专题五 第3讲

第3讲 圆锥曲线中的热点问题

高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.

真 题 感 悟

1.(2015·全国Ⅰ卷)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→

<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33

，33

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫

－36

，36

C.⎝

⎛⎭⎪⎫

－

223，223 D.⎝

⎛⎭⎪⎫

－

233，233 解析 由题意M 在双曲线C ：x 22－y 2

＝1上， 则x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20.

由MF →1·MF →2<0，得(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20－3＋y 20＝3y 20

－1<0，即－33<y 0<33. 答案 A

2.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，

P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫

1，32中恰有三点在椭圆C 上.

(1)求C 的方程；

(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.

(1)解 由于点P 3，P 4关于y 轴对称，由题设知C 必过P 3，P 4.又由1a 2＋1b 2>1a 2＋3

4b 2知，椭圆C 不经过点P 1， 所以点P 2在椭圆C 上.

因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.

故C 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果直线l 的斜率不存在，l 垂直于x 轴. 设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，

k 1＋k 2＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2

m ＝－1，得m ＝2， 此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1).

将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2

＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km

4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.

则k 1＋k 2＝y 1－1x 1

＋y 2－1x 2

＝kx 1＋m －1x 1

＋kx 2＋m －1

x

2

＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）

x 1x 2

.

由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. ∴(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km

4k 2＋1

＝0.

解之得m ＝－2k －1，此时Δ＝32(m ＋1)>0，方程有解， ∴当且仅当m >－1时，Δ>0，

∴直线l 的方程为y ＝kx －2k －1，即y ＋1＝k (x －2). 当x ＝2时，y ＝－1，所以l 过定点(2，－1).

考 点 整 合

1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.

温馨提醒 圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响. 2.定点、定值问题

(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.

若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).

(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题. 3.存在性问题的解题步骤：

(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).

(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在. (3)得出结论.

热点一 圆锥曲线中的最值、范围

【例1】 (2016·浙江卷)如图所示，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1. (1)求p 的值；

(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和

过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.

解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，

由抛物线的定义得p

2＝1，即p ＝2.

(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，

可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.

∵AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)， 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0. 故y A y B ＝－4，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2t

t 2－1，

故直线FN 的斜率为－t 2－1

2t ，

从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2

t . ∴N ⎝ ⎛⎭

⎪⎫t 2＋3

t 2－1，－2t .

设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2t t 2－m ＝2t ＋2t

t 2－t 2＋3

t 2

－1，

于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2

t 2－1，∴m ＜0或m ＞2.

经检验知，m ＜0或m ＞2满足题意.

综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).

探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.

(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围. 【训练1】 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23

3，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.