2024初升高自主招生数学试卷(四)及参考答案

2024初升高自主招生数学模拟试卷（四）
一、选择题
1．将4046减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…依此类推，直至最后减去余下的则最后余下的数为()
A.4
B.3
C.2
D.1
2．若正实数a，b，c满足不等式组则a，b，c的大小关系为()
A.b<a<c
B.b<c<a
C.c<b<a
D.c<a<b
3．若实数a，b满足等式2a-b=2a2-2则a b=()
A. C. D.4
4．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=33，点D是平面内一动点，且上ADB=30°，连CD，则CD长的最大值是()
A.8
B.9
C.10
D.11
5．已知三个实数x1，x2，x3它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7，则这样的三元数组(x1，x2，x3)共有组()
A.3
B.4
C.5
D.6
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sin B=4
5，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰
△ADE，使∠ADE=∠B，连CE，则CE
BC ()
A.6
5 B.
5
6 C.
5
8 D.
5
12
7．四边形ABCD 中，AC ，BD 是其两对角线，△ABC 是等边三角形，AD =6，BD =10，CD =8，则∠ADC =(
)A.30°
B.45°
C.60°
D.75°二、填空题
8．已知19个连续整数的和为380，则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是
__.
9．已知x =54-，则(2x +1)(x +1)(2x +3)(x +2)=.
10．在实数范围内因式分解：a 2-2b 2+3c 2-ab +bc +4ca =.
11．在平面直角坐标系xOy 中，点A (4，0)，B (4，)，连OB ，AB ，若线段OB ，AB 分别交双曲线(0k y k x =>，0)x >于点D ，E （异于点B ），若DE 丄OB ，则k 的值为.
12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.
13．在菱形ABCD 中，∠A =60°，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将△AEF 沿着EF 对折，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G ，若DG =4，BG =6，则△AEF 的面积等于.
14．对于任意不为0的实数a ，b ，c 定义一种新运算“#”：①a #a =1；②a #(b #c )=(a #b )c ，则关于x 的方程(x 2)#2=x +4的根为
.
三、解答题
15．回答下列问题：
（1）解方程：x =(x 2+4x 一3)2+4x 2+16x 一15；
（2）求所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2-(2a -1)x +4a -3=0的两根均为整数.
16．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（异于C，D），连BE，以BE为对角线作正方形BGEF，EF与BD交于点H，连AF.
（1）求证：A，F，C三点共线；
（2）若CE：DE=1：2，求DH
BH的值.
17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=ax2+bx+c(a>0)经过点(0，-3)和(4，-11)，且在x轴上截
得的线段长为
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）已知点A在抛物线C1上，且在其对称轴右侧，点B在抛物线C1的对称轴上，若△OAB是以OB为斜
边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）将抛物线C1向左平行移动3个单位得到抛物线C2，直线y=kx(k≠0)与C2交于E，F两点，直线2
y x
k
=-与C2交于G，H两点，若M，N分别为线段EF和线段GH的中点，连接MN.
求证：直线MN过定点.
18．如图，等边△ABC内有一动点D，△CDE是等边三角形（点B，E在直线AC两侧），直线BD与直线AE交于点F.
（1）判断∠AFC的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由.
（2）若AB=5，CD=3，求线段AF长的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：令
,第二次余下的数为,
,
.
故选：C.
2．答案：B
解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是
因此,
故选：B.
3．答案：A
,根据非负性可知,
所以
故选：A.
4．答案：B
解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=1121112332
3a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434
a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023
a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c a
b
c c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩
11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩
711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =
连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,
故选：B.
5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得
于是,或.当
,解得或
故选：C.
6．答案：D
解析：由条件知,,所以,
所以,又公共,所以,
所以也是等腰三角形,于是发现,
故选：D.
7．答案：A
解析：以为一边在四边形外作等边,
连,则可证,所以,
又,,于是,
所以,故选：A.
AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=1232133
1267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭
3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩
AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236
BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒
8．答案：1050
解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,
,解得,
所以紧接在这19个数后面的21
个连续偶数分别为30,32,34,,70,
.9．答案：42
解析：由条件得,
又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.
解析：由条件知,
设,则,,又
,,所以,,
于是于,所以
（舍）或
12．答案：18
解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,
解得.
解析：作于点P ,
设,则,,,,
n 18
n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦
()()
222522536742x x x x =++++=⨯=()()
23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝
k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-
在中,,即,
解得
所以
14．答案：4或-2
解析：令,因,由得,
令,由得,
于是,所以
,解方程得两根分别为4或
-2.
15．答案：（1）
解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,
于是,
整理得,所以于是或,
当时,,解得
当时,,解得
综上,原方程的根为
（2）不妨设两根为,,
则根据韦达定理可知,,
于是,所以6PG x
=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)
2#2x x =+4x =+x =
=()()222434433
x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()
224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =
x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223
x x --=
因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时
当时,解得,此时
16．答案：（
1）见解析
解析：证明：（1）在正方形和正方形中,
所以,即,
所以,
所以,
又,所以A ,F ,C 三点共线
（2）因,
设,则,
,因,,公共,所以,
于是即,解得
所以
17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩12
2321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235
x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩12
11x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF
==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =
DH BD BH =-=-==263
y x x =--()7,4()
6,3-
（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.
（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,
综上所述,点A 的坐标为或.
（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得
所以,其过定点.
18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()
0,1316411,
c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >16
3a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()
2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()
7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
:MN y px q =+222221k k p q p q k
k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k
-=+()0,1AFC ∠120︒
（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,
所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,
由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,
于是
所以线段长的最小值为
.4AFC ∠120︒ABC △CDE △
AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒
12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF
=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。