第5章 培优练习：5.1.2 弧度制(答案版)

一、角度制与弧度制
1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，1度的角等于周角的360
1。

2.规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度。

3.半径为1的圆叫做单位圆。

4.角的弧度数的求法
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。

如果半径为r 的圆的圆心
角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|=r
l 。

二、角度与弧度的换算
三、扇形的面积和弧长公式
设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则
一、选择题
5.2.1 弧度制
知识讲解 同步练习
1.下列说法中，错误的是( )。

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π
C.l rad 的角比1°的角要大
D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
【答案】D
【解析】由角度制和弧度制的定义，知A ，B ，C 说法正确.用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D 说法错误。

2.-225°化为弧度为( )。

A.π43 B.π47- C.π45- D.π4
3- 【答案】C
【解析】-225°=-ππ4
5-2360225=•︒︒，故选C 。

3.若a=5 rad ，则角α的终边所在的象限为( )。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
【解析】∵π23<5<2π，∵α=5rad 为第四象限角，其终边位于第四象限。

故选D 。

4.已知k∵Z ，下列各组角中，终边相同的是( )。

A.2k π与k π
B.2k π+π与4k π±π
C.k π+6π与2k π±6
π D.2πk 与k π±2π 【答案】B
【解析】2k π(k∵Z)表示终边在x 轴非负半轴上的角的集合，k π(k∵Z)表示终边在x 轴上的角的集合，两组角终边不同；2k π+π与4k π±π(k∵Z)都表示终边在x 轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相
同；k π+6π(k∵Z)表示终边与6π和π67终边相同的角的集合，2k π±6π(k∵Z)表示终边与6
-6ππ和终边相同的角的集合，两组角终边不同；)(2Z k k ∈π表示终边在坐标轴上的角的集合，k π±2
π(k∵Z)表示终边在y 轴上的角的集合，两组角终边不同；
故选B 。

5.下列各角与
3π终边相同的角是( )。

A.34π B.35π C.-34π D.-3
5π 【答案】D
【解析】与
3π终边相同的角可表示为β=)(2k 3Z k ∈+ππ，当k=-1时，β=-35π，故选D 。

6.把π4
11-表示成)(2k Z k ∈+πθ的形式，使|θ|最小的值是( )。

A.π4
3- B.-2π C.π D.-π 【答案】D
【解析】∵π411-
=-2π+(π43-)=2×(-1)π+(π43-)，∵θ=π43-。

故选A 。

7.将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )。

A.3π B.6π C.-3π D.-6
π 【答案】C
【解析】将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A ，B 不正确，又因为拨快10分钟，故转过的角大小应为圆周的61，故所求角的弧度为-61×2π=-3π
8.已知半径为1的扇形面积为83π
，则扇形的圆心角为( )。

A.163π
B.83π
C.43π
D.23π
【答案】C
【解析】根据扇形的面积公式
a S 2r 21=，代入相应值即可，由2
21a 2183r 21⨯⨯==π得a S ，所以a=43π，故选C 。

9.圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )。

A.1
B.12
C.π6或5π6
D.π3或5π3
【答案】C
【解析】设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径，所以可得2α＝π3或2π－2α＝π3，解得α＝π6或α＝5π6
. 10.如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )。

A ．175π36
B ．125π18
C ．75π18
D ．34π9 【答案】A
【解析】 40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6，∵S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36.
11.若角α得终边落在如图所示得阴影部分内，则角α得取值范围是( )。

A.⎪⎭⎫ ⎝⎛36ππ，
B.⎪⎭⎫ ⎝⎛6732ππ，
C.⎪⎭⎫ ⎝⎛6732ππ，
D.()Z k k k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++672,322ππππ 【答案】D
【解析】阴影部分得两条边界分别为6732ππ和角得终边，
所以α得取值范围是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++672,322ππππ。

12.[2019·新疆高一期末]若sinα·cosα>0，则角α的终边在( )。

A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限
【答案】B
【解析】由sinα·cosα>0可得时，当或⎩
⎨⎧<>⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>0cos 0sin ,0cos 0sin 0cos 0sin αααααα角α的终边位于第一象限，
当时，⎩
⎨⎧><0cos 0sin αα角α的终边位于第三象限。

故选B 。

二、填空题
1.下列四个角：1，60°，6
-3ππ，由大到小的排列为 。

【答案】60°=6-13π
π
>>
【解析】只需要把60°化成弧度制，因为60°=
3π，所以四个角为1，6-33πππ，，，所以60°=6
-13ππ>>。

2. 把-11π4写成θ＋2k π(k ∵Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是_______．
【答案】-3π4
【解析】-11π4＝-3π4－2π＝5π4－4π，∵使|θ|最小的θ的值是-3π4.
3.已知扇形的弧长为20cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为 cm 2 【答案】π360
【解析】由弧长公式ππ36180
10020,===r r a l 得，∵π
π36036202121=⨯⨯==lr S 扇。

4.已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈。

现在经过了1小时，则此时分针转过得角度的弧度数是 。

【答案】-2π
【解析】由于经过了1小时，分针转过一周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故分针转过的角的弧度数是-2π.故答案为-2π.
三、解答题
1.在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角。

(1)549°;(2)-60°；(3)-503°36′
【答案】(1)189°；(2)300°；(3)216°24′
【解析】(1)549°=189°+360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°~360°范围内，与189°角有相同的终边。

(2)-60°=300°-360°，而270°<300°<360°，因此，-60°角为第四象限角，且在0°~360°范围内，与300°角有相同的终边。

(3)-503°36′=216°24′-2×360°，而180°<216°24′<270°因此，-503°36′角是第三象限角，且在0°~360°范围内，与216°24′角有相同的终边。

2.将下列角度与弧度进行互化。

(1)20°；(2)-15° ；(3)
127π；(4)-511π 【答案】见解析
【解析】(1)20°=
918020ππ=；(2)-15°=-18015π=-12π；(3)127π=(127ππ180⨯)°=(127180⨯)°=105°； (4)-
511π=(-511ππ180⨯)°=(1805
11-⨯)°=-396°
3.已知α1＝-570°、α2＝750°，β1＝3π5，β2＝-7π3.
(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；
(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在-720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角．
【答案】见解析
【解析】 (1)∵-570°＝-570π180＝-19π6＝-4π＋5π6，
∵-570°与5π6终边相同，5π6在第二象限，∵α1在第二象限．
∵750°＝750π180＝25π6＝4π＋π6，
∵750°与π6终边相同，π6在第一象限，∵α2在第一象限．
(2)∵β1＝3π5＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k ·360°，k ∵Z ，
∵在-720°～0°范围内与β1有相同终边的角是-612°和-252°.
同理，β2＝-420°且在-720°～0°范围内与β2有相同终边的角是-60°。

4.已知角α=1200°.
(1)将角α改写成β+2k π(πβ20≤≤∈，Z k )的形式，并指出角α是第几象限的角；
(2)在区间[]ππ，4-上找出与角α终边相同的角。

【答案】见解析
【解析】(1)因为α=1200°=1200×
,320180rad rad ππ=且3223320πππ+⨯=，πππ<<3
22， 所以角α是第二象限的角。

(2)由(1)知α=6ππ32+，因为与角α终边相同的角(含角α在内)为Z k k ∈+,322ππ， 所以由6
137-3224-≤≤≤+≤k k ，得ππππ。

因为Z k ∈，所以k=-2或k=-1或k=0。

故在区间[]ππ，4-上与角α终边相同的角是3234-310-
πππ，，。

5.已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
【答案】当r ＝1时，S 最大，且S max ＝1，θ＝2(rad)
【解析】设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，
则l ＋2r ＝4，所以l ＝4-2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋π<r<2，
所以S ＝12l ·r ＝12×(4－2r)×r ＝－r 2＋2r ＝-(r -1)2＋1，
所以当r ＝1时，S 最大，且S max ＝1，因此，θ＝l r ＝4－2×11＝2(rad)．。