Ch7 参数估计
python 计算坐边转换7参数
python 计算坐边转换7参数坐标转换是地理信息系统中常见的操作之一,它涉及将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中。
在地球表面上,我们通常使用经纬度坐标系来表示位置。
然而,在实际应用中,我们可能需要将经纬度坐标转换为其他坐标系,例如高斯投影坐标系或UTM坐标系。
而这种坐标转换,往往需要使用到七参数转换模型。
一、什么是七参数转换模型?七参数转换模型是一种常见的坐标转换模型,它通过七个参数来描述两个坐标系之间的相对关系。
这七个参数分别是:平移量dx、dy、dz,旋转角度ωx、ωy、ωz以及尺度因子k。
通过给定这七个参数的值,我们可以将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中。
二、七参数转换模型的应用场景七参数转换模型在地理信息系统中有着广泛的应用。
例如,在地图制作中,我们通常会使用不同的投影方式来表示地球表面的平面地图。
而这些投影方式往往使用不同的坐标系,因此需要进行坐标转换。
另外,在测量和导航等领域中,也常常需要进行坐标转换,以便将不同坐标系下的位置信息进行统一。
三、七参数转换模型的计算方法七参数转换模型的计算方法通常有两种:参数估计和参数求解。
参数估计是指通过已知的控制点坐标,在两个坐标系之间建立起转换关系,并估计出七个参数的值。
参数求解是指根据已知的控制点坐标和已知的七个参数的值,计算出其他点的坐标。
1. 参数估计参数估计的方法通常使用最小二乘法来确定七个参数的值。
最小二乘法是一种常见的数学优化方法,它通过最小化预测值与实际观测值之间的差异,来确定参数的值。
在进行参数估计时,我们需要选择一组具有代表性的控制点,并测量它们在两个坐标系中的坐标。
然后,根据最小二乘法的原理,通过求解一个方程组,即可确定七个参数的值。
2. 参数求解参数求解的方法通常使用正向解算和反向解算两种方式。
正向解算是指根据已知的七个参数的值,将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中。
反向解算是指根据已知的七个参数的值,将一个坐标系中的点的坐标转换回原始坐标系中。
计量经济学导论:ch07 多元回归分析:虚拟变量
d j系数含义可解释为:保持其他因素不变,信用等级为j
级的城市和信用等级为零级的城市之间在MBR上的差异。 其中,j 1, 2,3, 4。
问题:两种估计方法中,哪种方法更优?
16
例7.7 相貌吸引力对工资的影响
在劳动力市场中,除了存在性别歧视之外,还 可能存在相貌、身高等歧视。如果将样本相貌 分为三类:一般水平、低于一般水平、高于一 般水平,并以一般水平组作为基组,分别对男 人、女人估计方程得:
y = b0 + d0d + b1x + u
This can be interpreted as an intercept shift
If d = 0, then y = b0 + b1x + u If d = 1, then y = (b0 + d0) + b1x + u
The case of d = 0 is the base/benchmark group
虚拟变量与非虚拟变量之间也有交互作用,使 得出现不同的斜率。
female 0,男性组截距是b0,受教育的斜率是b1; female 1,女性组的截距是b0 d0,受教育的斜率是b1 d1。
24
25
我们关心的两个假设: ➢ 男性和女性受教育的回报是相同的。
H0:d1 0
➢ 受教育水平相同的男性和女性的平均工资相同。
将式7.13中的调整R 平方与把排名作为一个单独变量得到
的调整R 平方比较,前者是0.905,后者是0.836。所以,式
7.13 增加了回归的灵活性。 另外,式 7.13中所有其他变量都变得不显著了,联合显著性
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中,参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量,使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,简称MLE)是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设,通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计(Method of Moments,简称MoM)是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩,然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值,而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果,我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下,给出一个区间范围,该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计,表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说,置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关,较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计,表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似,预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量,并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布,从而得到参数的后验分布。
心理与教育统计学课件张厚粲版ch7参数估计
2
X X
2
2
nS 2
由公式8 4,我们可利用理论 2值与样本方差来 确定总体方差的置信区 间 : nS 2
6
n
。
第二节 总体平均数的估计
一、总体平均数估计的计算步骤: ⒈利用抽样的方法抽取样本,计算出样本的平均 值 X 和标准差S。 ⒉计算样本平均数的标准误 SEX : ①当总体方差已知时,样本平均数的标准误的计 算为:
SEX
n
②当总体方差未知时,样本平均数的标准误的计 算为: Sn SEX n 1
因此, 的95%的置信区间为 : 115.8 2.042 0.81 115.8 2.042 0.81 即114.15 117.45
的99%的置信区间为 : 115.8 2.75 0.81 115.8 2.75 0.81 即113.57 118.03
15
三、总体方差未知,对总体平均数的估计
⒉当总体为非正态分布时(只有当样本容量n>30 时,此时样本抽样分布服从自由度为n-1的t分 布,这时可依t 分布对总体平均数进行估计, 否则不能对总体 平均数进行估计。) 例6 某校进行一次数学考试,从中抽取40名考生, 经计算,这40 名考生的平均成绩为82分,标准 差为7 分,试求全体考生平均成绩的95%和 99%的置信区间。
例2 已知某市6岁正常男童体重的总体方差为6.55公斤,从该
市随机抽取40 名6岁男童,其平均体重为20.4公斤,试求该 市6 岁男童平均体重的95%和99%的置信区间。
9
例1的计算
SE X
• 解: n 95%的置信区间的显著性水平α=0.05, Z 2 1.96 因此,μ的95%的置信区间为:
数值分析Ch7
f (xi , yi )
0
言
Numerical Analysis
M. H. Xu
二 理论基础 定理 7. 1 若f (x, y )在区 域 D = {(x, y )|a ≤ x ≤ b, |y | < ∞} 内连 续, 关于 y 满足 Lipschitz条件 , 即 存在 常数 L > 0, 对 任意 y1 , y2 , 不 等 式 |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | 对所 有的 x ∈ [a, b]成立 , 则 初值 问题 dy = f (x, y ), a ≤ x ≤ b dx y (a) = y
Numerical Analysis
M. H. Xu
§7. 2 Euler方法与梯 形方 法 一 方法导出 由微分方程知 y (xi ) = f (xi , y (xi )), 用差商
y0 y yi y=y(x) yi+1 yn
y (xi+1 ) − y (xi ) h 近似 导数 y (xi )可 得 y (xi+1 ) ≈ y (xi ) + hf (xi , y (xi ))
0
在区 间[a, b]上有 唯 一解 y (x), 并且 y (x)为 连续 可微 的, 解函 数y (x) 连续 地依 赖于 初值 及f (x, y ).
Numerical Analysis
M. H. Xu
三 数值解法的基本步骤 第一 步: 把区 间[a, b]进行 划分 , 通 常进 行n等 分, 节点 xi = a + ih, i = 0, 1, 2 · · · , n, 其中 h = (b − a)/n; 第二 步: 求y (x)在节 点xi 处 函数 值y (xi )的近 似值 yi , 得 一列 表 函数 ; 第三 步: 根据 需要 可由 插值 方法求得 函数 y (x)在 x处的 近似 值, 或 由 列表 函数 求得 y = y (x)的近 似函 数. 说明 : 数值 解法 的关 键在 于如 何由 y0 得到y (x1 )的近 似值 y1 , 一 般地 , 如何 由y (xi )的近 似值 yi 得到y (xi+1 )的近 似值 yi+1 .
七参数法的应用原理
七参数法的应用原理1. 什么是七参数法?七参数法是一种用于地理坐标转换的方法。
它可以通过一组七个参数,将一个坐标系统中的点转换到另一个坐标系统中。
这些参数包括平移参数、旋转参数和尺度因子等,用于描述两个坐标系统之间的差异。
七参数法的应用广泛,可以用于测绘、大地坐标系统转换以及地图配准等方面。
2. 七参数法的应用原理七参数法的应用原理基于几何变换的概念。
在地理坐标转换中,我们需要考虑两个坐标系统之间的平移、旋转和尺度变化等因素。
七参数法通过计算这些变化,并用一组参数来表示,从而实现两个坐标系统之间的转换。
2.1 平移参数平移参数描述了两个坐标系统之间的平移差异。
它包括了在水平和垂直方向上的平移量。
通过计算两个坐标系统中某一固定点的坐标差异,可以确定平移参数。
2.2 旋转参数旋转参数描述了两个坐标系统之间的旋转差异。
它可以描述在水平面上的旋转角度。
通过计算两个坐标系统中三个非共线点的旋转角度差异,可以确定旋转参数。
2.3 尺度参数尺度参数描述了两个坐标系统之间的尺度差异。
它可以描述水平和垂直方向上的尺度变化。
通过计算两个坐标系统中一组点的尺度差异,可以确定尺度参数。
2.4 七参数的计算七参数的计算是通过最小二乘法来实现的。
最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来拟合数据的方法。
在七参数法中,需要通过最小二乘法来计算平移参数、旋转参数和尺度参数,从而得到最佳拟合的转换结果。
3. 七参数法的应用场景七参数法在地理信息系统、大地测量和地图配准等领域有着广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用场景:•地图配准:利用七参数法可以将不同坐标系统的地图配准到同一个坐标系统中,实现地图叠加和分析。
•大地坐标转换:利用七参数法可以将大地坐标系统中的点转换到其他坐标系统中,实现坐标的互通。
•摄影测量:在空间三维重建中,七参数法可以用于相机的姿态精确定位,从而实现精确的模型重建。
•GPS坐标转换:七参数法可以用于将GPS坐标系统中的点转换到其他坐标系统中,实现GPS数据的无缝整合。
两种七参数坐标转换方法
两种七参数坐标转换方法七参数坐标转换方法是一种将不同坐标系之间的坐标进行转换的方法。
常用于地理信息系统(GIS)、大地测量学和空间测量学等领域。
以下介绍两种常见的七参数坐标转换方法:1.七参数最小二乘法:七参数最小二乘法是通过最小化两个坐标系之间的残差平方和来求解七个参数的方法。
假设有两个坐标系A和B,七个参数分别为平移量(ΔX,ΔY,ΔZ)、旋转角度(θX,θY,θZ)和尺度比例(k)。
通过找到最佳的七个参数值,使得在坐标系A和B之间的转换中,两个坐标系之间的差异最小。
2.矩阵变换法:矩阵变换法是将坐标系A和坐标系B之间的转换表示为一个矩阵的乘法运算。
这种方法将七个参数分别表示为一个3×3的旋转矩阵R和一个3×1的平移矩阵T。
具体的转换公式为:```BX=RX*AX+T```其中,BX和AX分别为坐标系B和坐标系A中的坐标值,RX为旋转矩阵,T为平移矩阵。
通过确定旋转矩阵和平移矩阵的数值,可以将坐标系A中的坐标转换为坐标系B中的坐标。
这两种七参数坐标转换方法在实际应用中都有其优缺点。
七参数最小二乘法在计算过程中需要通过迭代方法来找到最优的参数值,计算量较大;而矩阵变换法相对来说计算较为简单。
然而,七参数最小二乘法在处理大数据集时可能会得到更精确的结果。
对于具体的应用场景,可以根据实际需求选择合适的方法。
此外,在实际应用中,还有一些常见的改进七参数坐标转换方法,例如七参数地面控制点法和七参数线性组合法等。
这些方法通过引入更多的控制点或采用线性组合的方式,可以提高坐标转换的精度和稳定性。
总的来说,七参数坐标转换方法是地理信息系统、大地测量学和空间测量学等领域中常用的一种坐标转换方法,通过确定平移量、旋转角度和尺度比例等参数,可以将不同坐标系之间的坐标进行转换。
在实际应用中,可以根据具体需求选择合适的转换方法,并根据实际情况进行适当的改进。
ch7_抽样
社会定量研究方法
假设要从全市100家企业,总共20万名职工中,抽取 1000名职工进行调查。已知最大的企业多达16000名 职工,而最小的企业则只有200名职工。 如果我们采取多段抽样的方法,先从100家企业中随机 抽取若干家企业,比如说抽取20家;然后再从这20家 企业中分别抽取50名职工(50×20=1000)构成样本。 第一阶段:入选概率是相同的,即都为20÷100=20% 第二阶段:规模大的企业中每个职工被抽中的概率则 为20%×(50÷16000)=0.0625%;规模小的企业中 每个职工被抽中的概率为20%×(50÷200)=5%
浙江工业大学
社会定量研究方法
第一阶段 方案1 方案2 方案3 方案4 方案5 方案6 方案7 方案8 方案9 抽10区 抽2区 抽10区 抽8区 抽5区 抽4区 抽3区 抽2区 抽1区
第二阶段 抽4所学校 抽20所学校 抽20所学校 抽15所学校 抽12所学校 抽10所学校 抽10所学校 抽10所学校 抽12所学校
05,15,25,….,95
浙江工业大学
社会定量研究方法
001
002
011
012
021
022
031
032
…
091
092
003
004
013
014
023
024
033
034
093
094
√ 005
006
007 008
√ 015
016
017 018
√ 025
026
027 028
√ 035
…..
√ 095
096
(二)抽样的一般程序
1.界定总体 2.制定抽样框
七参数计算公式
七参数计算公式七参数计算公式什么是七参数计算公式?七参数计算公式,也称作七参数转换公式,是地理信息系统(GIS)中一种用于处理地图投影和坐标转换的数学公式。
通过该公式,可以将某个地理坐标系统下的坐标转换为另一个地理坐标系统下的坐标。
七参数公式的计算原理七参数的计算原理基于相似性变换和坐标运算。
具体来说,这其中涉及到尺度因子、平移、旋转和投影四个方面的参数。
七参数公式的组成七参数计算公式主要由以下几个部分组成:1.尺度因子(Scale Factor)–表示不同地图投影之间比例误差的参数。
–一般为一个实数,用于缩放或放大坐标。
–通常用S表示。
2.X轴旋转角(ΔX Rotation)–表示绕X轴旋转的角度。
–一般为一个实数,用于调整X轴方向的坐标。
–通常用RX表示。
3.Y轴旋转角(ΔY Rotation)–表示绕Y轴旋转的角度。
–一般为一个实数,用于调整Y轴方向的坐标。
–通常用RY表示。
4.Z轴旋转角(ΔZ Rotation)–表示绕Z轴旋转的角度。
–一般为一个实数,用于调整Z轴方向的坐标。
–通常用RZ表示。
5.X轴平移参数(ΔX Translation)–表示在X轴方向上的平移量。
–一般为一个实数,用于调整X轴方向的坐标。
–通常用DX表示。
6.Y轴平移参数(ΔY Translation)–表示在Y轴方向上的平移量。
–一般为一个实数,用于调整Y轴方向的坐标。
–通常用DY表示。
7.Z轴平移参数(ΔZ Translation)–表示在Z轴方向上的平移量。
–一般为一个实数,用于调整Z轴方向的坐标。
–通常用DZ表示。
七参数公式的示例下面是一个七参数计算公式的示例:X' = S*(X - RZ*Y + RY*Z) + DXY' = S*(RZ*X + Y - RX*Z) + DYZ' = S*(-RY*X + RX*Y + Z) + DZ其中,(X, Y, Z)是原始坐标系统下的坐标,(X’, Y’, Z’)是转换后的坐标。
Ch7免疫克隆选择算法
Ch7 免疫克隆选择算法7.1生物学知识1、免疫系统免疫力也就是我们俗称“抵抗力”、“体质”等,人体之所以能抵御体内、外的各种致病因子的侵袭,全仗我们拥有健全的免疫系统。
免疫系统共有三道防线。
人体的皮肤和粘膜构成免疫战线上的第一道防线,阻挡着各种致病微生物的侵入。
健康完整的皮肤与粘膜、鼻孔中的鼻毛、呼吸道粘膜表面的粘液和纤毛,均能阻挡并排除微生物。
皮肤和粘膜还会分泌杀菌的物质,如皮肤的汗腺能分泌乳酸,使汗液呈酸性,不利于病菌等生长;皮脂腺分泌的脂肪酸,也有一定的杀灭病菌作用。
胃粘膜分泌的胃液里有胃酸,也具有杀菌作用,但如果暴饮,胃酸就会被冲淡,杀菌能力降低。
这样一来,病菌就有入侵机会,人就容易得胃肠疾病。
当病原体突破第一道防线后,它们会在人体内部处处遭到打击。
遍及全身的像蜘蛛网似的淋巴结,就像撒下的天罗地网,使“敌人”寸步难行。
假使病原体侵入血液或组织中,我们机体仍可沉着应战。
因为人体内有许许多多能够吞噬病原体的吞噬细胞。
它们紧紧缠住病菌,置敌于死地。
战斗进行有时很激烈,以致伤口发生红肿或长成疖肿。
由此可见,吞噬细胞的作用就是把侵入人体的病菌消灭在局部,不使它们向全身扩散。
如果侵入人体的病菌数量多、毒性大,或者在疖肿还没有充分化脓熟透的时候就用手去挤,这些病菌就可能冲破第二道防线,进入血液循环系统,病变就会由局部扩展到全身,引起全身严重的症状。
如果病原体冲破第一道和第二道防线,在人体中获得了立足点,并大量生长繁殖,就会引起感染。
此时机体与病原体展开了针锋相对的斗争,斗争的胜负取决于第三道防线的牢固与否,以及敌我之间大量的对比。
这道防线上的主力军有T淋巴细胞和B淋巴细胞。
据估计,一个健康人体内大约有一百亿的淋巴细胞在活动。
当T和B细胞接到“敌情报告”后马上动员起来,T细胞产生各种淋巴因子,B细胞装备成能产生抗体(即所说的免疫球蛋白)的浆细胞。
各种病原体碰到这一支多兵种的免疫大军——吞噬细胞、抗体、补体、淋巴细胞和浆细胞等,只好乖乖地举手投降。
ch7-ch8 课后习题
一、判断题.(正确的打“√”,错误的打“×”)1.抽样误差大小与总体单位标志值的差异程度成正比。
(√)2.抽样单位数越多,抽样误差越大。
( ×)3.在简单不重复随机抽样情况下,当其他条件不变时,若抽样允许误差减少一半,则抽样单位数必须增加到4倍。
(√)4.抽样误差不能事先计算并加以控制。
( ×)5.在其他条件相同的情况下,重复抽样的误差必然大于不重复抽样的误差。
(√)6.抽样调查可以不遵循随机原则。
(×)7.抽样估计就是利用抽样调查取得的样本指标去估计和推断总体指标的一种统计方法。
( √)8.总体参数并不是唯一确定的量,有时是随机变量。
( ×)9.一般而言,在同等条件下,较大的样本所提供的有关总体的信息要比较小的样本多。
( √)10.在设计一个抽样方案时,抽取的样本量越多越好(×)11.样本统计量的概率分布实际上是一种理论分布,是抽样推断的理论依据。
( √)12.估计量的无偏性是指大量重复抽样的样本估计值应等于被估计总体参数的真实值。
( √)13.在采用分层抽样时,若某层内的变异较大,可以在该层抽取较多的样本单位。
( √)14.样本均值的抽样分布形式仅与样本量n的大小有关。
(×)15.抽样误差产生的原因是由于在抽样过程中没有遵循随机原则。
(×)16.抽取样本容量的多少与估计时要求的可靠程度成反比。
(×)二、单项选择题.1.从总体中选取样本时必须遵循的基本原则是( B )A. 可靠性B. 随机性C. 代表性D. 准确性和及时性2.在重复简单随机抽样中,抽样平均误差要减少一半(其他条件不变),则样本单位数必须( B )A. 增加1倍B. 增加3倍C. 增加到3倍D. 增加4倍3.抽样调查的主要目的是( C )A. 了解现象发展的具体过程和变化趋势B. 对调查单位作深入具体的研究C. 用样本指标对总体综合数量特征作出具有一定可靠程度的推断估计D. 为计划和决策提供详细生动的资料4.在相同条件下,重复抽样的抽样平均误差(C )不重复抽样的抽样平均误差。
应用时间序列分析(第6版)PPTch7
对数序列时序图
对数序列1阶差分后时序图
异方差变换的普适性和局限性
• 普适性
• 由于很多经济和金融变量都具有方差随着均值递增而递增的特点,所以在实务领域,经 济学家和金融研究人员都会在建模之前先对序列进行对数变换,希望能消除方差非齐。
• 局限性
• 残差序列的方差与原序列均值之间的关系非有各种可能,不一定就是线性递增关系。所 以并不是所有序列都能使用对数变换进行异方差信息提取。
• 集群效应是很多经济和金融序列都具有的波动特征。1963年,Benoit Mandelbrot就 指出: 在金融市场中数据通常比正态分布存在更多异常值,且具有集群效应。
• 集群效应的产生原因,通常认为是经济市场和金融市场的波动易受谣言、政局变动、政府 货币与财政政策变化等诸多因素的影响
• 一旦某个影响因素出现,市场会大幅波动,以消化这个影响,这就出现密集的大幅波 动。
• 在方差齐性的假定下,向前做1期预测,很容易预测出1977年3季度物价指数的 95%的波动范围为
(Pˆt1 1.96 23106 , Pˆt1 1.96 23106 )
波动性分析产生的背景
• 但是Engle以经济学家的经验,认为这个预测的置信区间偏小,与实际情况严重不 符。因为从1974年开始物价指数的平均波动等于
条件异方差模型
07
本章内容
01
异方差的问题
02
方差齐性变换
03
ARCH模型
04
GARCH模型Βιβλιοθήκη 05GARCH衍生模型
方差齐性假定的重要性
• 我们在前面介绍的模型拟合方法(ARIMA模型,因素分解模型)都属于对序列均 值的拟合方法
xˆt1 =E(xt1)
7.1 参数的点估计
总体矩,样本矩回顾:
设 X 是总体,X1,X2,…,Xn是来自 X 的一个样本:
则总体 X 的 k 阶原点矩,记作 k E(X k )
总体 X 的 k 阶中心矩,记作 Vk E[X E(X )]k
样本的 k 阶原点矩,记作
Ak
1 n
n i 1
Xik
样本的 k 阶中心矩,记作
ˆ max{ xi }
小结
两种点估计方法:
矩估计法 最大似然估计法
用矩估计法估计参数通常比较方便,便于实 际应用,但所得估计的优良性有时比较差。
最大似然估计法使用时常常要进行比较复杂 的计算,然而得到的估计在许多情况下具有优良 性,它是目前仍然得到广泛使用的一种方法。
7.1.3 点估计标准
要了解这批灯泡的质量就要估计μ 和σ2的值。
例子:某电话交换台在1小时内接到的呼叫次数为Y Y~P(λ ),但 λ 未知. 某人想知道该电话交换台在1小时内呼叫10次 的概率,必须先估计λ 的值。
问题产生背景
在总体分布类型已知的情况下,如何从样本估 计总体分布中的未知参数就成为数理统计的基 本问题之一。
aˆ X 3B2 , bˆ X 3B2
例7.1.4 设总体X的均值μ 及方差σ 2都存在,且 有σ 2 >0,但μ ,σ 2 均未知. X1,X2,…,Xn 是来自总 体X的样本,求μ,σ2的矩估计量.
解 先求总体的一阶和二阶原点矩:
1 E(X ) ,
2 E(X 2 ) D(X ) E(X )2 2 ,
无偏性表示 ˆ 围绕被估参数 而摆动,以 致平均误差为零,即用ˆ 估计 没有系统
性误差。
例7.1.10 若X ~ U [0 , θ], 证明:
概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第7章 参数估计教程
估计 θ ,故称这种估计为点估计.
5 6
,σ 2未知,
… 随机抽查100个婴儿 得100个体重数据 10,7,6,6.5,5,5.2, …
而全部信息就由这100个数组成. 据此,我们应如何估计 和 σ 呢?
我们知道,服从正态分布N ( , σ 2 )的r.v. X , E ( X ) = , 由大数定律, 样本体重的平均值 1 → ∑ X i P n i =1 自然想到把样本体重的平均值作为总体平均 体重的一个估计. X= 用样本体重的均值 X估计 , 类似地,用样本体重的方差 S 2估计 σ 2 . 1 n 1 n 2 X = ∑ Xi, S = ∑ ( X i X )2 n 1 i =1 n i =1
(一)矩估计法
基本思想:用样本矩估计总体矩
(二)最大似然估计法
基本思想:
15
16
最大似然估计法 (最大似然法)
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而,这个方法常归功于 英国统计学家费希尔(Fisher) . 费希尔在1922年重新发现了 这一方法,并首先研究了这 种 方法的一些性质 . Fisher
1. 矩估计法 2. 最大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 ……
(一) 矩估计法(简称"矩法")
它是基于一种简单的"替换"思想 建立起来的一种估计方法 . 英国统计学家 K. 皮尔逊 最早提出的 . 基本思想: 用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 大数定律
Ak = 1 n k P ∑ X i → k = E ( X k ) n i =1
4
在参数估计问题中,假定总体分布 形式已知,未知的仅仅是一个或几个 参数.
第七章 参数估计
x
1
2
|x|
e
dx
0
不含θ ,故不能由“样本一阶矩=总体一阶矩”解得所
求
矩估计,需要2继E续(X 求2二) 阶2矩1: x2e|x|dx
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概率论与数理统计
1 x2exd 0
x 20x2exdx
其中未知参数θ >0,求θ 的矩估计量.
〖解〗单参数,连续型.
因为总体一阶矩
1
1E(X) xf (x)dx x dx
0
x 1
| 1 1 0
1
由
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1 A1
概率论与数理统计
即 解得:
X 1
X( 1)
(1X)X
X
1 X 故所求矩估计量为:
ˆ
1
X X
2
■
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【例5】已知总体X的概率密度为:
f(x)21 e|x|( x )
其中未知参数θ >0,求θ 的矩估计量.
〖解〗单参数,连续型.
因为总体一阶矩
1E(X)
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概率论与数理统计
ddL(x1,x2, ,xn;)0
或与之等价的
ddlnL(x1,x2, ,xn;)0
来得到待估参数θ 的极大似然估计值(驻点);
③ 、必要时,参照极大似然估计值写出极大似然 估计量.
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【例6】求服从二项分布B(m,p)的总体X未知参数 p的极大似然估计量。
关于四参数和七参数的几点认识
关于四参数和七参数的几点认识四参数和七参数是在地图投影或地理坐标转换中使用的数学模型。
它们用于解决测量数据之间的差异或误差,从而实现不同坐标系统之间的转换。
首先,四参数模型是一个二维坐标系统之间的转换模型。
它包括平移和旋转两个参数。
平移参数用于描述坐标原点的偏移,旋转参数用于描述坐标系之间的旋转角度。
四参数模型通常用于小范围的地图投影或局部测量中,主要用于解决平面坐标之间的转换。
七参数模型是一个三维坐标系统之间的转换模型。
它包括平移、旋转和尺度因子三个参数。
平移参数和旋转参数的含义和四参数模型相同,尺度因子参数描述了源和目标坐标系之间的比例关系。
七参数模型通常用于大范围的地图投影或全球坐标系转换中,主要用于解决空间坐标之间的转换。
其次,四参数和七参数模型都是通过最小二乘法来确定的。
最小二乘法是一种通过最小化观测值与理论值之间的差异来确定参数的方法。
在地理坐标转换中,观测值是已知的测量数据,理论值是根据转换模型计算出的预测值。
通过最小二乘法,可以确定最优的参数值,使得观测值与理论值之间的差异最小化。
此外,四参数和七参数模型都有一定的适用范围和精度。
四参数模型适用于地图局部区域的转换,例如城市地图或区域地图。
七参数模型适用于全球范围的转换,例如全球导航系统或地球测量。
在实际应用中,需要根据具体情况选择适合的模型,并进行误差分析和精度评估,以确保转换结果的准确性。
最后,四参数和七参数模型在实践中得到了广泛的应用。
地理信息系统(GIS)、遥感技术、导航系统等领域都需要进行地理坐标转换,四参数和七参数模型提供了一种有效的数学工具。
通过这些模型,可以实现不同坐标系统之间的无缝集成和数据交换,为各种地理应用提供了基础。
综上所述,四参数和七参数模型是地图投影和地理坐标转换中常用的数学模型。
它们通过最小二乘法确定参数值,用于解决不同坐标系统之间的转换。
这些模型在实践中具有广泛的应用,并且需要根据具体情况选择适合的模型进行转换。
Principles of Marketing Engineering - Ch7 - The Marketing Mix
数反映每个销售实体中销售努力与销售额之 间的关系。
Syntex模型为解决销售队伍规模和分配问题
提供了通用的方法。该模型最初是专为 Syntex制药公司建立的,目的是通过增加销 售人员,期望能提高企业在不同细分市场上 的销售额。这是一种有效的资源分配模型, 该模型也可以用于其他企业的类似问题。
© CUMT2011 Principles Chapter 7: The Marketing Mix - 15
运用德尔菲法。要求高层经理们各自回答一
些问题,如每种药品的销售会对销售努力做 出怎样的反应,以及每个细分市场上的内科 医生会对不同的销售努力有怎样的反应。
© CUMT2011 Principles Chapter 7: The Marketing Mix - 18
Delphi method for Calibrating Sales Response Function
rings to seal valves on pipes that carry corrosive materials. The plant pays $5 for each O-ring and must change them during regular maintenance every two months.
些问题,每位经理的答案分别为X0 , X0.5 , X1.5 和 X∞,然后用计算机将这些答案汇总并向 各位参与者提供汇总结果。 经理们研究汇总结果后,思考自己的反应与群体 平均值的差别,然后再次回答这些问题,在 Syntex研究中,第二轮要求大家意见一致(实 际操作中可能需要到第三轮或第四轮才能得到一 致的估计值)。 这些达成一致意见的估计值为校准ADBUDG函 数提供了输入信息,对函数中的参数加以估计。
ch7_example
1 n 1 n 2 2 2 证 前已证 ( X i X ) X i X n i 1 n i 1
E ( X i ) E ( X ) , D( X i ) D( X ) 2 E ( X ) E ( X ) , D( X )
n
2
因而
1 n 1 n 2 2 2 E ( X i X ) E ( X i ) E ( X ) n i 1 n i 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n 1 2 2 n 1 n 2 2 故 E ( X i X ) 证毕. n 1 i 1
常用 标准 (1) 无偏性 (2) 有效性
(3) 一致性
1. 无偏性
例1 设总体X 的 k 阶矩 k E ( X ) 存在
k
( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体 X 的样本,
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 1 n k Ak X i 都是 k 的无偏估计量. n i 1 证 由于 E ( X k ) i 1,2, , n 因而
令
X E ( X ) np
1 2 2 2 X i E ( X ) (np) np(1 p) m i 1
m
1 m 2 2 2 故 (n n) p X i X m i 1
因此, p2 的无偏估计量为
1 1 m 2 p 2 Xi X n n m i 1
ˆ a xmin , b xmax ˆ
X min min{ X 1 , X 2 ,, X n } X max max{ X 1 , X 2 ,, X n }
是 a , b 的最大似然估计值.
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,
2 nS 2 1
( n)
2
).
Stop
3. 双正态总体均值差的置信区间
2 设X1, X n1 N (1,1 ), iid Y1, ,Yn2 N ( 2 , 2 ), 2 iid
~
两样本独立。给定置信 1 , 度 由观测值x1, ,n1 ; y1, ,n2, x y 求出1 2的置信区间。
k的取值取决于 f (x; )中未知参数 的维数。 若维数为1,即仅有一个参数,则k取1; 若维数为2,则可让k取1和2,解联立方程即可得 余类推
1 n k k E ( X ) Ak X i . n i 1
Stop
例 设总体X的分布律为 X 0 1 2 3 P 2 2(1) 2 2 其中(0< <1)未知,求的矩估计量。 若总体X有样本值3、1、3、0、3、1、2、3, 求的矩估计值。
Stop
正态总体参数的区间估计 1. 单正态总体均值的置信区间
设X 1, , n ~ N ( , 2 ), 给定 ,由观测值 X x1 ,, xn求出 的置信区间 . (1) 2已知 X ~ N (0,1) 令 U n 即得 的置信区间为1- 的置信区间为
iid
ˆ ˆ L(1 L , , m L ) max L(1 , , m ).
j
L
Stop
例 设X 1 , , X n ~ P ( ), 0,试求 L 例 设X 1 , , X n ~ N ( , 2 ), , 0,
2 2
)
Stop
2 ( 2) 1
X Y ( 1 2 ) 令 T ~ t (n1 n2 2) 1 1 Sw n1 n2
2 2未知
可解得 1 2 的置信区间
x y t / 2 ( n1 n2 2) S w
1 1 n1 n2
Stop
Stop
(2) 2未知 X 令 T ~ t ( n 1) S n 即得 的置信区间为1的置信区间为
S x t / 2 ( n 1) n S S ( x t / 2 ( n 1) , x t / 2 ( n 1) ) 。 n n
Stop
例 一个科学家记录了球的直径的5个 测量值为 : 6.33 , 6.37 , 6.36 , 6.32 和6.37 厘米 , 求的置信度为0.95的置信区间 . 假设球的直径近似地服从正态分布.
Stop
例 已知幼儿的身高在正常情况下服从正态 分布 . 现从某一幼儿园5岁至6岁的幼儿中随机 地抽查了9人 , 其身高分别为 : 115 , 120 , 131 , 115 , 109 , 115 , 115 , 105 , 110(cm ).假设5岁至6 岁幼儿身高总体的标准差为 7 . 在置信度 为99%的条件下 , 试求总体均值的置信区间.
Stop
4. 双正态总体方差比的置信区间
2 设X1, , n1 ~ N (1,1 ),Y1, , 2 ~ N ( 2, 2 ), X Yn 2 给定置信度 ,由观测值x1, ,n1 ; 1 x 两样本独立。 2 y1, ,n2,求出 1 2 的置信区间。 y 2 iid iid
例
随机地从两包装的食糖中分别取了4箱 和5箱测得重量分别为 甲 : 143 , 142 , 143 , 137 乙 : 140 , 142 , 136 , 138 , 140 2 2 设两重量数据分别来自 N (1 , 1 ), N ( 2 , 2 ) , 且两样本相互独立 2 2 (1) 若1 8.25 , 2 5.2 . 2 ( 2) 1 2若未知. 2 分别求出1 2的置信度为0.95的置信区间.
Stop
例
其中, 均为未知 . X 1 , X 2 ,, X n 为 总体的 一个样本. 求, 的矩估计.
设总体X的分布函数为 x 1 e , x F ( x) 0, x
Stop
例 设总体X的均值为 , 方差为 2 , 且 0, 和 2均未知. 试求 M 和 2 . ˆ ˆM 例 设X 1 ,, X n ~ N ( , 2 ), , 0, 2 试求 M 和 M . ˆ ˆ
例 设X 1 ,, X n为总体X的一个样本.试证明 1 3 1 1 X 1 X 2 X 3 ˆ 5 10 2 1 1 5 2 X1 X 2 X 3 ˆ 3 4 12 都是E ( X )的无偏估计. 并比较哪个更有效 ?
2. 有效性
Stop
3. 一致性 ˆ ˆ 设 ( X 1 ,, X n )是的估计量 , 若 P ˆ , 则称是的一致估计量. ˆ 例 设X1, ,X n ~ B( m , p ), 0 p 1, ˆ m 已知, 试求出pMLE,并讨论其一致性。
iid
例
使C X i 1 X i 为的无偏估计.
i 1
n 1
设X 1 , , X n ~ N (, 2 ), 试确定常数C ,
iid
Stop
ˆ ˆ 设 i i ( X 1 ,, X n ), i 1, 2分别是参数 ˆ ˆ ˆ 的两个无偏估计, 若D(1 ) D( 2 ), 则称1 ˆ 比 2有效.
(1) 解似然方程法
iid
[ L(1 ,, m )] [ln L(1 ,, m )] 0, 0 j j
称为未知参数 j的似然方程。若该方程有解,
ˆ ˆ 则其解就是 j j ( X 1 , , X n )
L L
Stop
(2) 直接法 由似然方程解不出j的似然估计时,可由 定义通过分析直接推求。 ˆ 事实上 j 满足
Stop
2. 单正态总体方差的置信区间
设X 1, , n ~ N (, 2 ) ,给定x1, ,n, X x 2 求出(或)的置信区间。 (1) 未知 ( n - 1)S 2 2 2 令 ~ ( n 1) 2 即得 2的置信度为1- 的置信区间为
iid
( n - 1)s ( 2 , /2 ( n 1)
2
( n - 1)s ) 2 1 /2 ( n 1)
2
Stop
同时,也可得到 的置信度为1- 的置信区间
( ( n - 1) s 2 , 2 /2 ( n 1) ( n - 1) s 2 ) 2 1 /2 ( n 1)
例 经计算由 只灯泡所组成的一个样 200 本的 寿命的标准差为100小时 . 假定这种灯泡的寿 命近似地服从正态分布. 求所有这种灯泡的 方差和标准差的99%的置信区间 .
Stop
点估计量的评选标准 1. 无偏性 ˆ ˆ ˆ 设 ( X 1 ,, X n )为的估计量, 若E () ˆ 则称是的无偏估计量 .
Stop
例 设X 1 ,, X n ~ N ( , 2 ), , 0, 试讨论 MLE和 2 的无偏性. ˆ ˆ MLE
Ch7 参 数 估 计
Stop
点估计 1. 参数估计的概念 定义 设X1, … , Xn是总体X的一个样本,其概 率函数为 f (x; ), 。其中为未知参数, 为 参数空间, f (x; )可表示分布律或密度函数. 若统 计量g(X1, … , Xn)可作为 的一个估计,则称 ˆ 其为的一个估计量,记为 ˆ 即 g( X 1,, X n ). ˆ g( x1 ,, xn )称为 的估计值,
Stop
(1) 1, 2未知
令 F
2 S1 2 S2 2 1 2 2
~ F (n1 1, n2 1)
1 n1 1 n2 2 2 其中S1 ( X i X )2 , S 2 (Yi Y )2 n1 1 i 1 n2 1 i 1
可得
2 1
2 2 2 S2 S1 S2 ( , ) F / 2 ( n1 1, n2 1) F1-/2 ( n1 1, n2 1)
iid
Stop
区间估计 iid 设 X 1 ,, X n ~ f ( x; ) , , i= i(X1,,Xn ),i=1,2,为两个统计量, 任给:0<<1,有P{ 1< < 2} =1, 则称( 1, 2)为的置信度为1的置信区间, 1 为置信下限, 2为置信上限。 ( 1, 2)也称为 的区间估计。
Stop
(2) 已知
令
2
2 nS
2
, ~ ( n)
2
1 n 2 2 其中S ( X i ) . n i 1 2和 的置信度为1的置信区间分别为 即得
(
2 nS 2
( n)
2
,
2 nS 2 1
( n)
2
) 与(
2 nS 2
( n)
x z / 2
( x z / 2 , x z / 2 ) 。 n n n
Stop
例 某车间生产滚珠 , 其直径X是随机变量 , 总体X ~ N ( , 0.06) . 从某一天的产品中随机 地抽取六件样品 , 测得其直径为(单位 : mm ) 14.60 , 15.10 , 14.90 , 14.80 , 15.20 , 15.10 求的置信度为1 0.95的置信区间.
iid
Stop
极大似然估计法
设X 1 ,, X n ~ f ( x; 1 , 2 ,, m ), j , 则称 L(1 , 2 ,, m ) f ( xi ; 1 , 2 ,, m )
n i 1 iid
为该总体的似然函数。 定义 若有 , 使得 ˆ
iid