2020高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.4 空间直角坐标系练习 新人教B版必修2

2.4 空间直角坐标系

1在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关系是()

A.关于x轴对称

B.关于yOz平面对称

C.关于坐标原点对称

D.关于y轴对称

解析：因为P,Q两点的y坐标相同,x,z坐标分别互为相反数,它们的中点在y轴上,并且PQ与y轴垂直,故P,Q 关于y轴对称.

答案：D

2已知三点A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),则()

A.三点构成等腰三角形

B.三点构成直角三角形

C.三点构成等腰直角三角形

D.三点不能构成三角形

解析：因为|AB|=,|BC|=,|AC|==2, 所以|AC|=|AB|+|BC|.

所以三点不能构成三角形.

答案：D

3已知空间一点P在xOy平面上的射影为M(1,2,0),在xOz平面上的射影为N(1,0,3),则P在yOz平面上的射影Q的坐标为()

A.(1, 2,3)

B.(0,0,3)

C.(0,2,3)

D.(0,1,3)

解析：由P点在xOy平面上的射影,知x P=1,y P=2,在xOz平面上的射影为N(1,0,3),知x P=1,z P=3.

故P(1,2,3)在yOz平面上的射影为Q(0,2,3).

答案：C

4已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点间距离的最小值是()

A. B. C. D.

解析：因为d(A,B)

=

=

=,

所以A,B两点间距离的最小值是.

答案：C

5如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长为1,点P在对角线BD'上,且BP=BD',则点P的坐标为() A. B.

C. D.

解析：点P在坐标平面xDy上的射影落在BD上.

因为BP=BD',所以P x=P y=,P z=.

故点P的坐标为.

答案：D

6在空间直角坐标系中,若点P在x轴上,它到P1(0,,3)的距离为2,则点P的坐标为. 解析：设P(x,0,0),则=2,解得x=±1,故P点坐标为(±1,0,0).

答案：(±1,0,0)

7在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,-2),B(1,-3,1),点B关于坐标平面xOy的对称点为B1,则

|AB1|=.

答案：

8若半径为r的球在第Ⅲ卦限内,且与各坐标平面均相切,则球心的坐标是.

解析：由第Ⅲ卦限内的各坐标的符号正负可得.

答案：(-r,-r,r)

9若点P(x,y,z)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是,猜想它表示的图形是.

解析：由两点间距离公式得(x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2,化简得2x+2y-2z-3=0,由几何图形的性质知这个方程表示线段AB的中垂面.

答案：2x+2y-2z-3=0线段AB的中垂面

10已知A(3,3,1),B(1,0,5),求:

(1)d(A,B);

(2)线段AB的中点坐标;

(3)到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.

解(1)由空间两点间的距离公式,得

d(A,B)=.

(2)线段AB的中点坐标为,

即为.

(3)点P(x,y,z)到A,B的距离相等,

则

=,化简得4x+6y-8z+7=0,即到A,B距离相等的点P的坐标(x,y,z)满足的条件是4x+6y-8z+7=0.

11如图,在长方体OABC-D'A'B'C'中,OA=3,OC=4,OD'=3,A'C'与B'D'相交于点P,分别写出点C,B',P的坐标.解根据题意,得点C在y轴上,因为OC=4,所以点C的坐标为(0,4,0);点B'的横坐标与点A的横坐标相同,因为OA=3,所以点B'的横坐标为3,点B'的纵坐标与点C的纵坐标相同,所以点B'的纵坐标为4,点B'的竖坐标与点

D'的竖坐标相同,因为OD'=3,所以点B'的竖坐标为3,所以点B'的坐标为(3,4,3).点P的横坐标为点A横坐标的一半,纵坐标为点C纵坐标的一半,竖坐标与点D'的竖坐标相同,因此,点P的坐标为.

综上所述:C(0,4,0),B'(3,4,3),P.

★12如图,AF,DE分别是☉O,☉O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC是☉O的直径,AB=AC=6,OE∥AD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A,B,C,D,E,F的坐标.

解因为AD与两圆所在的平面均垂直,OE∥AD,

所以OE⊥平面ABC,

又因为AF⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,

所以OE⊥AF,OE⊥BC,

又因为BC是圆O的直径,所以OB=OC,

又因为AB=AC=6,所以OA⊥BC,BC=6,

所以OA=OB=OC=OF=3.

如图,以O为原点,以OB,OF,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,-3,0),B(3,0,0),C(-3,0,0),D(0,-

3,8),E(0,0,8),F(0,3,0).

★13如图,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.

(1)当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值;

(2)当点Q为棱CD的中点,点P在对角线AB上运动时,探究|PQ|的最小值;

(3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值.

由以上问题,你得到了什么结论,你能证明你的结论吗?

解设正方体的棱长为a.

(1)当点P为对角线AB的中点时,点P的坐标是.因为点Q在线段CD上,设Q(0,a,z),

|PQ|=

=.

当z=时,|PQ|的最小值为a,即点Q为棱CD的中点时,|PQ|有最小值 a.

(2)因为P在对角线AB上运动,Q是定点,所以当PQ⊥AB时,|PQ|最短.因为当点Q为棱CD的中点时,|AQ|=|BQ|,△QAB是等腰三角形,所以当P是AB的中点时,|PQ|取得最小值 a.

(3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,|PQ|的最小值仍然是 a.

证明如下:如图,设P(x,y,z1).由正方体的对称性,显然有x=y.设P在平面xOy上的射影是H.

在△AOB中,,所以,即有x=a-z1.则点P的坐标是(a-z1,a-z1,z1).

由已知,可设Q(0,a,z2),则