(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第六章 平面向量与复数单元小练 文

单元小练6 平面向量与复数一、填空题
1．若向量BA=(1，2)，CA=(4，5)，则BC= .
2．设i是虚数单位，复数
i
2-i
a
是纯虚数，则实数a= ．
3．若(1+2ai)·i=1-bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则|a+bi|= ．
4．已知复数z1=m+2i，z2=3-4i，若
1
2
z
z
为实数，则实数m的值为．
5．在△ABC中，点P在BC上，且BP=2PC，点Q是AC的中点，若PA=(4，3)，PQ=(1，5)，则BC= ．
6．已知|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，那么a与b的夹角等于．
7．已知A，B是以C
|AB
AC·CB= ．
8．已知平面向量m，n的夹角为π
6，且|m
|n|=2，在△ABC中，AB=2m+2n，AC=2m-
6n，D 为BC的中点，则|AD|= ．
9．如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足
AE=m AB AF
，=n AC，其中m，n∈(0，1)，m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则|MN|的最小值为．
(第9题) 10．在△A BC中，已知A=60°，M是AB的中点，若AB=2，
D在线段AC上运动，则下面
结论正确的是.(填序号)
①△ABC是直角三角形；②DB·DM的最小值为23 16；
③DB·DM的最大值为2；④存在λ∈[0，1]，使得BD=λBA+(1-λ)BC.
二、解答题
11．已知复数z1=
3
5
a++(10-a2)i，z
2=
2
1-a+(2a-5)i，若1z+z
2是实数，求实数
a的值.
12．在平面直角坐标系x O y中，已知点A(1，4)，B(-2，3)，C(2，-1).
(1)求AB·AC及|AB+AC|；
(2)设实数t满足(AB-t OC)⊥OC，求t的值.
13．设平面向量a=(cos x，sin x)，b
=
1
2
⎫
⎪⎪
⎝⎭
，
，函数f(x)=a·b+1.
(1)求函数f(x)的值域及单调增区间；
(2)当f(α)=9
5，且
π
6<α<
2π
3时，求sin
2π
2
3
α
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭的值.
【单元小练答案】
单元小练6 平面向量与复数
1. (-3，-3) 【解析】因为CA =(4，5)，
所以AC =(-4，-5)，BC =BA +AC =(1，2)+(-4，-5)=(-3，-3).
2. 12 【解析】复数i 2-i a +=(i)(2i)(2-i)(2i)a +++=2-1(2)i 5a a ++，因为复数i
2-i a +是纯虚数，所以a =1
2.
3. 【解析】由复数的概念，可知实部与实部相等，虚部与虚部相等，因为
(1+2ai )·i =1-bi ，所以-2a +i =1-bi ，所以a =-12，b =-1，所以|a +bi |=1--i
2
=.
4. -3
2 【解析】12z z =2i 3-4i m +=(2i)(34i)(3-4i)(34i)m +++=(3-8)(46)i 25m m ++，因为12z z 为实数，所
以4m +6=0，解得m =-3
2.
5. (-6，21) 【解析】根据题意画出图形如图所示，由题知2PQ =PC +PA ，即2(1，5)=PC +(4，3)，解得PC =(-2，7)，则BC =3PC =(-6，
21).
(第5题)
6. 120° 【解析】设向量a 与b 的夹角为θ.因为c =a +b ，且c ⊥a ，所以c ·a =0，即
(a +b )·a =0，展开得a ·a +a ·b =0，整理得1+1×2×cos θ=0，解得cos θ=-1
2，故向量a 与b
的夹角为120°.
7. -5
2 【解析】因为|AB
r ，所以∠ACB=60°，AC ·CB =-CA ·CB =-|CA |·|CB |cos ∠ACB=
cos 60°=-5
2.
8. 2 【解析】因为AD =1
2(AB +AC )=2(m -n )，
所以|AD
9. 【解析】在△ABC中，连接AM ，AN ，则有MN =AN -AM AN ，
=12(AB +AC )，AM =12(AE +AF )，则MN =12(AB +AC -AE -AF )=1-2m AB +1-2n AC
，所以
|MN |2=2(1-)4m +2(1-)4n +(1-)(1-)4m n .又m +n =1，所以|MN |2=2-14m m +=2
11-42m ⎛⎫ ⎪⎝
⎭+3
16，所以当m =12时，|MN |
取得最小值
.
(第9题)
10. ①②④【解析】①设AC=x，则由余弦定理得
2=22+x2-2×2×x×cos 60°，即
12=4+x2-2x，所以x2-2x-8=0，解得x=4或x=-2(舍去)，所以AC=4，所以B=90°，即△ABC是直角三角形，所以①正确.②将R t△ABC放入平面直角坐标系中，如图，则B(0，0)，A(0，2)，
M(0，1)，
0)，则AC
-2)，设AD=m AC
，-2m)，0≤m≤1，
D(x，y)，则(x，y
，-2m)，解得x
，y=2-2m，即
，2-2m)，则
DB
，2m-2)，DM
，2m-1)，所以DB·DM
=
2
)+(2m-2)(2m-
1)=16m2-6m+2=16
2
3
-
16
m
⎛⎫
⎪
⎝⎭+
23
16，所以当m=
3
16时，DB·DM取得最小值为
23
16，所以②正
确.③由②知DB·DM=16m2-6m+2=16
2
3
-
16
m
⎛⎫
⎪
⎝⎭+
23
16，因为0≤m≤1，所以当m=1时，
DB·DM取得最大值为16-6+2=12，所以③错误.④因为BD
，2-2m)，BA=(0，
2)，BC
0).
若BD=λBA+(1-λ)BC，则
，2-2m)=λ(0，2)+(1-λ
0)
，即
(1-
2-22
m
λ
λ
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩，
解得
1-
1-
m
m
λ
λ
=
⎧
⎨
=
⎩
，
，
此时λ=1-m.因为0≤m≤1，所以0≤λ≤1，即存在λ∈[0，1]，使得BD=λBA+(1-λ)BC.所以④正确
.
(第10题)
11. 1
z
+z2=
3
5
a++(a2-10)i+
2
1-a+(2a-5)i
=
32
51-
a a
⎛⎫
+
⎪
+
⎝⎭+[(a2-10)+(2a-5)]i
=-13
(5)(-1)a a a ++(a 2
+2a -15)i .
因为
1z +z 2
是实数，
所以a 2
+2a -15=0，解得a =-5或a =3.
又(a +5)(a -1)≠0，所以a ≠-5且a ≠1，故a =3.
12. (1) 因为A(1，4)，B(-2，3)，C(2，-1).
所以AB =(-3，-1)，AC =(1，-5)，AB +AC =(-2，-6)，
所以AB ·AC =-3×1+(-1)×(-5)=2，|AB +AC
.
(2) 因为(AB -t OC )⊥OC ，所以(AB -t OC )·OC =0，即AB ·OC -t 2
OC =0.
因为AB ·OC =-3×2+(-1)×(-1)=-5，2
OC =22+(-1)2
=5，所以-5-5t =0，所以t =-1.
13. 依题意，f (x
)=cos x +12sin x +1=sin
π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+1. (1) 函数f (x )的值域是[0，2].
令2k π-π2≤x +π3≤2k π+π2，k ∈Z ，解得2k π-5π6≤x ≤2k π+π
6，
所以函数f (x )的单调增区间为5ππ2π-2π66k k ⎡⎤+⎢⎥⎣
⎦，(k ∈Z ). (2) 由f (α)=sin π3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭+1=95，得sin
π3α⎛⎫+ ⎪
⎝⎭=45， 因为π6<α<2π3，所以π2<α+π
3<π，
所以cos
π3α⎛⎫+ ⎪
⎝⎭=-35， 则sin 2π23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin π23α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=2sin π3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos
π3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-2425.。