高考数学复习第04讲+必修4模块综合检测题+word版含解析

必修4模块综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．α是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( ) A ．sin α2 B ．cos α2 C ．tan α2D ．cos2α2．已知角α的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为( ) A ．(sin α，cos α) B ．(cos α，sin α) C ．(sin α，tan α)D ．(tan α，sin α)3．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4D ．84．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及△ABC 所在平面内一点P ，若0PA PB PC ++= ，若实数λ满足AB AC AP λ+=，则λ＝( )A.32 B ．3 C ．－1D ．25．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若320OA OB OC -+= ，则||||AB BC等于( )A.13B.12 C ．1D ．26．已知向量a ＝(sin α，cos α)，b ＝(cos β，sin β)，且a ∥b ，则α＋β等于( ) A ．0° B ．90° C ．135°D ．180°7．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A 为( ) A.153 B ．－53 C.53D ．－1538．若|a |＝2sin15°，|b |＝4cos15°，且a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值为( ) A.12 B.32 C. 3 D ．2 39．已知sin x ＋cos xsin x －cos x＝2，则sin x cos x 等于( )A.16 B ．±310 C ．－310D.31010．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R)，其中ω>0，－π<φ≤π，若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π， 0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 11.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝( )A ．2＋3B. 3 C.33D ．2－ 312．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设a ＝(log 2x,2)，b ＝(1，－1)，a ⊥b ，则x ＝______.14．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．15．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)，在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.16．对于函数f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，h (x )＝x ＋π3，有如下四个命题： ①f (x )－g (x )的最大值为2；②f [h (x )]在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数；③g [f (x )]是最小正周期为2π的周期函数；④将f (x )的图象向右平移π2个单位可得g (x )的图象．其中真命题的序号是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．(2)已知a ＝(3,1)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，求4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值．18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R)． (1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.19．(本小题满分12分)设α，β为锐角，且a ＝(sin α，－cos α)，b ＝(－cos β，sin β)．a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫66，22.求cos(α＋β)．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－32.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f (x )在一个周期内的图象．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＋2cos 2x ，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin2x 的图象经过怎样的变换得到？22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，点A (1,0)，B (cos θ，t )．(1)若向量a ⊥AB ，且||AB ＝5||OA，求向量OB ；(2)若向量a 与向量AB共线，求OB AB 的最小值．必修4模块综合检测题参考答案【第1题解析】∵2k π－2<α<2k π(k ∈Z)，∴k π－4<2<k π(k ∈Z)．∴2为第二或第四象限的角．∴tan α2<0.故选C .【第2题解析】设P 在x 轴上的射影为M ，由三角函数线，知点P 的横坐标OM ＝cos α，纵坐标MP ＝sin α，因此，点P 的坐标为(cos α，sin α)．故选B .【第5题解析】由已知，得(OA OB - )＋2(OC OB - )＝0，即2BA BC +＝0.∴2BA BC =- ，∴||||AB BC＝2.故选D. 【第6题解析】∵a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0，即cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝k π＋π2(k ∈Z)，令k ＝0，得α＋β＝π2.故选B.【第7题解析】∵sin2A ＝2sin A cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝sin 2A ＋2sin A cos A ＋cos 2A ＝1＋23＝53.又∵在△ABC 中，2sin A cos A ＝23>0，∴∠A 为锐角．∴sin A ＋cos A >0.∴sin A ＋cos A ＝153.故选A.【第8题解析】a ·b ＝|a ||b |cos30°＝2sin15°·4cos15°·cos30°＝2sin60°＝ 3.故选C.【第9题解析】由sin x ＋cos xsin x －cos x＝2，得sin x ＋cos x ＝2 (sin x －cos x )，两边平方，得1＋2sin x cos x ＝4(1－2sin x cos x )，∴sin x cos x ＝310.故选D .【第10题解析】∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，φ＝π3＋2k π(k ∈Z)．∵－π<φ≤π，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3，由函数图象，易得在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没有单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数，故选A.【第12题解析】在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 2，∴2cos 2A ＋B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形．故选C.2【第14题解析】在▱ABCD 中，AD BC= ，∴OD OA OC OB -=- ∴OD OA OC OB =+-＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0，－2)，即D 点的坐标为(0，－2)．故填 (0，－2)【第15题解析】观察易知T ＝－π3－(－π)＝2π3，∴2π|ω|＝2π3，又ω>0，∴ω＝3.故填3.学科*网【第16题解析】f (x )－g (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)≤2，故①为真命题；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，函数f [h (x )]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3为增函数，故②为真命题；函数g [f (x )]＝cos(sin x )的最小正周期为π，故③为假命题；将函数f (x )的图象向左平移π2个单位可得g (x )的图象，故④为假命题．故填①②. 【第17题答案】（1）－34；（2）57.【第17题解析】(1)∵tan α＝y x ＝－34，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.(2)∵a ∥b ，∴3cos α－sin α＝0，∴tan α＝3.4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α.把tan α＝3代入上式得4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57.【第18题答案】（1）x ＝－1，或x ＝3；（2）2 5.【第19题答案】－53.【第19题解析】由a ＝(sin α，－cos α)，b ＝(－cos β，sin β)，得a ＋b ＝(sin α－cos β，－cos α＋sin β)．又a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫66，22，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos β＝66，cos α－sin β＝－22.二式平方相加，得2－2sin(α＋β)＝23，∴sin(α＋β)＝23. 又α，β为锐角，且sin α>cos β，∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，∴α>π2－β⇒π2<α＋β<π.∴cos(α＋β)＝－1－sin 2 α＋β ＝－53. 【第20题答案】（1）π；（2）见解析.【第20题解析】(1)f (x )＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－32＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －32＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)列表：【第21题答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ；（2）见解析. 【第21题解析】(1)f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＋(1＋cos2x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由题意得2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z.(2)先把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32的图象．又|AB|＝5|OA |，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②解得t 2＝1，∴t ＝±1.若t ＝1，则cos θ－1＝2，cos θ＝3舍去；若t ＝－1，则cos θ－1＝－2，cos θ＝－1.∴点B 的坐标为(－1，－1)．∴OB＝(－1，－1)．(2)方法一：∵a ∥AB，∴2(cos θ－1)＋t ＝0，∴t ＝－2(cos θ－1)．③ OB AB ⋅＝(cos θ，t )·(cos θ－1，t )＝cos θ(cos θ－1)＋t 2，将③代入，得OB AB ⋅＝cos 2θ－cos θ＋4(cos θ－1)2 ＝5cos 2θ－9cos θ＋4＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－9102－120.当cos θ＝910时，OB AB ⋅ 的最小值为－120. 方法二：同上，可得cos θ＝－t2＋1，∴OB AB ⋅ ＝cos θ(cos θ－1)＋t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋t 2＝5t 24－t 2＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－25t ＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152－120.∴当t ＝15，即cos θ＝1－t 2＝910时，OB AB ⋅ 取得最小值－120.。