山东省济南市市中区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

八年级期末学业质量检测
数学试题
第Ⅰ卷（选择题
共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）A ．
B ．
C ．
D ．0
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．满足下列条件中的，不是直角三角形的是（ ）
A ． ，，
B ．
C ．
D ． 4．下列计算正确的是（ ）A ．
B ．
C ．
D ． 5．已知一次函数的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6．已知二元一次方程组
，则的值为（ ）
A ．2
B ．6
C ．
D ． 7．若点
和
关于轴对称，则
的值为（ ）
A ．
B ．1
C ．
D ． 8．如图，在中，和的平分线交于点，连接，若cm ，cm ，
的面积为，则的面积为（
）
3.14
2
π
ABC △21a =22b =23c =A B C ∠-∠=∠::3:4:5A B C ∠∠∠=::7:24:25
a b c
=
=
=2
=32
÷=y kx b =+0,0
k b >>0,0
k b ><0,0
k b <>0,0
k b <<3531x y x y +=⎧⎨
+=⎩x y -2
-6
-()
11,2P a -()
23,1P b -x ()
2024a b +2024
3-202432024
5ABC △BAC ∠ABC ∠O OC 6AB =10BC =ABO △218cm BOC △
A ．
B ．
C ．
D ． 9．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的
坐标为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．一次函数
，，点是与轴围成的三角形内一点（含边
界），令，
的最大值为，则的值为（
）
A ．
B ．1
C ．
D ．2
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．）
11．9的算式平方根是______．
12．甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为米，方差分别为，，
则成绩笔记哦啊稳定的是______（填“甲”或“乙”）．
13．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组
的
解为______．
218cm 220cm 227cm 2
30cm ()
3,9A -B ()
10,6-()
10,7-()
9,6-()
9,5-1:24l y x =-+()2:0l y kx k k =->(),M a b 12,l l x S a b =+S 52
k 1
23
2
9.520.2S =甲20.03S =乙3y x =-+y mx n =+x y 、3y x y mx n
=-+⎧⎨
=+⎩
14．如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交于点，连接．若，则的长为______．
第14题
15．如图，在一个长方形草地上放着一根长方体木块，其中m ，m ，该木块较长的边和场地宽
平行，横截面是边长为2m 的正方形，若点处有一只蚂蚁，它从点出发，爬过木块到达点处去吃
面包碎，则它需要走的最短路程是______m ．
第15题
16．如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分8分）计算：（1
．
（2
．
18．
（本小题满分6分）解二元一次方程组
19．（本小题满分
6分）已知：如图，，．求证：．
Rt ABC △90C ∠=︒30A ∠=︒AB ,AC AB ,D E BD 4CD =AD 6AB =5AD =AD A A C Rt ABC △90B ∠=︒6AB =D AB 2BD =E AC DE DE D 90︒DF ,AF BF AF BF ++236
x y x y -=⎧⎨
+=⎩90A D ∠=∠=︒AC BD =OB OC =
20．（本小题满分6分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．
（1）将向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
．画出平移后得到的
；
（2）将绕着点顺时针旋转，旋转后得到的，则点的坐标为______；点的坐标
为______．
21．（本小题满分8分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今年3月5号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次后动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题：
图1图2
（1）本次共抽取了______名学生的捐款；（2）补全条形统计图；
（3）本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元；（4）求本次抽取样本学生捐款的平均金额．
22．（本小题满分8分）某教育科技公司销售两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
A
B
进价（万元/套）
3
ABC △ABC △111A B C △111A B C △ABC △A 90 22AB C △2B 2C ,A B 2.4
售价（万元/套）
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该公司计划购进两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进种多媒体套
，当把
购进的两种多媒体全部售出，求为何值时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
23．（本小题满分10分）现有两种品牌的共享电动车，收费（元）与骑行时间（min ）之间的函数关系如图所示，品牌收费为
，品牌收费为．
（1）直接写出品牌收费方式对应的函数关系式为______；（2）求品牌在当时间段内，与之间的函数关系式；（3）当时，求出两种收费相差元时的值．
24．（本小题满分10分）
如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究．
图1
（1）【概念理解】如图2，在四边形中，，
，则四边形______
（填“是”或“不是”）垂美四边形．
图2
3.3 2.8
,A B ,A B ,A B A m ()1020m ≤≤m ,A B y x A 1y B 2y A B 10x >y x 10x >0.5x ABCD AB AD =CB CD =ABCD
（2）【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
（3）【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知
，，请直接写出的值．
图3
25．（本小题满分12分）
如图，一次函数分别与坐标轴交于两点，分别与坐标轴交于两点，，两直线
交于点；
（1）求的值及点坐标；
（2）点在直线上，连接，若
，求出点坐标；
（3）点在坐标轴上，点在直线上，若线段被直线垂直平分，请直接写出点坐标．
（备用图）
26．（本小题满分12分）数学课上，老师提出一个问题：如图1，已知等腰直角，，等腰直角，，连接，是中点，连接，，请探究线段，之间的关系．
小明通过思考，将此探究题分解出如下问题，逐步探究并应用．请帮助他完成：
（1）如图1，延长至，使得，连接，线段与线段的数量关系为______，位置关系为______
；
ABCD AC BD 、O AC BD ⊥ABCD 2222AB CD AD BC +=+Rt ABC △AC AB ACE ABD 90BAD CAE ∠=∠=︒AB AD =AC AE =,,CD BE DE 3BC =4AC =DE 4y x =-+,A B ,C D ()2,0C -E k E P CD OE POE BOE S S =△△P M N CD MN AB N ABC △AB AC =CDE △DC DE =BE F BE AF DF AF DF AF A 'AF A F '=A E 'AB A E '
（2）如图2，延长交延长线于点，连接，．小明的思路是先证明，进而得出与的关系，再继续探究．请判断线段，之间的关系，并根据小明的思路，写出完整的证明过程．
（3）方法运用：如图3，等边与等边，点在外部．，
，连接，点为中点，连接，，若，请直接写出的值．
图1图2图3
八年级数学期末阶段性测试答案
一、选择题
1—5
CBCBD
6—10
ACDBD
二、填空题
11．3
12．乙
13．
14．815．
16．
三、解答题
17．（8分）（1
．
解：原式．
（2
．
18．
（6分）解二元一次方程组
．解：
，①＋②，得，解得，
把代入②，得，故原方程组的解为
．
19．证明：∵，，
，∴
ED BA G
AD A D 'ACD A ED '≌△△AD A D 'AF DF ABC △DEC △,D E ABC △4AB =DE =BD F BD AF BE 3AF =BE 12
x y =⎧⎨
=⎩+44=-=+3241
=+=+-=236
x y x y -=⎧⎨
+=⎩236x y x y -=⎧⎨
+=⎩①
②
39x =3x =3x =3y =33
x y =⎧
⎨
=⎩90A D ∠=∠=︒AC BD =BC BC =()
Rt Rt HL BAC CDB ≌△△
∴．∴（等角对等边）．20．解：
（1）
如图所示，即为所求．
（2）点
的坐标为；点的坐标为．
21．解：（1）50
（2）（人）或（人）
补全图形如下：
图1
（3）众数是10元；中位数是15元；（4）元，
答：本次抽取样本学生捐款的平均金额16元．
22．解：（1）设购进种多媒体套，种多媒体套，由题意可得：，解得，
答：购进种多媒体20套，种多媒体30套；（2）设利润为元，由题意可得：
，
∴随的增大而减小，
ACB DBC ∠=∠OB OC =111A B C △2B ()4,2-2C ()1,3-5041610812----=5024%12⨯=()1
451610121510083016
50
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=A a B b 503 2.4132a b a b +=⎧
⎨
+=⎩2030
a b =⎧
⎨
=⎩A B W ()()()3.33 2.8 2.4500.120
W m m m =-+-⨯-=-+W m
∵，
∴当时，取得最大值，此时，
答：购进种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．23．解：（1）
；
（2）品牌在当时间段内，设与之间的函数关系式为，
∵点
，在该函数图象上，
∴，解得，即品牌在当时间段内，与之间的函数关系式是；
（3）当时，，解得：；
当
时，，解得：；
由上可得，在15分钟或25分钟时，两种收费相差元．24．（1）是（2）正确
∵，∴，由勾股定理得：
，，
∴；（3）
25．（1）将
代入，，
，
，
（2）方法一：过点作交于，∴．点即为所求；
∵
，∴．∵，∴，代入，
1020m ≤≤10m =W 19W =A 10.2y x =B 10x >y x 2y ax b =+()10,3()20,4103204
a b a b +=⎧⎨
+=⎩0.12
a b =⎧
⎨
=⎩B 10x >y x 20.12y x =+210.5y y -=0.120.20.5x x +-=15x =120.5y y -=()0.20.120.5x x -+=25x =0.5AC BD ⊥90AOB BOC COD AOD ∠=∠=∠=∠=︒222222AB CD AO BO CO DO +=+++222222AD BC AO DO BO CO +=+++2222AB CD AD BC +=
+DE =()
2,0C -1y kx =+021k =-+12
k =
4112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩
()
2,2E B BP OE ∥CD P POE BOE S S =△△P ()
2,2E :OE y x =BM OE ∥:BP y x b =+()
0,4B
∴．联立，∴
同理∵为中点，∴
．作交于，
∴，．方法二：∵
，∴若点在左侧，
，令，
∴
，
，，∴∴，∴
．
同理，若点在右侧，，（3）
25．（1），（2），证明：∵，∴由四边形内角和为，∴由（1），∴，∴由（1），，∴．∴，∵是中点，∴∵，，∴
．
:4BP y x =+4112
y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩()
6,2P --E AB AOE BOE S S =△△AP OE '∥CD P ':4BP y x '=-()
10,6P '112
y x =+()0,1D P OE POE POD DOE BOE S S S S =+=△△△△1,12P m m ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
1EOD S =△12
DOP
S m
=-△4BOE S =△1
142m -=6m =-()
6,2P --P OE P OE P OD DOE BOE S S S S ''=-=△△△△()
10,6P '()16,4N ()
24,3N AB A E '=AB A E '∥AF DF =AF DF
⊥90BAC CDE ∠=∠=︒90GAC CDG ∠=∠=︒ABCD 360︒180ACD AGD ∠+∠=︒
AB A E '∥180A ED AGD '∠+∠=︒A ED ACD '∠=∠A E AB AC '==CD DE =ACD A ED '≌△△AD A D '=ADC A DE '∠=∠F AA 'DF AF
⊥90CDE ∠=︒90ADA CDE A DE ADC ''∠=∠-∠+∠=︒DF AF =
11（3）思路：如图构造（1）中的基本图形：以为底边构造顶角为的等腰．则与是共底角顶点的两个等腰三角形，且底角互余．依据（1）（2）可得结论，且
．
CD 120︒GCD △ABC △GCD △C AF GF
⊥AF =。