圆锥曲线

概念
01
焦点
02
准线03离Fra bibliotek率04
焦准距
06
弦和焦点弦
05
焦半径
定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点。
定义中提到的定直线称为圆锥曲线的准线。
固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与对应准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率。
焦点到对应准线的距离称为焦准距。
焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。
类似圆，圆锥曲线上任意两点之间的连线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。平行于准线的焦点弦称为通径， 物理学中又称为正焦弦。
（1）两条动直线交点为圆锥曲线上的某个定点
即从圆锥曲线上某一点引出两直线AC、AD，如果CD经过定点B，则kAC+kAD为定值。反之，如果已知kAC+kAD 为定值，也能推出CD经过某定点B。
斜率之和为定值如图，A为圆锥曲线上的定点，A'是A关于x轴的对称点。在过A‘的切线上找一点B，过B作割 线CD，连接AC、AD。这就有了两动直线AC、AD，其交点为圆锥曲线上的定点A，且经过定点B。
圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。
对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两 条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。
圆锥曲线是轴对称图形，对称轴为过焦点且与准线垂直的直线。在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦 点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称，因此椭圆和双曲线有 两条对称轴。
早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius，前262~前190）。 他与欧几里得是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之 作。
在《圆锥曲线》中，阿波罗尼总结了前人（柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线） 的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上， 又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余 地达千余年。
在射影平面内，两个不同中心的射影线束，其对应直线的交点的轨迹是一条圆锥曲线。两个不同底的射影点 列，其对应点的连线的包络是一条圆锥曲线。
所谓的射影线束是指，给定两个中心O、O'，从O和O'各自引出4条直线a、b、c、d和a’、b'、c'、d'。如 果这4条直线的交比对应相等，即(ab,cd)=(a'b',c'd')，那么称这两个线束互为射影线束。射影线束的对应直 线（上例中的a和a'，b和b'，c和c'，d和d'）的交点一定位于某圆锥曲线上。
判别法
设圆锥曲线的方程为，则令 ，和分别称为二次曲线不变量。
与直线斜率
斜率之积为定值
斜率之和为定值
斜率之比为定值
涉及到斜率之和为定值的，一定与调和点列有关，即在该类型的题目下一定能找出一组调和点列（调和线 束）。而在圆锥曲线中与调和点列相关的只有极点极线的内容，但由于高考大题不能使用极点极线的方法，所以 只通过该方法讲解原理，实际做题中需要用韦达定理或齐次化联立。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼 在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
历史
对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭。有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线： 设x、y为a和2a的比例中项，即，则，，，从而求得。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现 了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜 放置的圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方，杆 顶尖绘成不同的圆锥曲线。然而，日晷的发明在古代就已失传。
斜率之积为定值的题目则没有太大限制，因为在射影几何中，二次曲线的分类由二次曲线和无穷远直线的位 置来决定，即通过平移无穷远直线的方式可以让一条二次曲线变成椭圆（和无穷远直线相离）、抛物线（和无穷 远直线相切），或双曲线（和无穷远直线相交）。既然平移的是无穷远直线，二次曲线本身无变化，所以可以只 以椭圆来探讨其背后的道理。
图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。
证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面π′与π的交角为α，圆锥的母线（如PQ）与平面π的 交角为β。设P到平面π的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=α。因 为PE、PF同为圆球之切线，得PE=PF。
过B作圆锥曲线的另一条切线BE，切点为E，则A'E是B的极线。
又连接AB，交圆锥曲线于另一点I，连接CI（图中未画出），得到圆锥曲线的内接四边形AICD。设两组对边 分别交于B、J（J可以是无穷远点，即AD∥CI），对角线交于K，根据圆锥曲线内接四边形的调和性质可知JK是B 的极线，得到JEKA'共线。
圆是特殊的椭圆，即圆通过仿射变换可以变成椭圆，所以先研究圆。
（1）两条动直线交点为圆上的某个定点
斜率之积为定值如图，AB是圆的一条直径，从圆上的定点A引出两条弦AP、AQ。若PQ过AB上的定点M，则 kAPkAQ为定值。反之，若kAPkAQ为定值，则PQ经过定点M。
利用三角形面积公式，
。
当AB为x轴时，tanαtanβ恰好就是kAPkAQ。所以当M为定点时，左边比值为定值，所以右边kAPkAQ为定值。 反过来，当kAPkAQ为定值时，左边的比值也是定值，于是由定比分点坐标公式可知M为定点。
在笛卡尔平面上，二元二次方程的图像称为二次曲线。根据判别式的不同，包含了椭圆、双曲线、抛物线以 及各种退化情形。
（一）传统的焦点-准线统一定义 给定一点P，一直线l以及一常数e>0，则到P的距离与l距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。 根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下： ①e=1（即到P与到l距离相同），轨迹为抛物线； ②0 ③e>1，轨迹为双曲线。 该定义只适用于圆锥曲线的主要情形（椭圆、双曲线、抛物线），因而不能算是圆锥曲线的完整定义。但因 其形式简明美观，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质，而受青睐并广泛运用。 （二）一、二次曲线的统一定义 （《数学通报》2016.12期《一、二次曲线的轨迹统一及性质》一文中，我国中学数学教师胡新平将焦点-准线进行了推广，从而可以给出以下完整的一、二次曲线的统一定义） 平面上有两条互相垂直且相交于点E的直线l，m，点F是直线m上的一定点，|EF|=p，点N（称为参数点）是直 线
即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面π'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平 面π'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处）， 则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面π与π'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d 为准线。
如此则有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH
其中：PF/PR=sinα/sinβ为常数。
性质
椭圆、双曲线、抛物线各自的性质可参考相应词条，现给出一般圆锥曲线的性质。 定理一：平面内五个点，其中任意三个不共线，则经过这五个点的圆锥曲线有且只有一条。 定理一‘：平面内五条直线，其中任意三条不共点，则与这五条直线都相切的圆锥曲线有且只有一条。 定理二（帕斯卡定理）：内接于非退化的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）的六边形的三组对边交点 共线。 定理二‘（布里昂雄定理）：外切于非退化的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）的六边形的三条对角 线共点。 定理三（定理二的逆）：如果一六边形的三组对边交点共线，那么这个六边形内接于一圆锥曲线上。 定理三’（定理二‘的逆）：如果一六边形的三条对角线共点，那么这个六边形外切于一圆锥曲线上。 定理四（定理二的极限情况）：圆锥曲线的内接三角形，每个顶点的切线与其对边的交点共线。设△ABC内 接于一圆锥曲线，在点A处的切线为a，在点B处的切线为b，在点C处的切线为c。a和BC交于P，b和AC交于Q，c和 AB交于R，则PQR三点共线。
我们都知道，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的退化形式：两相 交直线，一条直线和一个点。
定义
几何观点 代数观点
焦点——准线及其推 广观点
射影观点
用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。 通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言： 1)当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 2)当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 3)当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 4)当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。 5)当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与 平面的交线）。 6)当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 7）当平面与二次锥面的两侧都不相交，且过圆锥顶点，结果为一点。 注意，上述曲线类中不含有二次曲线：两平行直线。
统一方程
平面直角坐标系内的任意圆锥曲线可用如下方程表示： 其中，α∈[0,2π)，p>0，e≥0。 ①e=1时，表示以F(g,h)为焦点，p为焦点到准线距离的抛物线。其中与极轴夹角α（A为抛物线顶点）。 ②01(g,h)为一个焦点，p为焦点到准线距离，e为离心率的椭圆。其中与极轴夹角α。 ③e>1时，表示以F2(g,h)为一个焦点，p为焦点到准线距离，e为离心率的双曲线。其中与极轴夹角α。 ④e=0时，表示点F(g,h)。 五点法求平面内圆锥曲线可以采用该统一方程。代入五组有序实数对，求出对应参数。 注：此方程不适用于圆锥曲线的其他退化形式，如圆等。 附：当e≠0时，F(g,h)对应准线方程：
同理，所谓的射影点列是指，给定两条底o、o'，在o和o'上各自取4个点A、B、C、D和A'、B'、C'、D'。如 果这4个点的交比对应相等，即(AB,CD)=(A'B',C'D')，那么称这两个点列互为射影点列。射影点列的对应点 （上例中的A和A'，B和B'，C和C'，D和D'）的连线一定与某圆锥曲线相切。
圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数 e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。其中当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆。
定点叫做该圆锥曲线的焦点，定直线叫做（该焦点相应的）准线，e叫做离心率。
起源
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线 ，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼斯采用 平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭 圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双 曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）。
圆锥曲线
数学术语
01 起源
目录
02 历史
03 定义
04 概念
05
冰淇淋定理（定义的 一致性）
06 性质
目录
07 统一方程
09 与直线斜率
08 判别法 010 定理介绍
011 漫谈
013 应用
目录
012 光学性质
圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。 起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。
Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。
Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化 的情形也适用）
Brianchon定理：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。
冰淇淋定理（定义的一致性）
由比利时数学家lin 1822年得出的冰淇淋定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。