平面向量中范围、最值等综合问题(原卷版)高考数学选填压轴题 第8讲

第8讲平面向量中范围、最值等综合问题

一．方法综述

平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．

二．解题策略

类型一

与向量的模有关的最值问题

【例1】已知向量a ，b ，c

满足4a = ，22b = ，,4

a b π= ，()()

1c a c b -⋅-=- ，则c a - 的最

大值为（）

A ．12

+B ．122

+

C ．

212

+D ．

212

+【来源】浙江省台州市仙居县文元横溪中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题【举一反三】

1．平面上的两个向量OA 和OB ，||cos OA α= ，||sin OB α=

，0,2

απ⎡∈⎤

⎢⎥⎣⎦

，0OA OB ⋅=

若向量

OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，且2222

1(21)cos (21)sin 4

λαμα-+-=，则||OC 的最大值为（

）A ．32B ．34C ．35D ．

37

2.（2020·浙江高考模拟）已知平面向量,a b 不共线，且1a = ，1a b ⋅= ，记b 与2a b + 的夹角是θ，则θ最大时，a b -=

（

）A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

3.已知向量,,a b c 满足4,22,a b == a 与b 的夹角为4

π,()()1c a c b -⋅-=-

,则c a - 的最大值

为.

类型二

与向量夹角有关的范围问题

【例2】已知向量→

OA 与→

OB 的夹角为θ,→

→

→

→

→

→

→

-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最

小值,当01

05

t <<时,夹角θ的取值范围为________________.【举一反三】

1.已知非零向量,a b 满足,在R 上存在极值,则a 和b 夹角

的取值范围为

2.非零向量b a ,满足b a ⋅2=22b a ，2||||=+b a ，则b a

与的夹角的最小值是

．

3.已知向量

与

的夹角为，

，

，

，

，

在

时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.

类型三

与向量投影有关的最值问题

【例3】（2020天津模拟）设1,2OA OB == ，0OA OB ⋅= ，OP OA OB λμ=+

，且1λμ+=，则OA 在OP

上的投影的取值范围(

)

A.25-,15⎛⎤

⎥

⎝⎦

B.25,15⎛⎤

⎥

⎝⎦ C.5,15⎛⎤

⎥

⎝⎦

D.5-,15⎛⎤

⎥

⎝⎦

【举一反三】

设2OA = ，1OB =uu u r ，0OA OB ⋅= ，OP OA OB λμ=+ 且1λμ+=，则向量OA 在OP

上的投影的取值

范围（

）

A ．45,25⎛⎤- ⎥

⎝⎦

B ．,25⎤

⎥⎝⎦

C ．25,25⎛⎤

- ⎥ ⎝⎦D ．25,25⎛⎤

⎥

⎝⎦

【来源】黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟数学（理）试题2．（2020·北京高考模拟）在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=

3π，2

ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ 在BC

方向上投影的最大值是（

）

A ．

1

3

B ．

12

C ．

3

D ．

23

类型四与平面向量数量积有关的最值问题

【例4】（2020·天津高考模拟）已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =

，

2

3

AE BD ⋅=- ，则AF EF ⋅ 的最小值为（

）

A ．23

-

B ．43

-

C ．15275

-

D ．7336

-

【举一反三】

1．（2020·四川高考模拟）已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME FM ⋅

的最大值为（）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2、（2020辽宁省鞍山市高三一模）

中，

，

，

，且

，则

的最小值等于

A．B．C．D．

3．如图，,C D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知2AB =，则•AC BD

的最大值是

A ．

1

2

B -

C ．

22

D 1

-类型五

平面向量系数的取值范围问题

【例5】（2020·河南高考模拟）在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =

，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB = ，(0,0)AN nAC m n =>>

，则2m n +的最小值为（

）

A ．3

B ．4

C ．

8

3

D ．

103

【举一反三】

1．（2020·安徽高考模拟）已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且

AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u

r u u u r ，(),0x y >，则3x y +的最小值是(

)

A ．

83

B ．

72C ．5

2D ．432．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=

，cos b c A =⋅，ABC 的面积为6，若P 为线段AB 上的点（点P 不