第二节 等差数列及其前n项和

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(2)求 an 的表达式． [解] 由(1)知S1n＝S11＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n， 即 Sn＝21n. 由于当 n≥2 时，有 an＝－2Sn·Sn－1＝－2nn1－1， 又因为 a1＝12，不适合上式．
12，n＝1， 所以 an＝－2nn1－1，n≥2.
(× )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．
(√ )
(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式 an＝3－2n，则它的公差为
－2.
( √)
(二)选一选
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1．在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
所以 3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝
2×12＝24. 答案：C
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考点二 等差数列的判定与证明
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[典例] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an＋2Sn·Sn －1＝0(n≥2)，a1＝12.
(1)求证：S1n是等差数列． [解] 证明：因为 an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又 an＝－2Sn·Sn－1，所以 Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0. 因此S1n－Sn1－1＝2(n≥2)． 故由等差数列的定义知S1n是以S11＝a11＝2 为首项，2 为公 差的等差数列．
答案：B
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2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3·a5＝12，a2＝0.若 a1>0，
则 S20＝
()
A．420
B．340
C．－420
D．－340
解析：设数列{an}的公差为 d，则 a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d
＝3d，由 a3·a5＝12 得 d＝±2，由 a1>0，a2＝0，可知 d<0，所
的前 n 项和，则 S3＝________. 解析：设{an}的公差为 d，由 a2＝－6，a6＝6，得aa11＋ ＋d5＝ d＝－6，6， 解得ad1＝＝3－. 9， 于是 S3＝3×(－9)＋3×2 2×3＝－18. 答案：－18
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5．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且 a1＝3，a2＋a5＝36，则 {an}的通项公式为________．
得到 S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选 B.
[答案] B
考法(三) 等差数列前 n 项和的最值
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[题组训练] 1．(2019·陕西质检)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an2＋bn(a，b∈
R )且 a2＝3，a6＝11，则 S7 等于
()
A．13
B．49
C．35
D．63
解析：由 Sn＝an2＋bn(a，b∈R )可知数列{an}是等差数列，
所以 S7＝7a12＋a7＝7a22＋a6＝49. 答案：B
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2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－an1－1(n≥2，n∈N *)，设 bn＝an－1 1
(n∈N *)．求证：数列{bn}是等差数列． 证明：∵an＝2－an1－1(n≥2)，∴an＋1＝2－a1n. ∴bn＋1－bn＝an＋11－1－an－1 1＝2－a11n－1－an－1 1＝aann－－11＝1， ∴{bn}是首项为 b1＝2－1 1＝1，公差为 1 的等差数列．
解析：法一：设数列{an}的公差为 d.∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d) ＋(a1＋4d)＝36，∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，∴an＝6n －3. 法二：设数列{an}的公差为 d，∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3， ∴a6＝33，∴d＝a6－5 a1＝6.∵a1＝3，∴an＝6n－3. 答案：an＝6n－3
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3．已知数列{an}中 a1＝1，an＋1＝an－1，则 a4 等于 ( )
A．2
B．0
C．－1
D．－2
解析：因为 a1＝1，an＋1＝an－1，所以数列{an}为等差数列，
公差 d 为－1，所以 a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故选 D.
答案：D
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(三)填一填 4．设数列{an}是等差数列，且 a2＝－6，a6＝6，Sn 是数列{an}
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[解题技法] 等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1， an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代 换的作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示 已知量和未知量是常用方法． [提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的 准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂 的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
n，p，q∈N *)．特别地，若 m＋n＝2p，则 2ap＝am＋an(m，
n，p∈N *)． (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md(k，m∈N *)． (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 n2d. (5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (6)若{an}是等差数列，则Snn也成等差数列，其首项与{an}首
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课 堂讲 练区
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考点一 等差数列的基本运算
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[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，
若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝
()
A．－12
B．－10
C．10
D．12
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＝4，S4＝22，an
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考点三 等差数列的性质及应用
考法(一) 等差数列项的性质
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[ 典 例 ] (1) 已 知 在 等 差 数 列 {an} 中 ， a5 ＋ a6 ＝ 4 ， 则
log2(2a1·2a2·…·2a10)＝
()
A．10
B．20
C．40
D．2＋log25
(2)(2019·福建模拟)设 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差 d＝a4－a3＝2，
故选 B. 答案：B 2．数列{2n－1}的前 10 项的和是
()
A．120
B．110
C．100
D．10
解析：∵数列{2n－1}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
∴S10＝a1＋a210×10＝1＋129×10＝100.故选 C. 答案：C
第二 节
等差数列及其前n项和
课前自修区
基础相对薄弱，一轮复习更需重视
基础知识的强化和落实
课堂讲练区
考点不宜整合太大，挖掘过深
否则会挫伤学习的积极性
课时跟踪检测
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课 前自 修区
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一、基础知识批注——理解深一点
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1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差
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2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d . (2)前 n 项和公式：Sn＝ na1＋nn2－1 d ＝na12＋an. 3．等差数列的通项公式及前 n 项和公式与函数的关系 (1)an＝a1＋(n－1)d 可化为 an＝dn＋a1－d 的形式．当 d≠0 时，an
使得 Sn 取得最大值 Sm；若 a1<0，d>0，则满足aamm≤ ＋1≥0，0 的项 数 m 使得 Sn 取得最小值 Sm.
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三、基ຫໍສະໝຸດ Baidu小题强化——功底牢一点
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一判一判对的打“√”，错的打“×”
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常
数，则这个数列是等差数列．
[解题技法] 等差数列的判定与证明方法
方法
解读
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适合题型
对于任意自然数 n(n≥2)，an－an－1(n≥2， 定义法
n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中
等差中项 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an} 证明问题
法 是等差数列
通项公式 an＝pn＋q(p，q 为常数)对任意的正整数 n 选 择 、 填
项相同，公差是{an}公差的12.
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(7)若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S 偶－S 奇
＝nd；SS奇偶＝aan＋n 1. (8)若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an；S 奇－S 偶＝an；SS奇 偶
＝n－n 1. (9)在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则满足aamm≥ ＋1≤0，0 的项数 m
法 都成立⇔{an}是等差数列
空题中的
前 n 项和 验证 Sn＝An2＋Bn(A，B 是常数)对任意的 判定问题
公式法 正整数 n 都成立⇔{an}是等差数列
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[提醒] 用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检 验，从而产生错解．比如，对于满足 an－an－1＝1(n≥3)的数列 {an}而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项 a2－ a1 是否等于 1.
都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常
数叫做等差数列的公差，符号表示为 an＋1－an＝d(n∈N *，d
为常数)． (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝a＋2 b，
其中 A 叫做 a，b 的等差中项． 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有穷等差数列的 末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
＝28，则 n＝
()
A．3
B．7
C．9
D．10
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d，由 3S3＝S2＋S4，得 3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即 3a1＋2d＝0.将 a1＝2 代入上式， 解得 d＝－3，故 a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
(2)因为 S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝22－2 4a2＝3， a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由 3n－2＝28，解得 n＝10. [答案] (1)B (2)D
前 n 项和，若 a5＝2b5，则TS99＝(
)
A．2
B．3
C．4
D．6
[解析] (1)因为 2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6) ＝25×4，所以 log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.选 B.
9a1＋a9
(2)由 a5＝2b5，得ab55＝2，所以TS99＝9b12＋b9＝ab55＝2，故选 A.
[答案] (1)B (2)A
2
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考法(二) 等差数列前 n 项和的性质
[典例] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6
＝36，则 a7＋a8＋a9 等于
()
A．63
B．45
C．36
D．27
[解析] 由{an}是等差数列，
得 S3，S6－S3，S9－S6 为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
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[题组训练]
1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，
且 a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意，得
a1＋a1＋4d＝10， 4a1＋4×2 3×d＝16，
解得ad1＝＝21，， 故选 B.
以 d＝－2，所以 a1＝2，故 S20＝20×2＋20×2 19×(－2)＝－340，
选 D.
答案：D
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3．在等差数列{an}中，已知 a5＋a10＝12，则 3a7＋a9＝( )
A．12
B．18
C．24
D．30
解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
因为 a5＋a10＝12，
所以 2a1＋13d＝12，
是关于 n 的一次函数；当 d>0 时，数列为递增 数列；当 d<0 时， 数列为 递减 数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为 0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为 常数)．
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二、常用结论汇总——规律多一点
已知{an}为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前 n 项和． 返回 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)在等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q 时，am＋an＝ap＋aq(m，