +b+c=0 的情况)
（9）已知 a、b、c 不为零且 a + b + c = 0，
求证：a 3 + b 3 + c 3 = 3abc （注意：这是一个常用的结论。

）
（10）已知 a、b、c 不为零且 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c)，
求证：a -2013 + b -2013 + c -2013 = 1/(a
-2013 + b -2013 + c -2013)
（11）已知 a+b+c＝2，a 2+b 2+c 2=2,求：〔a(1-a)2+b(1-b)2+c(1-c)2〕/abc 的值 （探讨结论）
（12）已知 a+b+c＝0，a 2+b 2+c 2=4,求：a4+b4+c4 的值。

（14）实数满足：x + 1/y = 4, y + 1/z = 1, z + 1/x = 7/3，求 xyz 的值。

三个未知数有三个方程，很容易想到解出三个未知数。

一般书上也用了这个办法。

但对于一个习惯运用解题技巧的学生，应该考虑用更灵活的方法去做。

（15）非负数 a、b、c：
a b c a+b b+c c+a 本质区别？c
a b a+b
b+c c+a （16）已知：xyz = 1, x+y+z = 2, x 2 + y 2 + z 2 = 16, 求值：1
11xy+2z yz+2x zx+2y （a-c)(b-d)(a-b)(c-d)
第 7 章 三元轮回对称式
（b-c)(d-a)(a-b)(c-d)已知 = 3, 求：=1/3＝1/4求：＝1/5Q =（13） 求证：1﹤P﹤2P = 的值。

++++ab+bc+ca abc
的值。

++
2111=++z y x 3
111=++x z y 4111=++y x z z y x 432++
（17）已知：abc = 1, 求证：
（18）计算：
（20）已知：求证：
a b
c a
b c b-c c-a a-b (b-c)2(c-a)2(a-b)2
a b c
b+c c+a a+b （22）已知：a﹥b﹥c, x﹥y﹥z, M = ax﹢by﹢cz, P = ay﹢bz﹢cx,
N = az﹢by﹢cx, Q = az﹢bx﹢cy,
求证：M﹥P﹥N, 且 M﹥Q﹥N
注意：本题有不符合三元轮回对称式的排列方式之处，从而引出了一个值得熟悉的不等式定理。

7.2. 四元轮回对称式（并探讨与三元式的联系）
（1）已知 a、b、c、d 皆不为零且 a + b + c + d = 0，
求证：a 3 + b 3 + c 3 +d 3 = 3(abc+bcd+cda+dab)
（2）设：a + b + c + d = 1 , 求证：
（3）a+b+c b+c+d
c+d+a
d+a+b
d a b c （特别注意：漏解的疏忽）
（4）互不相等的实数 a、b、c、d 满足：a + 1/b = b + 1/c = c + 1/d
= d + 1/a ＝ x, 求 x 的值。

求 k 的值。

已知＝+＝＝＝k ab + a + 1bc + b + 1a +b
+abc+ab+a+1bcd+bc+d+1c
++cda+cd+c+a c
= 1
(c-a)(a-b)
a + x
(c-a)(a-b)
cda+cd+c+a = 1
c
c
= 1
ca + c + 1 = 0
= 0
1
++1
1
+1（a -b)(b-c)+1+(b-c)(c-a)(A)(B)1(A)a
ab + a + 1（a -b)(b-c)(b-c)(c-a)(B) b + x + c + x
（a -b)(b-c)(b-c)(c-a)(c-a)(a-b)
(C)b 2
+c 2(bc-a 2)(ca-b 2)(ab-c 2)已知a
+b
++ = 0(bc-a 2)2求证a
+ = 0(ca-b 2)2(ab-c 2)2+c
+a 2
++b
+ca + c + 1b
（21）已知 abc ≠0,bc + b + 1（19）++ = K 求 K 的值。

8.1. 给一列数（或式子）找规律
练习一、找规律
（1）有一列数，1/2、1/2、5/12、7/20、3/10、11/42，问：第100个数是多少？
（2）观察：1x2x3x4 +1 = 52, 2x3x4x5 +1 = 112, 3x4x5x6 +1 = 192,
A）、写出一个普遍的结论
B）、求 2009 x 2010 x 2011 x 2012 的值。

（3）求（1+2+3+4）+（2+3+4+5）+（3+4+5+6）+ … + （2009+2010+2011+2012）
8.2. 给一列数（或式子）求和
练习一、拆项法
（1）
111x22x3（2）1
1
1x2x32x3x4（3）求S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + … + n(n+1)
第 1 题是基本的拆项法的典型题型，拓展到第 2 题也不难。

将拆项法的运用拓展到第 3 题就要点功夫了。

点破了才发现也没什么特殊。

（4）求 S = 12 + 22 + 32 + … + n 2
练习二、错项法求和
（1）求 S = 1/3 + 1/32 + 1/33 + … + 1/3n
这个题目的方法和上面的方法难道就没有联系了吗？
（2）求 S = 1 + 5 + 52 + 53 + … + 5n
（3）求 S = 1 + x -1 + x -2 + x -3 + … + x -n
练习三、数列求和拓展题
12
22
1x33x5（2）求和 S = 1/2 + 1/22 + 1/23 + … + 1/2n + … (无限加下去）
（从一满桶水里取出水，第一次取出一半，以后每次取出剩下的一半）
根据以上结果分析，可以确定当无限加下去时，S ＝ 1.
如果：S1 = 1/2 + 1/23 + … + 1/2（n+1） + … (无限加下去）
S2 = 1/22 + 1/24 + … + 1/22n + … (无限加下去）求:S1、S2
+1n ( n + 1 )+10062
求S =++ (2011x2013)
+1
求S =++……（1）求S =++……n( n+1 )( n+2 )
第 8 章 数列
第 9 章 应用题
练习、
（1）两个盒子里装有数量相同的玻璃球。

玻璃球有红、白两种颜色。

第一个盒子中红、白两球的数量比为 1：7，第二个盒子中的红、白两球的数量比为 1：9。

若一共有
90颗红球，问第一个盒子中有多少颗白球？
（题目不难，但方法不同，解题的简易程度就大不同了）
（2）A、B、C 三辆车沿同一方向行使，A 车在前，B 车在中间，C 车在后。

AB间距与BC 间距相同。

经过10分钟 C 车赶上 B 车，又经过5分钟，C 车赶上 A 车。

问：再经过多少时间 B 车可以赶上 A 车？
（3）某校初一、初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的4/5。

已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占
三个年级男生人数的1/4，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的（　）。

（4）一台天平臂长出现误差，所以称出的质量有误差。

一个物体放在天平的左边称得M1，在右边称得M2。

求其实际质量。

（5）在一条街 AB 上，甲由 A 向 B 步行，乙由 B 向 A 骑车，速度是甲的 3 倍。

公共汽车每隔 X 分钟由 A 向 B 开出。

甲发现每隔10分钟就有一辆公共汽车赶上
他，而乙每隔 5 分钟就碰到一辆公共汽车。

问：公共汽车发车间隔时间 X 是多少？
（6）某工程甲单独做需12小时完成，乙单独做需18小时完成。

甲、乙合做一小时后，然后甲做一小时，再由乙做一小时，…两人交替工作，完成工作还需几小时？
（7）甲、乙两人分别从 A、B两地相向而行。

他们在距离 A 地 30 KM 处相遇。

随后他们继续前行。

甲到达 B 地后马上掉头返回，乙到达 A 地后也立即掉头返回。

然后他们 在距离 B 地 80 KM 处相遇。

求 AB 之间距离。

（8）甲、乙、丙、丁四个班的同学参加数学竞赛。

已知甲、乙两班有14名同学参加，乙、丙两班有18名同学参加，丙、丁两班有32名同学参加。

各班参加的人数为：
甲班少于乙班少于丙班少于丁班。

求各班参赛人数。

第 10 章 乘法原理与加法原理（排列组合）
练习一、枚举法（加法原理） （枚举法的关键是分类方法，做到无遗漏无重复）（1）从 10 个人中挑选出 2 人参加围棋比赛，有多少种选法？
（2）有 6 人参加乒乓球比赛，每两人间赛一场，共赛几场？
（3）在谋次宴会上，每个男宾与除他妻子外的所有人都握过手。

女宾之间不握手。

若有 15 对夫妇参加，则这30人之间共握手多少次？
（4）期中考试时甲、乙、丙、丁四人分别获得第 1、2、3、4 名。

期终考试他们又全进入前四名。

如果只有一人与期中排名相同，则排名情况有几种可能性？如果四
人排名都与期中不同，则排名情况有几种可能性？
（5）3960 有多少个因数？（按什么次序枚举是关键）
（6）已知：x1、x2、…、x10 都是 +1 或 -1，记 S = x1x2 + x2x3 + … + x9x10 + x10x1，则 S 可以取到的值有多少个？
如何做到无遗漏无重复还是需要方法的。

（7）三元方程x＋y＋z＝1999的非负整数解有 组。

（8）口袋里有 5 个红球、6 个黑球、7 个白球。

从中摸出 15 个球，其中红球数目刚好是 3 个的概率是多少？
（9）每颗 子上有 1 ～ 6 点。

一个 子抛两次，在两次的点数之和上押赌。

那么押多少点赢的可能性最大？赢的概率有多少？
（10）两个口袋里分别装有 10 红球 和 10 个白球。

各袋中的球分别标上自然数 1 到10。

从各袋中任意取出一个球。

求：白球上的数比黑球上的数大的概率。

练习二、乘法原理
（1）从 10 个人中挑选出 4 人参加扑克比赛，有多少种选法？
（2）有 6 人参加乒乓球比赛，每两人间赛一场，共赛几场？
（3）从 10 个人中挑选出 6 人参加游泳比赛，有多少种选法？
（4）由 5 人排队参加升旗仪式，有多少种排法？
（5）由 5 人围坐一圈，有多少种坐法？
（6）由 8 人围坐一圈，有多少种坐法？
（7）3960 有多少个因数？
（8）将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5
的五个盒子中，每个盒子只放入一个，
① 一共有几种不同的放法？
② 若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有几种不同的放法？
③ 若至少有一个球放入了同号的盒子(即对号放入)，共有几种不同的放法？
（9）公司仓库大门安装了若干把锁，每把锁配备了若干把钥匙分配给 4 名库管员。

只有当所有锁被打开时大门才能打开。

公司经理要求 4 名库管员任何 2 人到场都不能打开库门，任何三人到场都能打开库门。

问：仓库至少要安装几把锁？
（10）x1 + x2 + x3 + … + 2x6 = 3 有多少组非负整数解？
第 11 章 集合
集合这个名词好像属于高中数学的范畴，但小学奥数就不少见，初中应该掌握如下内容：
练习一、简单问题
（1）在 1、2、3、… 2012 中 3 的倍数和 5 的倍数总共有多少个？
（2）某寺院有甲、乙、丙三口钟，它们分别每隔 4 秒、5 秒和 6 秒敲一次。

新年到来时三钟一起敲响且同时停敲。

人们共听到 365 声钟响，问：三口钟总共
敲了有多少次？
（3）数学有18人得优秀，英语有26人得优秀，语文有28人得优秀。

其中数、语两门都优秀的共有 8人，语、英两门都优秀的共有14人，英、数两门都优秀的共有 9人。

三门都优秀的是 6人。

问：至少有一门优秀的学生总共有几人？
（4）数 1336，1471，1008 有个共同特点，首位皆为 1，都是四位数，且每个数中都恰有两个数码相同。

这样的四位数共有多少个？
练习二、分类的技巧
（1）720 总共有多少个约数（包括 1 和 720 本身）？
（2）从 1 到 100 有 100 个整数，从中任意取出任意个数组成一个集合。

取出零个元素组成的集合也算一个集合，叫空集。

100 个元素全取也是一种情况。

根据这个
规定，请问：总共可以组成多少个不同的集合？
练习三、拓展题
（1）把 8 个围棋手任意分配到 4 个相同的赛室进行比赛，有多少种分配方式？
（2）S 是由 1、2、… 50 中的若干个数组成的集合。

S 中的任意两个数的和都不是 7 的倍数，求：S 中最多含有几个数？
难题：
求：集合 S 的不同组成方式有多少种？
（3）一个集合含有 10 个互不相等的两位数。

求证：一定能把这 10 个两位数分成两批，使得每批的各数之和相等。

（4）集合 A 是由1、2、… 2n+1 这个 2n+1 数组成，从集合 A 中取出若干个数组成集合 B， 且 B 中的任意三个不同元素 x,y,z, 都有 x+y≠z，求集合 B 中最多有几个元素？
练习一、函数初步
1
1
1
x x - 1x - 2
已知 f（a）= 0，则 a = 。

（2）已知：X 1 = 2，X 2 = 1 - 1/X 1，… X n+1 = 1 - 1/X n , 求 X 2012 的值。

1
1-X B）、求：F（F（-2））
C）、求：F（F（F（F（F（X）））））
（4）F（x,y)＝x 2+3xy+y 2-3x+2y+5， 求F(1,2)的值
（5）F ＝2x 2-xy-y 2-x+5y-6, 当 x+y=2 时，求：F 的值
练习二、 函数之最大最小值
（1）求：Y = X 2 - 2X + 3 的最小值。

（2）已知：y = √1-x + √x-1/2, 求 y 的最大、最小值。

（3）对实数 x,y, 求：y = 5x 2 + 4y 2 - 8xy + 2x + 4 的最小值。

（4）x-1 = 2(y+1) = 3(z+2)，求 x 2+y 2+z 2 的最小值。

（5）求：y = x 2 - x + 1/x 的最小值。

（6）若：a 2 + ab + b 2 = 1，t = ab - a 2 - b 2，求 t 的取值范围。

练习三、 函数拓展题
（1）已知：函数 F（x+y) = F(x) * F(y)，且 F(1) = 1/2，
A )、求证：F(x+1) = F(x)/2
B)、求：F(1) + F(2) + … + F(2012)
（3）对于x﹥2, 当 x 取何值时，f(x)=(3x 2-8x+4)/(x-2) 取得最小值，并求此值。

（4）已知：函数 g(x) = f(90-x), 求证：f(x) = g(90-x)
若 f 2
(x) + g 2
(x) = 1, 求：f (45).
二次函数和抛物线将在几何篇中阐述
√ x+1
设 x﹥0, f(x) =（2） 求证： f(x) ﹤ x 2 - 2x + 1 + √2√x + 1+A）、求：F（2）、F（-1）
第 12 章 函数及其最大最小值
（3）已知：F(x)=，（X≠1）-（1）若f（x）=
（1）从 1、2、3 … 91 中任意取出 K 个数，使得其中必有两个数，其比值在不小于
2/3 且不大于 3/2。

求自然数 K 的最小值。

（2）有 6名围棋手参加小组循环赛，以选出 4名选手参加下一阶段的比赛。

每赛一场，
胜者得一分，负者不得分，且没有平局。

结果有 3人并列第一，有一人得第四名。

请说明各人的得分情况，并说明理由。

（3）将四十个自然数1，2……，40任意排成一排，总可以找到连续排列的八个
数，它们的和不小于A，则A的最大值等于 _____。

（4）从 1 到 9 中取出六个不同的数码，用这六个数码可以组成很多六位数，
其中有六个这样的六位数，它们的值的比是 1：2：3：4：5：6，求这六个
六位数。

（5）若存在整数 x、y，使得 n＝3x 2+32y 2，则称 n 为好数。

求证：若 n 是好数，则 97n 也是好数。

（6）求证：任意三个连续正整数的平方和不是一个完全平方数。

（7）一个国家在所有的大城市之间设立航班。

其规定如下：
任一大城市都与不多于三个大城市之间设立直航航班；
任一大城市到另外一个大城市去，最多只换乘一次飞机；
结果这个规定实行得很好。

问：这个国家最多有多少个大城市？
（8）把本题列在这一节，是为了强调它的重要性：
x + y = z - 1
xy = z 2 - 7z + 14求：当 z 为何值时，x2 + y2 取得最大、最小值？求出这个最大、最小值。

｛第 13 章 逻辑推理。