2020年高考数学(理)之高频考点解密01 集合(解析版)

解密01集合
考点1 集合的含义及集合间的基本关系
题组一集合的含义
调研1 方程2280
+-=的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数
x x
+-=和方程2120
x x
为
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
-，根据集合中元【解析】由题意，方程2280
+-=的两根为4,3
x x
x x
+-=的两根为2,4-，方程2120
素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素，故选C．
【名师点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及元素的基本特征，其中解答中熟记集合中元素的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
☆技巧点拨☆
解决集合概念问题的一般思路
（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．
常见的集合的意义如下表：
（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.
题组二求集合的子集
调研2 若x A
∈，则
1
A
x
∈，就称A是和美集合，集合
11
1,0,,,1,3
23
M
⎧⎫
⎨
=
⎩
-⎬
⎭
的所有非空子集中是和美集合的个数为
A．4B．5
C．6D．7
【答案】D
【解析】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有{}{}
1,1,
-
再考虑含有两个元素的和美集合，有{}
1
1,1,,3
3
⎧⎫
-⎨⎬
⎩⎭
，
含有三个元素的子集且为和美集合的是
11
1,,3,1,,3,
33
⎧⎫⎧⎫
-⎨⎬⎨⎬
⎩⎭⎩⎭
含有四个元素的子集且为和美集合的是
1
1,1,,3
3
⎧⎫
-⎨⎬
⎩⎭
.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题. 题组三 由集合关系求参数的取值范围
调研3 已知集合{
}{
}
2
2
0,430A x x ax B x x x =-==++=，若A B U 所有子集的个数为8，则a 可能的取值组成的集合为 A ．{}1,3-- B ．{}0,1,3--
C ．{}0,3-
D ．{}0,1-
【答案】B
【解析】因为A B U 所有子集的个数为8，所以A B U 有3个元素， 又{}1,3B =--，集合A 的一个元素为0， 故a 可能的取值为0,1,3--， 所以组成的集合为{}0,1,3--. 故选B.
【名师点睛】本题主要考查集合的化简和集合的子集的个数的求法，考查元素与集合，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
☆技巧点拨☆
集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：
(1)求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n
个，真子集个数为21n
-个，非空真子集个数为22n
-个.
(2)根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.
考点2 集合的基本运算
题组一 离散型或连续型数集间的交、并、补运算
调研1 已知集合()(){}
310A x x x =-+<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2
C ．{}1,0,1,2-
D ．{}0,1,2,3
【答案】B
【解析】由题意，集合()(){}
310{|13}A x x x x x =-+<=-<<，{}1,0,1,2,3B =-， 则{0,1,2}A B =I ，故选B ．
【名师点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合A ，利用集合的交集准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
调研2 已知全集U =R ，集合{|7}A x x =∈<N ，{
}
2
|450B x x x =--≥，则()
U A B I ð的元素个数为 A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】{}{|7}
0123456A x x ==∈<N ，，，，，，，{}
{2
|450=|5B x x x x x =--≥≥或1}x ≤-，则{|15}B x x =-<<R ð，则(){0,1,2,3,4}A B =R I ð共5个元素，
故选：B ．
【名师点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集，交集的定义是解决本题的关键．
题组二 点集的交、并、补运算
调研3 设全集{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，则图中阴影部分表示的集合是
A ．{1，3，5}
B ．{1，5，6}
C ．{6，9}
D ．{1，5}
【答案】D
【解析】∵{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，∴{}1,5U A =ð，∴图中阴影部分表示的集合是{}1,5U A =ð， 故选D ．
题组三 已知集合的运算结果求集合或参数
调研4 已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，()U B A I ð＝{9}，则A ＝________. 【答案】{3，9}
【解析】由Venn 图知A ＝{3，9}.
调研5 已知集合{}
A x x a =<，{}
12B x x =<<，且()
A B =R R U ð，则实数a 的取值范围为 A ．{}
2a a ≤ B ．{}
1a a < C ．{}2a a ≥ D ．{}
2a a >
【答案】C
【解析】由题意，集合{}
A x x a =<，{}12
B x x =<<，可得{}
12B x x x =≤≥R 或ð， 又由()
A B =R R U ð，所以2a ≥．故选C ．
【名师点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
☆技巧点拨☆
有关集合运算的试题，在高考中多以客观题的形式呈现，常与函数、方程、不等式等知识综合，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解； (2)点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解； (3)连续型数集的运算，常借助数轴求解；
(4)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；
(5)根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.
1．（安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第一次联考数学试题）若集合{
}
2
|560A x x x =-->，
{}|21x B x =>，则()A B =R I ð
A ．{}|10x x -≤<
B ．{}|06x x <≤
C ．{}|20x x -≤<
D ．{}|03x x <≤
【答案】B
【解析】由题意，集合{}
2
|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{
}
{}|21|0x
B x x x =>=>，
则{}|16A x x =-≤≤R ð，所以()
{}|06A B x x =<≤R I ð. 故选B ．
【名师点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．（河北省衡水市深州市2019-2020学年高三上学期9月月考数学试题）已知集合()(){}
310A x x x =-+<，
{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1,2
C ．{}1,0,1,2-
D ．{}0,1,2,3
【答案】B
【解析】由题意，集合()(){}
310{|13}A x x x x x =-+<=-<<，{}1,0,1,2,3B =-， 则{0,1,2}A B =I ，故选B ．
【名师点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合A ，利用集合的交集准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．（2019年11月四川省资阳市高三上学期第一次诊断性考试数学试题）已知集合{10123}M =-，，
，，，{|02}N x x =≤≤，则M N =I A ．{1012}-，，， B ．{101}-，， C ．{012}，
， D ．{01}，
【答案】C
【解析】因为{}=10123M -，，
，，{}
02N x x =≤≤， 由交集定义可得{}01
2M N =I ，，，故选C. 4．（湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学、十堰一中、十堰二中等2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）若集合{|}121M x x =<-≤-，{}24|N x x =<<，则M ∪N = A ．(2.3] B ．(2，3)
C ．[1，4)
D ．(1，4)
【答案】C
【解析】{|121}={|13}M x x x x =-<-≤≤<，{|24}N x x =<<，所以{|14}M N x x =≤<U ,故选C.
5．（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}
3log (2)2A x x =-≤，
{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是 A ．
]4∞（-， B ．4∞（-，）
C ．22∞（-，）
D ．
22]∞（-， 【答案】A
【解析】{}{}3log (2)2211A x x x x =-≤=<≤，{}202m B x x m x x ⎧⎫
=->=>⎨⎬⎩
⎭，
A B ⊆，则
2,42
m
m ≤≤，故选A.
6．（2019年浙江省十校联盟高三上学期10月联考数学试题）若集合{|12}A x x =-<<，
{}2,0,1,2B =-，则A B =I A ．∅ B ．{0,1}
C ．{0,1,2}
D ．{2,0,1,2}-
【答案】B
【解析】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I .
7．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019年高三上学期10月月考数学试题）已知集合
{{}
|1,|20A y y B x x ==+=-≤，则A B =I
A ．[]1,2
B ．[]
0,2
C ．(]
,1-∞
D ．[)2,+∞
【答案】A
【解析】{
|1[1,)A y y ===+∞，{}|20(,2]B x x =-≤=-∞，所以[1,2]A B =I ，故选A ．
【名师点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目. 8．（2019
年
10
月山西省吕梁市高三阶段性测试数学试题）已知集合
{}{}
23|log 1,|280x
A x
B x x x =<=+-<，则A B =I
A ．{}|43x x -<<
B ．{}|42x x -<<
C ．{}|02x x <<
D ．{}|23x x <<
【答案】A
【解析】因为3log 1x <，所以03x <<，所以{|03}A x x =<<； 因为2280x x +-<，所以42x -<<，所以{|42}B x x =-<<； 所以{|02}A B x x =<<I . 故选：A ．
【名师点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.注意解对数不等式时，对数的真数要大于零. 9．（九师联盟2020届高三上学期10月质量检测数学试题）集合{
}
2
|(1)0A x x x =-=的子集个数是 A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】因为{0,1}A =，所以其子集个数是224=. 故选：C ．
【名师点睛】本题主要考查集合的化简和子集的个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．（宁夏回族自治区银川市一中2019-2020学年高三11月月考数学试题）已知集合{
}
2
|50A x x x =->，
则A =R ð
A ．{|05}x x ≤≤
B ．{|0}x x <
C ．{|5}x x >
D ．{|50}x x -≤≤
【答案】A
【解析】{}{
2
|500A x x x x x =->=<或}5x >，{}
05A x x ∴=≤≤R ð，故选A.
11．（云南省昆明市民族中学2019-2020学年高三上学期10月适应性月考数学试题
）已知集合{}1,2,3A =，{
}
21,B y y x x A ==+∈，则A B =U A ．{}1,3,5,7 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,2,3,5,7
【答案】D
【解析】由题意，集合{}1,2,3A =，{}
{}21,3,5,7B y y x x A ==+∈=， 所以{}1,2,3,5,7A B =U .故选D ．
【名师点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的并集运算，其中解答中正确求解集合B ，以及集合并集运算是解答的概念，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．（山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考数学试题）已知集合
{}
{}23100,A x x x B x x m =--≤=≥，若2m ≤-，则
A ．A
B ⊂≠
B ．B A ⊂≠
C ．A B =∅I
D ．A B =R U
【答案】A
【解析】∵{
}
2
|3100A x x x =--≤，解不等式23100x x --≤,
得25x -≤≤,所以集合{|25}A x x =-≤≤,
因为2m ≤-，所以作出集合A 与集合B 的示意图如下图所示，从图中可以看出A B ⊂≠，故选A ．
13．（湖北省襄阳市第四中学2029-2020学年高三9月联考数学试题）已知集合{|3,}A x x k k ==∈N ，
{|6,}B x x z z ==∈N ，则下列结论正确的是
A ．A
B A =I B ．A B B =I
C ．A B =
D ．以上均不对
【答案】B
【解析】集合A 为自然数中3的倍数构成的集合，集合B 为自然数中6的倍数构成的集合，所以
B A ⊆．故选B ．
14．（上海市行知中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）函数2()lg(1)f x x =-，集合
{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则图中阴影部分表示的集合为________．
【答案】(,1](0,1)-∞-U
【解析】∵f （x ）＝lg （1﹣x 2），集合A ＝{x |y ＝f （x ）}，B ＝{y |y ＝f （x ）}， ∴A ＝{x |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{x |1﹣x 2＞0}＝{x |﹣1＜x ＜1}， B ＝{y |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{y |y ≤0}， ∴A B U ＝{x |x ＜1}， A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤0}，
根据题意，图中阴影部分表示的区域为A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合为：
(,1](0,1)-∞-U . 故答案为：(,1](0,1)-∞-U .
【名师点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．
15．（上海市行知中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，
2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =________．
【答案】{5,2,1}
【解析】根据题意，A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， 对于集合B ＝{y |y ＝x 2+1，x ∈A }， 当x ＝±2时，y ＝5， 当x ＝±1时，y ＝2， 当x ＝0时，y ＝1； 故答案为：{5,2,1}.
【名师点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B 中x 所取的值为A 中的元素且必须用列举法表示．
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2
|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
【答案】C
【解析】由题意得2
|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}M N x x =-<<I ． 故选C ．
【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)
C ．(–3，–1)
D ．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意得，2
{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则
{|1}(,1)A B x x =<=-∞I ．
故选A ．
【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1-
D ．{}0,1,2
【答案】A
【解析】∵2
1,x ≤∴11x -≤≤，∴{}
11B x x =-≤≤，
又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-I . 故选A ．
【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
4．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则A =R ð
A ．{}
12x x -<< B ．{}
12x x -≤≤
C ．}{}{|1|2x x x x <->U
D ．}{}{
|1|2x x x x ≤-≥U
【答案】B
【解析】解不等式x 2−x −2>0得x <−1或x >2，所以A ={x|x <−1或x >2}， 所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R ð. 故选B ．
【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
5．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，
，，则A B =I A ．{}0 B ．{}1
C ．{}12，
D ．{}012，
， 【答案】C
【解析】易得集合{|1}A x x =≥, 所以{}1,2A B =I . 故选C ．
【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.
6．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合(){}
2
23A x y x
y x y =
+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
【答案】A
【解析】∵x 2+y 2≤3,∴x 2≤3,∵x ∈Z,∴x =−1,0,1， 当x =−1时，y =−1,0,1； 当x =0时，y =−1,0,1； 当x =−1时，y =−1,0,1, 所以共有9个元素. 选A ．
【名师点睛】本题考查集合与元素的关系，点与圆的位置关系，考查学生对概念的理解与识别. 7．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则
A ．{|0}A
B x x =<I B ．A B =R U
C ．{|1}A B x x =>U
D ．A B =∅I
【答案】A
【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<， 所以{|1}{|0}A B x x x x =<<I I {|0}x x =<，
{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<U U .
故选A ．
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 8．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B =I ，则B =
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
【答案】C
【解析】由{}1A B =I 得1B ∈，
即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，
{}1,3B =.
故选C ．
【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．
9．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合A ={
}22
(,)1x y x y +=│
，B ={}
(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，
由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合， 集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，
又圆2
2
1x y +=与直线y x =相交于两点22⎛ ⎝⎭，22⎛-- ⎝
⎭， 则A B I 中有2个元素. 故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.。