第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱

第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
一、水平地震作用的基本公式 由上一节可知，
()()[]()()t kx t x c t x
t x m +=+- 0 3.26
因
()()r kx t x
c ，略去不计，有()()[]()t kx t x t x m ≈+-
0 3.27
质点的绝对加速度为
3.28
()()()()()t x t x m
k
t x
t x t a 20ϖ-=-=+= 将式3.24代入上式，得
3.29
质点的最大绝对加速度为()m ax a t a S =
3.30
一、 地震反应谱 反应谱分析法：求解结构最大地震反应的方法即反应谱分析法，这种方法是对单
质点单自由度体系，在给定的阻尼比 时，取不同的自振周期T ，求出任意给定的地震波下的最大加速度 。

然后，以阻尼比 为参数，作出自振周期T 与最大反应的关系曲线族，即反应谱。

这样一来，对于任何单质点、单自由度体系，如果已知其自振周期T 、阻尼比 ，便可从反应谱图中直接查得该结构体系在特定地震波下的最大反应，实际运用是比较方便的。

图3.7是根据1940.5.18美国埃尔森特罗地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线。

任何地震波所得的地震反应谱，几乎后共同的特点。

1、谱曲线是多峰点的，是由于地面运动的不规则造成的，但在阻尼比等于零时反应谱的谱值最大，而任何较小的阻尼比都能否使峰点削平很多。

2、当结构自振周期较小时，随周期T 的增加，反应急剧增长，而较大自振周期时，反应逐渐衰减、稳定。

目前，世界各国已普遍计算和利用地震反应谱。

在现今设计中，已有许多可以直接应用的地震反应谱，包括最大加速度、最大相对加速度或最大相对位移反应，以满足不同使用的要求。

a
S 与质点质量的乘积即为水平地震作用的绝对最大值
a mS F = 3.31
二、 标准反应谱
βGk x S
g x mg mS F max a max a =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00 3.32
式中： k
—— 地震系数 β
—— 动力系数
mg G =——
重力
（一）地震系数
1、概念：即指地面运动最大加速度与重力加速度的比值
2、公式：g
x
k max
0 =
3.33
3、有关因素：与地震烈度有关
4、确定：见表 3.1 （二）动力系数β
1、概念：即指单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比。

2、公式：max
a x S 0 =
β
3.34
（三）标准反应谱
1、概念：根据大量的强震记录算出对应于每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出最有代表性的平均曲线作为设计依据，这种曲线叫标准反应谱。

虽然不同的地震反应谱有某些共同的特点，但仍有差别，而利用反应谱的地震反应分析的目的，是要预测结构将来可能遭受的最大地震反应堆。

所以采用一种特定地震波所绘制的反应谱曲线。

2、影响因素：场地土的特性、震级、震中距。

《抗震规范》将最大动力系数取为：252.max
=β
三、 设计反应谱
（一）概念：抗震规范采用相对于重力加速度的单质点绝对最大加速度与体系自
振周期T 之间的关系作为设计用反应谱。

⎪⎭
⎫ ⎝⎛T S
a
（二）地震影响系数α
1、概念：即指地震系数k 与动力系数β的乘积
2、公式：βαk g S a
==
α
ββG Gk g mk mS F a ==== 3.36
3.37 3、地震影响系数曲线
式中：
T——为特征周期（拐点周期），它与场地类别、近震、远震有关。

g
见表3.2
T——单质点体系的自振周期
δ——单位水平集中力使质点产生的侧移
α——地震影响系数最大值，按下式求出
m a x
（1）当
0=T ，即结构为刚性体系，
0.1max 0==
x
S a
β 加速度与地面加速度相等。

k k k =⨯==1βα
max max
max max max max 45.025
.2ααβαβα===
⇒=k k max 45.0αα=
（2）当()1.0,0∈T 时，()max 5.545.0ααT +=
（3）当()g T T ,1.0∈时，max 2αηα= 05.0=ζ m a x αα= （4）当[]g g T ,T T 5∈ 时，
《抗震规范》按取多遇地震烈度计算时的
max 2αηαγ
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=T
T g ζ
ζ
γ55.005.09.0+-+
=
ζζ
η7.106.005.012+-+= 05.0=ζ m a x 9
.0αα⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T T g 见表3.3
（5）当[]
0.6,5g T T ∈ 时 ()[]
m
a
x 1252.0αηηαγg T T --= 05.0=ζ
()[]m a x
9.0502.02.0ααg T T --= （6）max min 2.0αα=
五、G （建筑的重力荷载代表值）
在计算结构的水平地震作用标准值和竖向地震作用标准值时都要用到集中在质点处的重力荷载代表值。

建筑的重力荷载代表值应取结构和构配件自重标准值和可变荷载组合值的之和，抗震规范给出的可变荷载组合值系数列于表。

考虑到藏书库等活荷载在地
震时遇合的概率较大，故按等效楼面均布荷载计算活荷载时，其组合系数取为
例题：有一单层单跨框架，假设屋盖平面内刚度无穷大，质量都集中在屋盖处，已知设防烈度为8度,Ⅱ类场地，地区地震动参数区划的特征周期分区为二区，集中于屋盖处的重量KN mg G 700=＝，框架柱线刚度m KN h
EI i c
c ⋅⨯==
4106.2，框架高度m h 5=。

试求该结构的自振周期和多遇地震时的水平地震作用。

解：由于质量集中在楼盖处，水平振动时可以简化为单自由度体系。

1、求结构体系的自振周期
由于屋盖在平面内刚度为无穷大，框架的侧移线刚度
m KN h i k c
/249601248021222
=⨯=⨯
= t g W m 4.718
.9700===
s K m T 336.024960
4
.7122===ππ
2、求水平地震影响系数α
当设防烈度为8度，且为多遇地震，查表16.0max =α
II 类场地，二区，查表，s T g 30.0=
g g T T T 5 ，由图
144.016.0336.03.09
.0max 9
.0=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=ααT
T g
3、计算结构水平地震作用F
KN G F 8.100700144.0=⨯==α。