专题8 数学思想方法选讲(

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专题八 数学思想方法选讲
• 在中学数学里,有四个数学思想处于基础地 位,是构建数学逻辑结构的基石,因而它们 显得尤为重要.它们是函数方程思想、数形 结合思想、分类讨论思想和转化与化归思 想.
函数与方程思想
• 函数思想,就是用运动和变化的观点,分析和研究具体问题 中的数量关系,并用函数的解析式将其表示出来,从而通过 研究函数的图象和性质,使问题获解.方程思想,就是分析 数学中的变量间的等量关系,构建方程或方程组,转化为对 方程的解的讨论,从而使问题获解.
B.(1,4)
C.14,1
D.14,1
【解析】设f(x)=x2+ax+2b,x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,因为另一个
f0>0, 根在(1,2)内,所以 f1<0,
f2>0,
b>0, 即 a+2b+1<0,
a+b+2>0.
作出满足上
述不等式组对应的点(a,b)所在的平面区域,得到△ABC及其
• 数形结合思想在高考中的应用大致可以分为两种情形:一是 “以形助数”,借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的 联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象 来直观地说明函数的性质;二是“以数定形”,借助于数的 精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段, 形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性 质.
方向1 数形结合思想在函数与方程中的应用
例4
(2019年河北石家庄模拟)已知M是函数f(x)=ex2-3x+
13 4
-8cos
π12-x
在x
∈(0,+∞)上的所有零点之和,则M的值为( )
A.3
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B.6
C.9
D.12
【解析】函数f(x)=ex2-3x+143-8cosπ12-x在(0,+
∞)上的所有零点之和,即ex2-3x+
当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-
e 2
.又当x<0时,g(x)=
x2-32x
ex>0,且x→-∞
时,g(x)→0.作出函数g(x)的大致图象如图所示,可得m∈ 0,92e-32
时,函数f(x)有三
个零点.故选A.
方向2 利用数形结合思想解决最值问题
例5 (2019年福建厦门模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-
内部,即如图所示的阴影部分(不含边界),其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0).设点
E(a,b)为区域内的任意一点,则k=
b-2 a-1
,表示点E(a,b)与点D(1,2)连线的斜
率.因为kAD=
2-1 1+3

1 4
,kCD=
2-0 1+1
=1,结合图形可知kAD<k<kCD,所以
b-2 a-1
同的实数解,则k的取值范围为________. 【解析】令f(x)=sin 2x+cos 2x,g(x)=k,则f(x)=sin 2x
+cos 2x= 2sin2x+π4.∵x∈0,π2,∴2x+π4∈π4,54π.∴ 2 sin2x+π4∈[-1, 2].函数f(x)= 2sin2x+π4在0,π2内的 图象如图所示,要使方程sin 2x+cos 2x=k在区间0,π2上有两个不同的实数解,则 函数f(x)与g(x)=k的图象有两个不同的交点,由图可知k的取值范围为[1, 2).
【答案】[1, 2)
利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思 路
(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方 程根的问题,应用函数思想把方程根的问题 转化为函数零点问题.
(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或 分离参数化为函数解决.
A.0 C.π2
已知函数f(x)=12x-cos x,则方程f(x)=π4所有根的和为( ) B.π4 D.32π
方向1 函数与方程思想在不等式中的应用 例1 已知函数f(x)=log2x,x∈[2,16],对于f(x)
值域内的任意实数m,使x2+mx+4>2m+4x 恒成立的实数x的取值范围为( ) A.(-∞,-2] B.[2,+∞) C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】因为x∈[2,16],所以f(x)=log2x∈[1,4],即m∈[1,4].不等式x2+mx+ 4>2m+4x恒成立,即为m(x-2)+(x-2)2>0恒成立.设g(m)=(x-2)m+(x-2)2,则
• 函数思想与方程思想是密切相关的,如函数问题可以转化为 方程问题来解决,方程问题也可以转化为函数问题加以解 决.如解方程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点,解不等式 f(x)>0(或f(x)<0),就是求函数y=f(x)的正(或负)区间.再如 方程f(x)=g(x)的解的问题可以转化为函数y=f(x)与y=g(x) 图象的交点问题,也可以转化为函数y=f(x)-g(x)图象与x轴 的交点问题.方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值 域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.
(2019年山西太原一模)定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为
f′(x),满足f(x)>f′(x),且f(0)=1,则不等式fexx<1的解集为(
)
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
【答案】B 【解析】构造函数g(x)=fexx,则g′(x)=ex·f′xex-2 ex·fx=f′xe-x fx.由题意得
-π6时,有12x≤-1π2,-cos x≤1,∴x≤-π6时,f(x)=12x-cos x≤-1π2+1<π4,由此
可得,当x≤
π 6
时,f(x)=
π 4
没有实数根.同理可得x≥
7π 6
时,f(x)=
1 2
x-cos
x≥
7π 12

1>π4,∴方程f(x)=π4也没有实数根.综上可知f(x)=π4只有实数根π2.故选C.
13 4
=8sin
πx在(0,+∞)
上的所有实数根之和,即ex-322+1=8sin πx在(0,+∞)上
的所有实数根之和.令g(x)=ex-322+1,h(x)=8sin πx,易
知g(x)的图象关于直线x=32对称,h(x)=8sin πx的图象也关于直线x=32对称,作出两
个函数的大致图象如图所示.由图象知两个函数的图象有4个交点,且4个交点的横
4y-12=0,圆心C到直线AB的距离d=
16 5
,又|AB|=
32+42=5,∴△ABP的面积的最小值为12×5×156-1=121. 【答案】B
利用数形结合思想解决最值问题的一般思路
(1)对于几何图形中的动态问题,应分析各个变 量的变化过程,找出其中的相互关系求解.
(2)对于求最大值、最小值问题,先分析所涉及 知识,然后画出相应的图象数形结合求解.
=b-c,即AC⊥BC,
又OA⊥OB,所以O,A,C,B四点共圆.当且仅当OC为圆的直径
时,|c|最大,最大值为 2.
方向3 利用数形结合思想解决参数、不等式 问题 例6 实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)
内,则ba- -21的取值范围是(
)
A.[1,4]
此函数在区间[1,4]上恒大于0,所以
g1>0, g4>0,

x-2+x-22>0, 4x-2+x-22>0,
解得x<-2
或x>2.
【答案】D
函数与方程思想在不等式问题中的应用要点
(1)在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的 思想方法就是构造适当的函数,然后利用函 数的最值解决问题.
(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中,需 要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关 系,使问题更明朗化.一般地,已知范围的 量为变量,而待求范围的量为参数.
C.92e-23
,+∞
D.-2e,92e-32
【答案】A
【解析】函数f(x)= x2-32x ex-m有三个零点,即方程 x2-32x ex=m有三个实 根,令g(x)= x2-32x ex,则y=g(x)的图象与直线y=m有三个交点.g′(x)= 2x-32 ex +x2-32xex=exx2+12x-32=exx+32(x-1),∴当x∈-∞,-32时,g′(x)>0,g(x) 单调递增;当x∈ -32,1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时, g′(x)>0,g(x)单调递增.当x=-32时,g(x)取得极大值g-32=92e-23 ;
解得x1
=-3,y1=1.易知|PA|+|PB|的最小值等于|A1B|=
|PA||A+B||PB|=|PA|+4 |PB|的最大值为
4 26.
26 ,因此椭圆C的离心率e=
【答案】B
求最值或参数范围的技巧
(1)充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不 等式(组)求解.
(2)充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的 函数,然后应用函数知识求解.
A.-2,23∪23,+∞ C.(-∞,-2)∪-2,12 【答案】C
B.12,+∞ D.-∞,12
【解析】不妨令i=(1,0),j=(0,1),则a=(1,-2),b=(1,λ).因为它们的夹
角为锐角,所以a·b=1-2λ>0且a,b不共线,所以λ<12且λ≠-2.故选C.
数形结合思想
• 数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言 有机结合,达到抽象思维和形象思维的和谐统一.通过对规 范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精 确,从而使问题得到解决.
坐标之和为6. 【答案】B
利用数形结合讨论方程的解(或函数的零点)时, 可构造两个函数,使问题转化为讨论两曲线 的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要 注意图象的准确性、全面性、否则会得到错 解.
若函数f(x)=x2-32 xex-m有三个零点,则实数m的取值范围是
()
A.0,92e-23
B.-2e,0
2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为( )
A.6
B.121
C.8
D.221
【解析】x2+y2-2y=0可化为x2+(y-1)2=1,则
圆C为以(0,1)为圆心,1为半径的圆.如图,过圆心C
向直线AB作垂线交圆于点P,连接BP,AP,这时△
ABP的面积最小,直线AB的方程为4x+-y3=1,即3x-
的取值
范围是14,1.
【答案】D
(1)数形结合思想解决参数问题的步骤:①分析 条件所给曲线.②画出图象.③根据图象求 解.
(2)当不等式问题不能用代数法求解但其与函数 有关时,常将不等式问题转化为两函数图象 的上下关系问题,从而利用数形结合法求 解.
(2019年云南昆明模拟)已知定义在R上的函 数f(x)是奇函数,且f(x)在(-∞,0)上是减函 数,f(2)=0,g(x)=f(x+2),则不等式 xg(x)≤0的解集是
g′(x)<0恒成立,所以函数g(x)=fexx在R上单调递减.又因为g(0)=fe00=1,所以fexx
<1,即g(x)<g(0).所以x>0,即不等式的解集为(0,+∞).
方向2 解决图象交点或方程根的问题 例2 (2018年上海二模)若关于x的方程sin 2x+cos 2x=k在区间0,π2上有两个不
在平面内,已知a,b是两个互相垂直的单位向量,向量c满足(a
-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( )
A.1
B.2
C. 2 【答案】C
D.
2 2
【解析】因为(a-c)·(b-c)=0,所以(a-c)⊥(b-c).如图,
设 O→C =c,
O→A =a,
→ OB
=b, C→A =a-c,
→ CB
【答案】C 【解析】∵f(x)=12x-cos x,∴f ′(x)=12+sin x.当x∈-π6,76π时,由sin x>- 12,得f ′(x)>0,∴f(x)在-π6,76π上是增函数.
∵fπ2=π4-cos π2=π4,∴在-π6,76π上有且只有一个实数x=π2满足f(x)=π4.当x≤
方向3 解决最值或参数范围问题 例3 已知两定点A(-2,0)和B(2,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆
C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为( )
A.
2 26
B.
4 26
C.
2 13
D.
4 13
【解析】设点A关于直线l的对称点为A1(x1,y1),则有 yx211y=+1 x21=-2 -2+1,3,
(3)当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二次方程的 明显信息,构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决.
(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量 的个数.
(2019年湖北襄阳模拟)已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i- 2j,b=i+λj,且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( )
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