不等式知识点梳理及经典例题及解析

不等式
【考纲说明】
考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． （1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │
【知识梳理】
1. 不等式的基本概念
一、不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- 二、不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. 三、同向不等式与异向不等式.
四、同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质
（1）a b b a <⇔>（对称性）
（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）
（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）
（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.
（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）
（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）
(9)0,0a b a b c d c d
>><<⇒
>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b
>>⇒
<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么
.2
a b +（当仅当a=b 时取等号）
极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：
○
1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小；
○
2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等
.
,3
a b c a b c R +++∈(4)若、、则
a=b=c 时取等号） 0,2b a
ab a b
>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）
2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或
（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么
2
112a b
a b
+≤+（当仅当
a=b 时取等号）即：平方平均
≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，222(
)22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，22
2()22
a b a b ab ++==）
),,,(332
222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：2212
22
21)...(1
...n n a a a n
a a a +++≥+++ 注：例如：2
2
2
2
2
()()()ac bd a b c d +≤++.
常用不等式的放缩法：①2111
1111
(2)1(1)
(
1)1n n n n n n n n n
n
-=
=-≥++--
111)2n n
n n =
=≥+-
（2）柯西不等式： 时取等号
当且仅当（则
若n
n n n n n n n b a b a b a
b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 3322112
23222122322212332211321321)
)(();,,,,,,,,
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有
12121212()()
()()(
)(
).22
22
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或
则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；
②一元二次不等式ax 2
+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0()
()
0()()0;0()0
()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解
1
()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫
⇒⎪⎬≥⎨⎭
⎪>⎩
定义域
○2
⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0
)(0)()]
([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2
)]
([)(0
)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式
()()()()()(1)()();
(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>
（5）对数不等式：转化为代数不等式
()0
()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪
⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩
⎩
（6）含绝对值不等式
○
1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化 ⎩
⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)
()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124
(1)2(1)(1)()22327
x x x x x -=
⋅--≤=
②2222
2
32(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤
类似于2
2
sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2
x x x x x x
+=+≥与同号，故取等
【经典例题】
[例1] 如果kx 2
+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿.
A. －1≤k ≤0
B. －1≤k<0
C. －1<k ≤0
D. －1<k<0
错解：由题意：⎩⎨⎧<+-⋅-<0
)]2([4)2(0
2
k k k k 解得：－1<k<0
错因：将kx 2+2kx －(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k ＝0的情况.
正解：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴ k ＝0符合题意.
当k ≠0时，由题意：⎩⎨
⎧<+-⋅-<0
)]2([4)2(0
2
k k k k
解得：－1<k<0
∴ 01≤<-k ，故选C.
[例2] 命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿
A.(4,)+∞
B.[)4,+∞
C.(,4)-∞-
D.(],4-∞-
错解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4，
又由（x ＋2）(x ＋a)=0得x=－2或x ＝－a,
A 是
B 的充分不必要条件,
∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a }
∴－a>4故选D.
错因：忽略了a ＝－4时，{x|－2＜x ＜4}＝{x|－2＜x ＜－a }，此时A 是B 的充要条件，不是充分不必要条件. 正解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4，
又由（x ＋2）(x ＋a)=0得x=－2或x ＝－a,
A 是
B 的充分不必要条件,
∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a }
∴－a>4故选C.
[例3]已知f(x) = a x + x b
，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围.
错解： 由条件得⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤≤+≤-62230
3b
a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32
338-≤≤-
b ④ ③+④得 .3
43
)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即
错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b
x
ax x f +
=)(，其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.
正解： 由题意有⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f ,
解得：)],2()1(2[32
)],1()2(2[31f f b f f a -=-=
).1(9
5)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337
)3(316≤≤f
[例4] 解不等式（x+2）2
(x+3)(x －2)0≥
错解： （x+2）20≥
∴原不等式可化为：(x+3)(x －2)0≥
∴原不等式的解集为｛x| x ≤ －3或x 2≥｝
错因:忽视了“≥”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.
正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x －2)0= ①或（x+2）2(x+3)(x －2)0>②，
解①得：x=－3或x ＝－2或x ＝2 解②得：x ＜ －3或x ＞2
∴原不等式的解集为｛x| x ≤ －3或x 2≥
或x 2-=｝
[例5] 解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>- 解：将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>-
讨论：当b a >时，b
a b a ab x -+>
)
(
当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时R x ∈ 当b a <时，b
a b a ab x -+<
)
(
点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.
[例6]关于x 的不等式02
<++c bx ax 的解集为}2
12|{->-<x x x 或 求关于x 的不等式02
>+-c bx ax 的解集． 解：由题设知 0<a ，且2
1
,2=-=x x 是方程02=++c bx ax 的两根 ∴2
5-=-
a b ， 1=a c
从而 02
>+-c bx ax 可以变形为02
<+-a
c
x a b x 即：01252
<+-
x x ∴22
1
<<x 点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用. [例7]（06年高考江苏卷）不等式3)61
(log 2≤++
x
x 的解集为
解：∵3)61(log 2≤++x x ，∴0＜168x x ++≤，∴ 12160
x x x x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩
∴⎪⎩⎪⎨
⎧>+-<<--=<0
x 2232231
,0或或x x x
解得{}(331x ∈---+⋃
【课堂练习】
1．（2007湖南理）不等式
2
01x x -+≤的解集是_________ 2.（2006安徽文）不等式11
2
x <的解集是__________
3.（2004全国卷Ⅱ文）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2
－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝_____
4．（2005重庆理）若x ，y 是正数，则22)21
()21(x
y y x +++的最小值是 5．(2008江西文)不等式224
122
x x +-≤的解集为 _________
6．（2004重庆文）已知53
2,(0,0)x y x y
+=>>,则xy 的最小值是___________
7．（2006江西文、理）若不等式2
10x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，成立，则a 的最小值为___
8.（2007福建文、理)已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤≤-≥+,
30,2,2y y x y x 则z ＝2x －y 的取值范围是_______
9.函数04
23
2
2<++-++x x m mx mx ，对于R x ∈恒成立，求m 的取值范围____________ 10.已知正数b a ,满足1=+b a ，求ab
ab 1
+的最小值_____________
【课后作业】
一、选择题
1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2
＞b 2
（B ）
a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2
1)b
2、下列不等式中成立的是 ( )
（A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）
a 1
+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b
1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a
t (t ＞0,a ＞0,a ≠1)
3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11
)(1122--b
a 的最小值为 ( )
(A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9
4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3
(a ,b ∈R );
(3) a 2+b 2
≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个
5、f (n ) = 12+n －n , ϕ(n )=
n
21
, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )<g (n ) <ϕ(n ) (B ) f (n )<ϕ(n )<g (n ) (C ) g (n )<ϕ(n )<g (n ) (D )g (n )<f (n )<ϕ(n )
6、设x 2+y 2
= 1, 则x +y ( ) (A ) 有最小值1 (B ) 有最小值2 (C )有最小值－1 (D ) 有最小值－2
7、不等式|x ＋5|＞3的解集是 ( ) (A){x|－8＜x ＜8} (B){x|－2＜x ＜2}
(C){x|x ＜－2或x ＞2＝ (D){x|x ＜－8或x ＞－2＝
8、若a ，b ，c 为任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是 ( )
(A)ac ＞bc (B)|a ＋c|＞|b ＋c| (C)a 2＞b 2
(D)a ＋c ＞b ＋c
9、设集合M={x|
13-+x x ≤0},N={x|x 2
+2x-3≤0},P={x|322)2
1(-+x x ≥1},则有 ( ) （A ）M ⊂N=P （B ）M ⊂N ⊂P （C ）M=P ⊂N （D ）M=N=P
10、设a,b ∈R,且a+b=3,则2a
+2b
的最小值是 ( ) （A ）6 （B ）42 （C ）22 （D ）26 11、若关于x 的不等式ax 2
＋bx －2＞0的解集是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∞-,3121, ，则ab 等于( ) (A)－24 (B)24 (C)14 (D)－14
12、如果关于x 的不等式(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4＜0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ( ) (A)]2,(-∞ (B))2,(--∞ (C)]2,2(- (D)(－2,2) 13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x) ≥0的解集为Φ，则不等式
0)
()
(>x g x f 的解集是 ( )
(A) Φ (B)+∞-∞,2()1,( ) (C)[1，2] (D)R
14、
2
2+>+x x
x x 的解集是 ( ) (A ) (－2,0) (B ) (－2,0) (C ) R (D ) (－∞,－2)∪(0,+ ∞) 15、不等式3
3
3
1>
--x
的解集是 ( ) (A ) (－∞,1) (B ) (
43,1 ) (C ) (4
3
,1) (D ) R 二、填空题
1、若x 与实数列a 1,a 2,…,a n 中各数差的平方和最小,则x=________.
2、不等式x
x
x
1
2
1log 〈的解集是________. 3、某工厂产量第二年增长率是p 1,第三年增长率是p 2,第四年增长率是p 3且p 1＋p 2＋p 3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.
4、a ≥0,b ≥0,a 2
＋2
2
b =1,则a 21b +的最大值是________.
5、若实数x 、y 满足xy ＞0且x 2y=2,则xy ＋x 2
的最小值是________.
6、x ＞1时，f(x)=x ＋
1
1612
++x x
x 的最小值是________，此时x=________.
7、不等式log 4(8x －2x
)≤x 的解集是________. 8、不等式
3
21
141-〉-x
x 的解集是________. 9、命题①：关于x 的不等式(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4＜0对x ∈R 恒成立;命题②：f(x)=－(1－3a －a 2)x
是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a 的取值范围是________. 10、设A={x|x ≥x
1
,x ∈R},B={x|12+x ＜3,x ∈R ＝,则D=A ∩B=________. 三、解答题
1、解不等式：1
211
922+-+-x x x x ≥7.
2、解不等式：x 4
－2x 3
－3x 2
＜0. 3、解不等式：
6
55
92+--x x x ≥－2.
4、解不等式：2269x x x -+-＞3.
5、解不等式：232+-x x ＞x ＋5.
6、若x 2＋y 2
=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。

7、若x,y ＞0，求
y
x y x ++的最大值。

8、已知关于x 的方程x 2
＋(m 2
－1)x ＋m －2=0的一个根比－1小，另一个根比1大， 求参数m 的取值范围。

9、解不等式：log a (x ＋1-a)>1. 10解不等式38->-x x .
【参考答案】
典型例题答案 1.(12]-， 2.()0,∞-⋃(2,)+∞ 3.{x |－1＜x ＜2} 5. {x|-3≤x ≤1} 6.__15 7.52-
8. [-5,7 ] 9.(]0,∞- 10.2
5
课后作业答案
一、DADCB DDDAB BCBAB 二、1、
n 1(a 1＋a 2＋…＋a n ) 2、0＜x ＜1或x ＞2 3、3
m
4、423
5、3
6、8,2＋3
7、(0,2
5
1log 2+) 8、0＜x ＜log 23 9、-3＜x ≤2 10、－
2
1
≤x ＜0或1≤x ＜4 三、1、[－21,1]∪(1,3
4
) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞) 4、(0,3)
5、(－∞,－13
23
) 6、1， 43 7、2 8、－2＜m ＜0
9、解：(I)当a>1时，原不等式等价于不等式组：⎩
⎨⎧>-+>-+.101a a x a x ，
解得x>2a-1.
(II)当0<a<1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨
⎧<->-+.101a a x a x ＋
，
解得：a-1<x<2a-1.
综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>2a-1}；
当0<a<1时，不等式的解集为{x|a-1<x<2a-1}.
10、原不等价于不等式组(1)⎪⎩
⎪
⎨⎧->-≥-≥-2
)3(8030
8x x x x 或(2)⎩⎨⎧<-≥-0308x x
由(1)得2
21
53+<
≤x ， 由(2)得x ＜3， 故原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+<
2215|x x。