(完整版)数列部分易错题选及答案(可编辑修改word版)

∑ 数列部分易错题选
一、选择题
1. 设 s n 是等差数列｛ a n ｝ 的前 n 项和， 已知 s 6 =36,
s n =324, s n -6 =144 (n >6), 则
n=(
) A 15
B
16
C
17
D
18
正确答案：D 错因：学生不能运用数列的性质计算 a 1 +a n =
36 + 324 - 144
6
2. 已知 s n 是等差数列｛a n ｝的前 n 项和，若 a 2 +a 4 +a 15 是一个确定的常数，则数列｛s n ｝
中是常数的项是（
）
A
s 7
B
s 8
C
s 11
D
s 13
正确答案: D 错因：学生对等差数列通项公式的逆向使用和等差数列的性质不能灵
活应用。

3. 设｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝为等比数列，其公比 q≠1, 且 b i ＞0(i=1、2、3
…n) 若 a
1 =b 1 ,a 11 =b 11 则 (
)
A a 6 =b 6
B
a 6 ＞
b 6
C
a 6 ＜
b 6
D
a 6 ＞
b 6 或 a 6 ＜b 6
正确答案 B 错因：学生不能灵活运用等差中项和等比中项的定义及基本不等式。

4. 已知非常数数列｛a ｝，满足 a 2 -a a +a 2 =0 且 a ≠a
, i=1、2、3、…n,对于给
n
i +1
i i +1
i
i +1
i -1
n -1 定的正整数 n,a 1 =a i +1 ,则
a
i
i =1
等于（ ） A
2
B
-1
C
1
D
正确答案：D
错因：学生看不懂题目，不能挖掘题目的隐含条件，｛a n ｝的项具有
周期性。

5. 某人为了观看 2008 年奥运会，从 2001 年起每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储蓄， 若年利率为 p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到 2008 年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）．
A
a(1+p) 7
B
a(1+p) 8
C a
[(1 + p )7 - (1 + p )]
p
D
a
[(1 + p )8 - (1 + p ) ] p
正确答案：D 错因： 学生对存款利息的计算方法没掌握。

6. 一个只有有限项的等差数列，它的前 5 项的和为 34，最后 5 项的和为 146，所有项的和为 234，则它的第七项等于（ ）
A. 22
B. 21
C. 19
D. 18
解：设该数列有 n 项
且首项为a 1 ，末项为a n ，公差为 d
则依题意有
⎧
⎪5a 1 + 10d = 34 ⎪
⎨5a n - 10d = 146
(1) (2) ⎪a + a ⎪ 1 n ⋅ n = 234 (3)
⎩ 2
(1) + (2) 可得
a 1 + a n = 36
代入(3)有 n = 13 从而有a 1 + a 13 = 36
又所求项a 7 恰为该数列的中间项，
∴ a 7 =
a 1 + a 13 2 = 36 = 18 2
故选 D
说明：虽然依题意只能列出 3 个方程，而方程所涉及的未知数有 4 个，但将a 1 + a n 作
为一个整体，问题即可迎刃而解。

在求a 7 时，巧用等差中项的性质也值得关注。

知识的灵
活应用，来源于对知识系统的深刻理解。

7.
x = 是a ，x ，b 成等比数列的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解： x = ab ，a 、x 、b 不一定等比 如a = b = x = 0 若a 、x 、b 成等比数列
则 x = ± ∴选 D
说明：此题易错选为 A 或 B 或 C ，原因是等比数列{a n } 中要求每一项及公比q 都不为零。

8. 已知 S k 表示{a n }的前 K 项和，S n —S n+1=a n （n ∈N +），则{a n }一定是。

A 、等差数列
B 、等比数列
C 、常数列
D 、以上都不正确
ab ab
正确答案：D
错误原因：忽略a n=0 这一特殊性
9.已知数列—1，a ，a ，—4 成等差数列,—1，b ,b ,b ,—4 成等比数列，则a
2
-a
1 的值为
1 2。

1 1 1 1
2 3
2 1 1
A、B、— C 、或—D、
2 2 2 2 4
正确答案：A
错误原因：忽略b2为等比数列的第三项，b2符号与—1、—4 同号
10.等比数列{a n}的公比为q，则q＞1 是“对于任意n∈N+”都有a n+1＞a n的条件。

A、必要不充分条件
B、充分不必要条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
正确答案：D
错误原因：忽略a1与q 共同限制单调性这一特性
11.数列{a n }的前n 项和为s n =n2+2n-1，
则a1+a3+a5+……+a25=( )
A 350
B 351
C 337
D 338
正确答案：A
错因：不理解该数列从第二项起向后成等差数列。

12.在等差数列{a n }中a10 < 0, a11 > 0,且a11 >| a10 |，则在 S n中最大的负数为（）
A．S17B．S18C．S19D．S20
答案：C
错因：等差数列求和公式应用以及数列性质分析错误。

13.已知三个互不相等实数a, b, c 成等差数列，那么关于x 的方程ax2+ 2bx +c = 0
A，一定有两个不相等的实数根B，一定有两个相等的实数根
C, 一定没有实数根D，一定有实数根
正确答案：D
错因：不注意ａ＝０的情况。

14.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
正确答案：D
错因：误认为公比一定为整数。

15.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列四组量中，一定能成为数列{a n }“基本量”的是（）
（1）s1,s2，（2）a2,s3（3）a1 ，a n，（4）q,a n
b
n + 2
6 1 A.（1）（3） B .（1） （4） C.（2） （3） D.（2）（4）
正确答案(B)
错因:题意理解不清
s n S n + 2 16. 已知等差数列｛a n ,｝的前 n 项和为 s n ，且 S 2=10,S 5=55,则过点 P(n, n )，Q(n+2, )(n∈
N+*)的直线的斜率为
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
正确答案： D
错因：不注意对和式进行化简。

1
17.
在 和n + 1之间插入 n 个正数，使这 n +2 个正数成等比数列，则插入的 n 个正数之积 n
为.
.
正确答案： (
n + 1 n
) 2
n
错因：无法探求问题实质，致使找不到解题的切入点。

18. 数列{a
}满足 a 2a n = { ,0 ≤ a n < 2
，若 a
= ，则 a 的值为（ ）
n n +1
6 2a n
5 - 1, 1 ≤ a < 1 1
7 2 n
3 200
4 1
A. B. C. D.
7
7 7 7
正确答案：C
错因：缺研究性学习能力
1
19. 已知数列{a n }的前 n 项和为 S n = 2
n (5n -1) ， n ∈ N + ，现从前 m 项： a 1 ， a 2 ，…， a m
中抽出一项（不是 a 1 ，也不是 a m ），余下各项的算术平均数为 37，则抽出的是
A ．第 6 项
B ． 第 8 项
C ． 第 12 项
D ．第 15 项
正确答案：B
20. 某种细菌 M 在细菌 N 的作用下完成培养过程，假设一个细菌 M 与一个细菌 N 可繁
殖为 2 个细菌 M 与 0 个细菌 N ,今有 1 个细菌 M 和 512 个细菌 N ,则细菌 M 最多可繁
殖的个数为 A ．511 B.512 C.513 D.514 正确答案：C
21. 等比数列
{a n } 中， a 1 = 512 ，公比 q = - 2
则∏1 ∏2 ...∏n 中最大的是（ ）
，用∏n 表示它前 n 项的积： ∏n = a 1a 2 ...a n ，
A
∏11
B
∏10
C
∏9
D
∏8
1
正确答案：C
1+ x
22. 已 知 f (x ) =
， 对 于 2 - x
x ∈ N ， 定 义 f 1 (x ) = f (x ) ， f n +1 (x ) = f ( f n (x )) 假 设 f 13 (x ) = f 31 (x ) ，那么 f 16 (x ) 解析式是（ ）
x +1
x -1
x
x
A
B
C
D
x x 正确答案：B
x +1 x -1
23. 如图①，②，③，……是由花盆摆成的图案，
①
② ③
根据图中花盆摆放的规律，猜想第 n 个图形中花盆的盆数 a n = .
正确答案： 3n 2 - 3n +1
24.
{a n }是 实 数 构 成 的 等 比 数 列 ， S n 是 其 前 n 项 和 ， 则 数 列 {S n } 中
（
）
A 、任一项均不为 0
B 、必有一项为 0
C 、至多有有限项为 0
D 、或无一项为 0，或无穷多项为 0
正确答案：D
25.
x = 是 a ，x ，b 成等比数列的（
）
A 、充分非必要条件
B 、必要非充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分又不必要条件
答案：D
点评：易错选 A 或 B 。

26．数列 1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2n 各项和为（ ）
A 、2n+1－2－n
B 、2n －n －1
C 、2n+2－n －3
D 、2n+2－n －2 答案：C
点评：误把 1+2+4+…+2n 当成通项，而忽略特值法排除，错选 A 。

27. 已知数列{a n }的通项公式为a n =6n －4，数列{b n }的通项公式为b n =2n ，则在数列{a n }的前 100
项中与数列{b n }中各项中相同的项有（ ） A 、50 项 B 、34 项 C 、6 项 D 、5 项点评：列出两个数列中的项，找规律。

28.已知数列{a n }中，若2a n = a n -1 + a n +1 (n ∈ N * , n ≥2)，则下列各不等式中一定成立的是（
）。

ab
3 3 3 3 n n -1 n +1 A. a 2 a 4
B. a 2 a 4 ≤ a 2
< a 2
C. a 2 a 4
D. a 2 a 4 ≥ a 2
> a 2
正解：A 由 于
2a = a + a (n ∈ N *
,
n ≥ 2)，
∴{a n } 为 等 差 数 列 。

a a = (a + d )(a + 3d ) = a 2 + 4a d + 3da 2
2 4
1
1
1
1
而 a 2 = (a + 2d )2 = a 2 + 4a d + 4d 2 ∴ a a - a 2 = -d 2 ≤0 ∴ a a ≤ a 2
3
1
1
1
2 4
3
2 4
3
误解：判断不出等差数列，判断后，是否选用作差法。

29.某工厂第一年年产量为 A ，第二年的增长率为 a ，第三年的增长率为 b ，这两年的平均增长率为 x ，则（ ）。

a + b
E.
x =
F. x ≤
2
a + b
2 G. x >
a + b
2 a + b
H. x ≥
2
正解：B
设平均增长率为 x ，
A (1 + x )2 = A (1 + a )(1 + b )
∴(1 + x )2 = (1 + a )(1 + b )
∴ x = - 1 ≤ 1 + a + 1 + b - 1 =
a + b
A (1 + a )(1 + b ) - A 误解： =
2 A
2 1 + ab + a + b - 1 2 2
= ab 2 + a + b
2 3
0. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2 表示二
进制数，将它转换成十进制形式，是1⨯ 23 + 1⨯ 22 + 0 ⨯ 21 + 1⨯ 20 = 13 ，那么二进制数
(11...1)2 转换成十进制形式是（
）
16个
I.
217-2 J. 216-2 K. 216-1 L. 215-1
正解：C
(1 + a )(1 + b )
(11...1)2 = 2 16个
+ 214 + ... + 20
= 1 - 216 1 - 2
= 216 - 1
误解：①没有弄清题意；② (11...1)2
16个
= 216 + 215 + ... + 21 = 217 - 2
31．在数列{ a n }中， a 1 = -2,2a n +1 = 2a n + 3 ，则 a n 等于（
）。

27 M.
2
N. 10 O. 13 P. 19
3
正解：C 。

由 2 2a n +1 = 2a n +3 得 a n +1 - a n = 2
，∴{ a n }是等差数列
3
∵ a 1 = -2, d = 2
, a 11 = 13
误解：A 、B 、D 被式子2a n +1 = 2a n + 3 的表面所迷惑，未发现{ a n }是等差数列这 个本质特征，而只由表面的递推关系得到，从而计算繁琐，导致有误。

32.
已知等比数列{ a }的首项为 a ，公比为 q ，且有lim( a 1 - q n ) = 1
，则首项 a 的取
n 1 n →∞ 1 + q 2 1
值范围是（
）。

1
Q. 0 < a 1 < 1且a 1 ≠ 2
R. 0 < a 1 < 3或a 1 = -3
S.
0 < a < 1
1
2
T. 0 < a < 1且a ≠ 1
或a = 3
1 1
2 1
正解：D 。

① q = 1 时， lim( a 1 -1) = 1
，∴ a = 3 ；
n →∞ 2 2 1
② q < 1 且 q ≠ 0 时lim( a 1 ) = 1
∴ a = 1+ q n →∞ 1+ q 2 1 2 1
-1 < q < 1 且 q ≠ 0 ，∴0 < a 1 < 1且a 1 ≠ 2。

∴选 D 。

误解：①没有考虑 q = 1 ，忽略了 a 1 = 3；
②对 q ，只讨论了0 < q < 1或-1 < q < 0 ，或-1 < q < 1，而得到了错误解答。

33. 在∆ ABC 中， a , b , c 为∠A , ∠B , ∠C 的对边，且cos 2B + cos B + cos( A - C ) = 1，则
15
ab ab n n （
）。

U. a , b , c 成等差数列
V. a , c , b 成等差数列
W. a , c , b 成等比数列
X. a , b , c 成等比数列
正解：D 。

B = - ( A +
C )
∴cos B = -cos( A + C )
即cos 2B - cos( A + C ) + cos( A - C ) = 1
2 sin A sin c = 1 - cos 2B ， 2 sin A sin C = 2 sin 2 B
∴sin 2 B = sin A sin C ⇒ b 2 = ac
注意：切入点是将cos B 恒等变形，若找不准，将事倍功半。

34.
x= 是 a 、x 、b 成等比数列的(
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
错解：C 或 A
错因：①误认为 x= 与 x 2 = ab 。

②忽视 x , ab 为零的情况。

正解：D
35. 若 a , b , c , d 成等比数列，则下列三个数：① a + b , b + c , c + d
② ab , b c , cd
③ a - b , b - c , c - d ，必成等比数列的个数为（
）
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
错解: A.
错因:没有考虑公比 q = 1 和 q = -1 的情形,将①③也错认为是正确的.
正解: C.
36. 已知{a }是递增数列，且对任意 n ∈ N * 都有 a = n 2
+
n 恒成立，则实数的取值范围
（D ）
7
A 、( - ，+ ∞)
2
B 、( 0，+ ∞)
C 、( - 2，+ ∞)
D 、( - 3，+ ∞)
错解：C
错因：从二次函数的角度思考，用-
< 1 2
3 5 7 5 3 正解：D 。

37. 等比数列{a n }中，若 a 3 = -9 ， a 7 = -1 ，则 a 5 的值
（A ）是 3 或－3 （B ） 是 3 （C ） 是－3 （D ）不存在
错解：A
错因：直接 a = -9 ， a ， a = -1 成等比数列， a 2 = (-9)(-1) ，忽视这三项要同号。

正解：C
38. 数列{a n }的前 n 项和 s n
= n 2 + 2n - 1,则a + a 3 +
a 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 25 =
.
A 、350
B 、351
C 、337
D 、338
答案：A 错解：B
错因：首项不满足通项。

39. 在等差数列{a n
数是（ ） }中，
a 11
a 10
< -1，若它的前 n 项和 Sn 有最大值，那么{S n
} 中的最小正
A 、S 17
B 、S 18
C 、S 19
D 、S 20
答案：C 错解：D 错因：
a 11
a 10
< -1化简时没有考虑 a 10
的正负。

40. 若 a,b,a+b 成等差数列，a,b,ab 成等比数列，且0 < log m (ab ) < 1，则 m 的取值范围是
（
） A 、(1,+∞)
B 、(1,8)
C 、(8,+∞)
D 、(0,1) ⋃ (8,+∞)
答案：C 错解：B
错因：对数函数的性质不熟。

41.
已知数列{a n }的通项公式为 a n
= ( ) 4 n -1 3 [( ) 4
n -1
- 1] ，则关于 a n 的最大，最小项，叙述 正确的是（ ）
A 、最大项为 a 1,最小项为 a 3
B 、最大项为 a 1,最小项不存在
C 、最大项不存在，最小项为 a 3
D 、最大项为 a 1,最小项为 a 4
答案：A 错解：C
错因：没有考虑到 n ∈ N + 时， 0 < ( 3)n -1 ≤ 1 4
42. 等比数列
{a n }中，已知a 1 = 1,公比q = 2,则a 2和a 8 的等比中项为（
）
A 、16
B 、±16
C 、32
D 、±32
1
⎨
2n - 5(n ≥ 2)
S 正确答案：（B ）
错误原因：审题不清易选（A ），误认为是a 5 ，实质为± a 5 。

43. 已知
{a n }的前 n 项之和 S n = n 2
- 4n + 1,则a + a 2
+ … a n
的值为 （
）
Ａ、67
Ｂ、65 Ｃ、61
Ｄ、55
正确答案：A 错误原因：认为{a n
}为等差数列，实质为 a n = ⎧- 2(n = 1) ⎩
二填空题：
1. 在等比数列
{a n } 中，若
a 3 = -9, a 7 = -1, 则 a 5 的值为
[错解] 3 或-3
[错解分析] 没有意识到所给条件隐含公比为正 [正解] -3
2. 实数项等比数列
{a } 的前n 项的和为 S ，若 S 10 = 31
，则公比 q 等于 -
n
1 [错解]
8
n
32
[错解分析]用前n 项的和公式求解本题,计算量大,出错,应活用性质
1
[正解] -
2
3. 从集合
{1, 2, 3, 4,⋅⋅⋅, 20} 中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数
列最多有 [错解]90 个
[错解分析]没有考虑公差为负的情况,思考欠全面[正解]180 个
4. 设数列
{a },{b }(b > 0), n ∈ N * 满足 a = lg b 1 + lg b 2 + ⋅⋅⋅ + lg b n ，则{a
} 为等差数
n n n n n
n 列是{b n } 为等比数列的
条件
[错解]充分
[错解分析] 对数运算不清,判别方法没寻求到或半途而废 [正解]充要
5. 若数列
{a } 是等差数列，其前 n 项的和为 S ，则b =
S n
, n ∈ N *,{b } 也是等差数列，
n
n
n
n
n
类比以上性质，等比数列{c n }, c n > 0, n ∈ N * ，则 d n = ，{d n } 也是等比数列
[错解]
S n
n
1 5
n ⎩
[错解分析] 没有对 S n
仔细分析,其为算术平均数,
n
[正解]
6．已知数列{a n } 中， a 1 = 3, a 2 = 6, a n +2 = a n +1 - a n , 则 a 2003 等于
[错解] 6 或 3 或-3
[错解分析] 盲目下结论,没能归纳出该数列项的特点 [正解] -6
7. 已 知 数 列 {a n } 中 ， a = n 2
+
n （ 是 与 n 无 关 的 实 数 常 数 ）， 且 满 足
a 1 < a 2 < a 3 < ⋅⋅⋅a n < a n +1 < ⋅⋅⋅，则实数的取值范围是
[错解] (-∞, -3)
[错解分析]审题不清,若能结合函数分析会较好[正解] (-3, +∞)
8. 一种产品的年产量第一年为 a 件，第二年比第一年增长p 1 ﹪，第三年比第二年增长p 2 ﹪，
且p 1 > 0, p 2 > 0, p 1 + p 2 = 2 p ，若年平均增长 x ﹪，则有 x p (填≤ 或≥ 或=)
[错解] ≥
[错解分析]实际问题的处理较生疏,基本不等式的使用不娴熟[正解] ≤
9. 给定 a n = log
n +1 (n
+ 2)(n ∈ N + )，定义使 a ⋅ a
2
⋅ ⋅ ⋅ a k 为整数的 k (k ∈ N + )叫做“企盼
数”，则在区间(1，62)内的所有企盼数的和是 .
正确答案：52
错因：大部分学生难以读懂题意，也就难以建立解题数学模型。

10. 数列{a n }的前 n 项和 S n =n 2+1，则 a n =
⎧2
答案：a n = ⎨2n - 1
n = 1 n ≥ 2
点评：误填 2n －1，忽略“a n =S n －S n －1”成立的条件：“n ≥2”。

11. 已知{a n }为递增数列，且对于任意正整数 n ，a n =－n 2+λn 恒成立，则λ的取值范围是
答案：λ>3
点评：利用二次函数单调性讨论较繁，且易错，利用 a n+1>a n 恒成立较方便。

12．关于数列有下列四个判断：
1) 若 a , b , c , d 成等比数列，则 a + b , b + c , c + d 也成等比数列；
2) 若数列{ a n }既是等差数列也是等比数列，则{ a n }为常数列；
n c 1c 2 ⋅⋅⋅ c n
1
104 n n n n
3) 数列{ a }的前 n 项和为 S ，且 S = a n
- 1(a ∈ R ) ，则{ a }为等差或等比数列；
4) 数列{ a n }为等差数列， 且公差不为零， 则数列{ a n }中不会有
a m = a n (m ≠ n ) ，其中正确判断的序号是
（注：把你认为正确判
断的序号都填上）
正解：(2)(4).
误 解 ： (1)(3)。

对 于 (1)a 、 b 、 c 、 d 成 等 比 数 列 。

∴ b 2 = ac
bc = ad ⇒ (b + c )2
= (a + b )(c + d )
c 2 = bd
∴ a + b , b + c , c + d 也 成 等 比 数 列 ， 这 时 误 解 。

因 为 特 列 ：
a = -1,
b = 1,
c = -1,
d = 1时， a , b , c , d 成等比数列，但 a + b = 0 ， b + c = 0 ，
c +
d = 0 ，即0,0,0 不成等比。

对于（3）可证当 a = 1 时，为等差数列， a ≠ 1 时为等比数列。

a = 0 时既不是
等差也不是等比数列，故（3）是错的。

13. 关于 x 的方程 x 2 - (3n + 2)x + 3n 2 - 74 = 0(n ∈ Z ) 的所有实根之和为。

正解：168
方程有实根，
∴ ∆ = (3n + 2)2 - 4(3n 2 - 74) ≥0
解得： 2 - ≤n ≤ 2 +
x 1 + x 2 = 3n + 2
∴所有实根之和为3[(-8) + (-7) + ... + 12] + 2 ⨯ 21 = 168
误解：没能根据条件具体确定 n 的取值，只得出一个关于 n 的多项式结果。

14．有四个命题：
1) 一个等差数列{ a n }中，若存在 a k +1 > a k
n > k ，都有 a n > 0 ；
> 0(k ∈ N ) ，则对于任意自然数
2) 一个等比数列{ a n }中， 若存在 a k
n ∈ k ，都有 a n < 0 ；
< 0, a k +1 < 0(k ∈ N ) ， 则对于任意
104
n 3) 一个等差数列{ a n }中， 若存在 a k
n ∈ k ，都有 a n < 0 ；
< 0, a k +1 < 0(k ∈ N ) ， 则对于任意
4) 一个等比数列{ a n }中，若存在自然数 k ，使 a k ⋅ a k +1 < 0 ，则对于任意
n ∈ k ，都有 a n ⋅ a n +1 < 0 ，其中正确命题的序号是。

正解：由等差数列和等比数列的性质得①②④。

误解：“对于等比数列，若 q > 0 ，各项同号（同正或同负），若 q < 0 ，各项正， 负相间”，学生对此性质把握不清，故认为②④错。

15. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和 S n =a n －1(a ∈ R , a ≠ 0 ),则数列｛a n ｝
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或者是等差数列或者是等比数列
D.既非等差数列又非等比数列
错解：B
错因：通项 a = a n -1 (a - 1) 中忽视 a = 1 的情况。

正解：C
16. 设等差数列{a n }中， a 1 = -3 ，且从第 5 项开始是正数，则公差的范围是
3 （ ，1]
4 3
错解：（ ，+ ∞) 4
错因：忽视 a 4 ≤ 0 ，即第 4 项可为 0。

3 正解：（ ，1] 4
17. 方程(x 2 + mx + 16·) (
x 2 + nx + 16 )
= 0 的四个实数根组成一个首项为 3
的等比数列，则
3 3
2
m - n = 7 正解:
.
18
错 因 :设 方 程 x 2
+ mx +
16
= 0 的 解 为 x , x ;方 程 x 2 + nx +
16
= 0 的 解 为 x , x ,则
3 1 2 3
3 4
x x = x x = 16 ,不能依据等比数列的性质准确搞清 x , x , x , x
的排列顺序. 1 2 3 4 3
1 2 3 4
18. 等差数列｛a n ｝中, a 1=25, S 17= S 8 ,则该数列的前
项之和最大，其最大值为。

错解：12
错因：忽视 a 13 = 0
=
正解：12 或 13 ，
325 2
1
19．若 a n = 1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n ，则数列{ n
2n
}的前 n 项和 Sn=。

答案：
错解：
n + 1
n
n + 1
错因：裂项求和时系数 2 丢掉。

20
. 已知数列{a }是非零等差数列，又 a ,a ,a
组成一个等比数列的前三项，则 a 1 + a 3 + a 9
n
的值是。

13
1 3 9
a 2 + a 4 + a 10
答案：1 或 16
13
错解：
16
错因：忘考虑公差为零的情况。

21. 对 任 意 正 整 数 n, a n = n 2 + n 满 足 数 列 是 递 增 数 列 ， 则 的 取 值 范 围
是。

答案：由a n +1 > a n 得> 3
错解：
> -2
错因：利用二次函数的对称轴，忽视其与
=
3 的关系。

2
2.
数列{a n }的前 n 项之和为 S n = 2n 2 + 3n ，若将此数列按如下规律编组：（
a ）、( a 2 ,
a 3 )、（ a 4 ， a 5 ， a 6 ）、……，则第 n 组的 n 个数之和为。

正确答案： 2n 3 + 3n
错误原因：未能明确第 n 组各项的构成规律，尤其是首项和最后一项，从而找不到合适的解
法，应转化为： S n (n + 1) - S
2 n (n -1) 2
⎧ 1 ⎫
23．若 a n =1+2+3+…+n ，则数列⎨ ⎩ ⎬ 的前 n 项之和 S n = 。

n ⎭
2n
正确答案： S n n + 1
1
错误原因：未能将 a n 先求和得 a n = 2
n (n + 1),另有部分学生对数列的裂项求和意识性
不强。

1 a a
2 2 2 2 n +
n n n -1 ⎩ 3 a 24．若数列{a
}为等差数列且b =
a 1 + a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n
，则数列{b }也是等差数列，类比
n
n
n
n
上述性质， 相应地若数列 {c n }是等比数列，且c n ＞ 0， d n =
， 则有
{d n }也是等比数列（以上n ∈ N ）
正确答案： d n = 错误原因：类比意识不强
三、解答题：
1. 设数列的前n 项和为 S = n 2 + 2n + 4(n ∈ N ) ，求这个数列的通项公公式 a n = S n - S n -1 , [错解]
∴ a n = 2n +1(n ∈ N * )
[错解分析]此题错在没有分析 n = 1 的情况， 以偏概全． 误认为任何情况下都有
a = S - S (n ∈ N *
)
n = 1时,a 1 = S 1 = 7,
[正解]
n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 = 2n -1
⎧ 7 (n = 1) 因此数列的通项公式是 a n = ⎨2n +1(n ≥ 2) 2. 已知一个等比数列
{a } 前四项之积为
1
，第二、三项的和为 ，求这个等比数列的公
n
16
比．
[错解] 四个数成等比数列，可设其分别为
a a , , aq , aq
, ⎧ a 4 = 1
⎪
16 q 3 q
则有⎨
⎪ + aq = ⎪⎩ q
，解得 q = ±1 或 q = - ±1 ，
故原数列的公比为 q 2 = 3 + 2 或 q 2 = 3 - 2
[错解分析]按上述设法，等比数列公比 q 2 > 0 ，各项一定同号，而原题中无此条件
[正解]设四个数分别为 a , aq , aq 2 , aq 3,
n c 1c 2 ⋅ ⋅ ⋅ c n 2 2
k + 1 ⎪ ⎧ a 4q 6 = 1 则⎨
16 ， ⎪⎩
aq + aq 2 = ∴(1+ q )4
= 64q 2
由 q > 0 时，可得 q 2 - 6q +1 = 0,∴ q = 3 ± 2 2;
当 q < 0 时，可得 q 2 +10q +1 = 0,∴ q = -5 - 4
3.
已知正项数{a }满足 a = a (0<a<1) ，且 a
≤ a n
，求证： n
1
n +1
1 + a n
a n
n
a k
(I)
a n ≤
1 + (n - 1)a
；
(II)
∑ < 1.
k =1
解析：(I) 将条件 a
n +1 ≤ a n
1 + a n
变形，得
1
- 1
a n +1 a n
≥ 1.
于是，有 1 - 1 ≥ 1 ， 1 - 1 ≥ 1 ， 1 - 1 ≥ 1 ，…… 1 - 1
≥ 1.
a 2 a 1 a 3 a 2 a 4 a 3
a n a n -1
将这 n-1 个不等式叠加，得 1 - 1
a n a ≥ n - 1，故 a n ≤
a n . 1 + (n - 1)a
(II) 注意到 0<a<1，于是由(I)得 a n
≤ a n
= 1 + (n - 1)a 1 < 1 ， 1 + n - 1 n
a
n
a k n 1
n
⎛ 1 1 ⎫ 1 从而，有∑ k + 1 < ∑ k (k + 1) = ∑
k - k + 1 ⎪ = 1 - n + 1 < 1 .
k =1 k =1 k =1 ⎝
⎭
4.
已知数列{a n } 的前 n 项和 S n 满足log 2 (S n + 1) = n + 1，求数列{a n } 的通项公式。

解： log 2 (S n + 1) = n + 1
∴ S n + 1 = 2n +1 ，S n = 2n +1 - 1
当 n = 1时， a 1 = S 1 = 3
当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2n
∴{a n } 的通项公式为
2 6
⎧3 a n = ⎨ ⎩2n
(n = 1) (n ≥ 2)
说明：此题易忽略 n = 1的情况。

a n = S n - S n -1 应满足条件 n ≥ 2 。

5. 等比数列
{a n } 的前 n 项和为 S n ，S 3 + S 6 = 2S 9 ，求公比q 。

解：若q = 1
则 S 3 = 3a 1，S 9 = 9a 1，S 6 = 6a 1
∴ 9a 1 = 2 ⨯ 9a 1 a 1 ≠ 0 ∴矛盾
∴ q ≠ 1
a (1 - q 3 ) a (1 - q 6 ) a (1 - q 9 )
∴ 1 + 1 = 2 ⋅ 1
1 - q 1 - q 1 - q ∴ q 3(2q 6 - q 3 - 1) = 0 q ≠ 0
∴ 2q 6 - q 3 - 1 = 0 ∴(2q 3 + 1)(q 3 - 1) = 0 q ≠ 1 ∴ 2q 3 + 1 = 0
∴ q = 2
说明：此题易忽略q = 1 的情况，在等比数列求和时要分公比q = 1和q ≠ 1两种情况进 行讨论。

6．求和1 + 2x + 3x 2 + +nx n -1 。

解：若 x = 0 则 S n = 1 若 x = 1
则 S n =
若 x ≠ 0 且 x ≠ 1
n (n + 1) 2
令 S n = 1 + 2x + 3x 2 + +nx n -1
-3 4
n n 1 1
则 xS = x + 2x 2 + 3x 3 + +(n - 1)x n -1 + nx n 两式相减得
(1 - x )S = 1 + x + x 2 + + x n -1 - nx n 1 - x n
∴ S n = (1 - x ) 2
- nx n
1 - x 说明：此题易忽略前两种情况。

数列求和时，若含有字母，一定要考虑相应的特殊情况。

7. 已知数列{a n }的前 n 项和 S n =n 2—16n —6，求数列{|a n |}的前 n 项和 S n ’
正确答案：S n ’= —n 2+16n+6 n ≤8 时
n 2—16n+134 n ＞8 时
错误原因：运用或推导公式时，只考虑一般情况，忽视特殊情况，导致错解。

8. 已知函数 f(x)= —Sin 2x —aSinx+b+1 的最大值为 0，最小值—4 ，若实数 a ＞0，求 a 、b 的值。

正确答案：a=2 b= —2
错误原因：忽略对区间的讨论。

9. 数列{a n }的前 n 项和 S n =n 2—7n —8 求数列通项公式正确答案：a n = —14 n=1
2n —8 n ≥2
错误原因： n ≥2 时，a n =S n —S n —1 但 n=1 时，不能用此式求出 a 1 10．求和(x+ 1 )2+（x 2+ 1 x
x 2
）2+……(x n + 1
)2
x n
正确答案：当 x 2=1 时 S n =4n
(x 2n - 1)(x 2n +2 - 1)
当 x 2≠1 时 S n =
x 2n (x 2 - 1)
+2n
错误原因：应用等比数列求和时未考虑公比 q 是否为 1
11. 学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐，每星期一有 A 、B 两样特色菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），调查资料表明，凡是在本周星期一选 A 菜的，下周星期一会有 20％改选 B ， 而选 B 菜的，下周星期一则有 30％改选 A ，若用 A n 、B n 分别表示在第 n 个星期一选 A 、B 菜的
人数。

（1）试以 A n 表示 A n +1 ；（2）若 A 1 =200，求{A n }的通项公式；（3）问第 n 个星期一时，
选 A 与选 B 的人数相等？
正确答案：（1）由题可知， A n +1 = A n ⋅ (1 - 0.2) + 0.3 ⋅ B n ，又 A n + B n = 1000 ；
所 以 整 理 得 ： A n +1 = 2 A n + 300 。

（ 2） 若 A 1 =200，
且 A n +1 = 2
A n + 300 ， 则 设 A + x = 1
( A + x ) 则 x = -600 ， n +1
2 n
1 1
∴ A n +1 - 600 = 2 ( A n - 600) 即{A n -600}可以看成是首项为-400，公比为 2
的等比数列。

n ∈ ∴ A n = (-400) ⋅ ( 1 )n -1 + 600 ； （ 3） ∵ A =B 2
n ， 又 A n + B n = 1000 则 A n = 500 ， 由(-400) ⋅ ( 1 ) 2
n -1 + 600 = 500 得n = 3 。

即第 3 个星期一时，选 A 与选 B 的人数相等。

错因：不会处理非等差非等比数列。

12. 设二次函数 f(x)=x 2
+x,当 x ∈[n,n+1](n ∈ N +)时，f(x)的所有整数值的个数为 g(n).
(1) 求 g(n)的表达式；
2n 3 + 3n 2 (2)
设 a n =
( n ∈ N +),Sn=a 1-a 2+a 3-a 4+…+(-1)n-1
a n ,求 Sn;
g (n ) g (n )
(3) 设 b n =
,Tn=b 1+b 2+…+b n, 若 Tn<L( L Z ),求
L 的最小值。

2
n
正确答案：（1）当 x ∈[n,n+1](n ∈ N +)时，函数 f(x)=x 2
+x 的值随 x 的增大而增大，则 f(x) 的值域为[
n 2 + n , n 2 + 3n + 2]
(n ∈ N +) g (n ) = 2n + 3 (n ∈ N +)
（2） a n =
2n 3 + 3n 2
g (n )
= n 2
① 当 n 为偶数时
s n = a 1 - a 2 + a 3 - a 4 + ∨ + a
n -1 - a n = (12 - 22 ) + (32 - 42 ) + ∨ + [(n - 1)2 - n 2 ]
= -[3 + 7 + ∨ + (2n - 1)] = -
②当 n 为奇数时
3 + (2n - 1) • n 2 2 = - n (n + 1)
2
s n = (a 1 - a 2 ) + (a 3 - a 4 ) + ∨ + (a n -2 - a n -1 ) + a n = s n -1 + a n
n (n - 1) = - 2
+ n 2 =
n (n + 1)
2 ∴ s n = (-1)
n -1 n (n + 1)
2
g (n ) 5 7 9
2n + 1 2n + 3 （3）由b n = 2n ，得T n = 2 + 22 + 23 + ∨ + 2n -1 + 2
n ①
1 1 5 7
2n + 1 2n + 3 ①× 2 得： 2 T n = 22 + 23 + ∨ + 2n 2n + 7
+ 2
n +1 ②
①-② 得 T n = 7 - 2n
2n + 7
则由T n = 7 - 2
n ﹤L( L ∈ Z ),L 的最小值为 7。

错因：1、①中整数解的问题
2、②运算的技巧
3、运算的能力
12．已知数列{a n }中，a 1=8, a 4=2 且满足 a n +2 - 2a n +1 + a n = 0(n ∈ N *) （1）求数列{a n }
的
1
1 S n —
n 通项公式（2）设 S n = a 1
+
a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n ，求 S n
（3） 设b n =
n (12 - a )
,Tn = b 1 + b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + b n (n ∈ N *) ，是否存在最大的整数 m ，使得
m
对任意 n ∈ N *, 均有Tn >
答案：(1) a n = -2n + 10
成立？若存在，求出 m ，若不存在，请说明理由。

32
(2)Sn=
- n 2
+ 9n
n 2 - 9n + 40 1 ≤ n ≤ 5 n ≥ 6
(3)由（1）可得b n = 2n (n + 1) = 1 (
1 2 n - 1 )
n + 1
则T = b + b
+ ⋅ ⋅ ⋅ + b = 1 [(1 - 1 ) + ( 1 - 1) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( 1 - 1 )] = 1 (1 - 1
) 由 Tn 为 n 1 2 n
2 2 2 3
1 n n + 1
2 m
n + 1 关于 n 的增函数， 故 (T n ) min = T 1 = 4 ， 于是欲使 Tn > 32
对 n ∈ N * 恒成立， 则
m < 1
则m < 8∴存在最大的整数 m=7 满足题意。

32 4
错因：对（2）中 a n 表达式不知进行分类讨论；对（3）忽视讨论 Tn 的单调性。

13. 已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且满足 a n +2S n ·S n 1=0（n ≥2），a 1= 1
，
2
⎧ 1 ⎫
（1）求证： ⎨ ⎩ ⎬ 成等差数列；（2）求 a n 的表达式。

n ⎭
解：（1）当 n ≥2 时，a n =S n －S n －1，又 a n +2S n S n －1=0，∴S n －S n －1+S n S n －1=0
若 S n =0，则 a 1=S 1=0 与 a 1= 1 矛盾，∴S n ≠0，∴ 1 - 1 = 2 ，又 1
= 2
2 S n S n -1 S 1 ⎧ 1 ⎫
∴ ⎨ ⎬ 成等差数列。

⎩ n ⎭ （2）由（1）知： 1
= 2n ， S = 1
S n 2n
当 n ≥2 时，a n =－2S n S n 1=－
1 ，当 n=1 时，a 1= 1
－ 2n (n - 1) 2
S
0 n n -1 n
n -1 1
n n -1 0 n n -1 0 1
⎧1 ⎪ 2 ∴ a n = ⎨ ⎪-
⎩ 1 2n (n - 1) n = 1
n ≥ 2
点评： 本题易错点忽视公式 a n =S n － S n － 1 成立的条件“ n ≥
2”， 导致（ 2） 的结果
a n = -
1 2n (n - 1)
14. 设 a 为常数，且 a = 3n -1
- 2a (n ∈ N
+)
1) 证明对任意 n ≥1, a n = 1 [3n + (-1)n -1 ⋅ 2n ] + (-1)n 2n
a ； 5 0
2) 假设对任意 n ≥1 有 a n > a n -1 ，求 a 0 的取值范围证明：①设 a -⋅ 3n = -2(a -
⋅ 3n -1 )
用 a n
∴ = 3n -1 - 2a
3n
n -1 代入，解出：
= 5
3 {a n - 5 } 是公比为－2，首项为 a 1
- 5
的等比数列。

3n ∴ a n - 5
= (1 - 2a - 3)(-2) 0 5
n -1
(n ∈ N + ) ， 即
a n = 3n + (-1)n -1 ⋅ 2n 5
+ (-1)n
⋅ 2n a
②若 a n > a n -1 (n ∈ N + ) 成立，特别取 n = 1,2 有
a 1 - a 0 = 1 - 3a 0 > 0, a 2 - a 1 = 6a 6 > 0, ∴ 0 < a 0 < 3
1
下面证明0 < a 0 < 3
时，对任意 n ∈ N + ，有 a n - a n -1 > 0
由 a n 通项公式
5(a - a ) = 2 ⋅ 3n -1 + (-1)n -1 ⋅ 3 ⋅ 2n -1 + (-1)n ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 2n -1 a ，
i ） 当 n = 2k - 1, k = 1,2,... 时，
5(a - a ) = 2 ⋅ 3n -1 + 3 ⋅ 2n -1 - 5 ⋅ 3 ⋅ 2n -1 a > 2
⋅ 2n -1 + 3 ⋅ 2n -1 - 5 ⋅ 2n -1 = 0
ii ） 当 n = 2k , k = 1,2,... 时，
⎪ 0
n n -1 n n n n
3 n 5(a - a ) = 2 ⋅ 3n -1 - 3 ⋅ 2n -1 ≥0 1 故 a 0 的取值范围为(0, 3
)
误解：①对于等比数列：{a n -
n
5
} 先构造出 a n -⋅ 3
= -2(a n -1 -
⋅ 3
n -1 ) 求
= 1
，难度较大，若用数学归纳法证明同学容易想到。

5
②通过对 n 为奇数或为偶数的讨论找出 a 0 的取值范围有难度。

12．关于数列有下列四个判断：
5) 若 a , b , c , d 成等比数列，则 a + b , b + c , c + d 也成等比数列；
6) 若数列{ a n }既是等差数列也是等比数列，则{ a n }为常数列；
7) 数列{ a }的前 n 项和为 S ，且 S = a n
- 1(a ∈ R ) ，则{ a }为等差或等比数列；
8) 数列{ a n }为等差数列， 且公差不为零， 则数列{ a n }中不会有
a m = a n (m ≠ n ) ，
其中, 正确判断的序号是
9．给定 a n = log
n +1 (n + 2)(n ∈ N + )，定义使 a ⋅ a 2 ⋅
⋅ ⋅ a k 为整数的 k (k ∈ N + )
叫做“企盼
数”，则在区间(1，62)内的所有企盼数的和是
.
14．有四个命题：
5) 一个等差数列{ a n }中，若存在 a k +1 > a k
n > k ，都有 a n > 0 ；
> 0(k ∈ N ) ，则对于任意自然数
6) 一个等比数列{ a n }中， 若存在 a k
n ∈ k ，都有 a n < 0 ；
7) 一个等差数列{ a n }中， 若存在 a k
n ∈ k ，都有 a n < 0 ；
< 0, a k +1 < 0(k ∈ N ) ， 则对于任意
< 0, a k +1 < 0(k ∈ N ) ， 则对于任意
1
2 n +
k + 1 8) 一个等比数列{ a n }中，若存在自然数 k ，使 a k ⋅ a k +1 < 0 ，则对于任意
n ∈ k ，都有 a n ⋅ a n +1 < 0 ，其中正确命题的序号是。

16. 方程
(x 2 + mx + 16·) (x 2 + nx + 16 ) = 0 的四个实数根组成一个首项为 3 的等比数列，则
3
3
2
m - n =
17.
等差数列｛a n ｝中, a 1=25, S 17= S 8 ,则该数列的前 项之和最大，其最大值为。

19
. 已知数列{a }是非零等差数列，又
a ,a ,a
组成一个等比数列的前三项，则 a 1 + a 3 + a 9
n
的值是。

1 3 9
a 2 + a 4 + a 10
20. 对 任 意 正 整 数 n, a n = n 2 + n 满 足 数 列 是 递 增 数 列 ， 则 的 取 值 范 围
是。

21
. 数列{a n }的前 n 项之和为 S n = 2n 2 + 3n ，若将此数列按如下规律编组：（ a ）、( a 2 ,
a 3 )、（ a 4 ， a 5 ， a 6 ）、……，则第 n 组的 n 个数之和为。

23．若数列{a
}为等差数列且b =
a 1 + a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n
，则数列{b }也是等差数列，类比
n
n
n
n
上述性质， 相应地若数列 {c n }是等比数列，且c n ＞ 0， d n =
， 则有
{d n }也是等比数列（以上n ∈ N ）.
三、解答题：
1. 设数列的前n 项和为 S = n 2 + 2n + 4(n ∈ N ) ，求这个数列的通项公式
2. 已知一个等比数列
{a } 前四项之积为 1
，第二、三项的和为 ，求这个等比数列的公
n
16
比．
3.
已知正项数{a }满足 a = a (0<a<1) ，且 a
≤ a n ，求证： n
1
n +1
1 + a n
a n
n
a k
(I)
a n ≤
1 + (n - 1)a
；
(II)
∑ < 1.
k =1
10．求和(x+ 1 )2+（x 2+ 1
x
x 2
）2+……(x n + 1
)2
x n
1
∈ 1
0 n n -1 n —
11. 学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐，每星期一有 A 、B 两样特色菜可供选择（每个学生都
将从二者中选一），调查资料表明，凡是在本周星期一选 A 菜的，下周星期一会有 20％改选 B ， 而选 B 菜的，下周星期一则有 30％改选 A ，若用 A n 、B n 分别表示在第 n 个星期一选 A 、B 菜的
人数。

（1）试以 A n 表示 A n +1 ；（2）若 A 1 =200，求{A n }的通项公式；（3）问第 n 个星期一时，
选 A 与选 B 的人数相等？
12. 设二次函数 f(x)=x 2
+x,当 x ∈[n,n+1](n ∈ N +)时，f(x)的所有整数值的个数为 g(n).
(4) 求 g(n)的表达式；
2n 3 + 3n 2 (5)
设 a n =
( n ∈ N +),Sn=a 1-a 2+a 3-a 4+…+(-1)n-1
a n ,求 Sn;
g (n ) g (n )
(6) 设 b n =
,Tn=b 1+b 2+…+b n, 若 Tn<L( L Z ),求
L 的最小值。

2
n
13．已知数列{a n }中，a 1=8, a 4=2 且满足 a n +2 - 2a n +1 + a n = 0(n ∈ N *)
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设 S n = a 1
+
a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n ，求 S n
（3）设b n =
n (12 - a )
,Tn = b 1 + b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + b n (n ∈ N *) ，是否存在最大的整数 m ，使得
m
对任意 n ∈ N *, 均有Tn > 成立？若存在，求出 m ，若不存在，请说明理由。

32
14. 已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且满足 a n +2S n ·S n 1=0（n ≥2），a 1= 1
，
2
⎧ 1 ⎫
（1）求证： ⎨ ⎩ ⎬ 成等差数列； （2）求 a n 的表达式。

n ⎭
15. 设 a 为常数，且 a = 3n -1
- 2a (n ∈ N
+)
3) 证明对任意 n ≥1, a n = 1 [3n
+ (-1)n -1 ⋅ 2n ] + (-1)n 2n a ； 5 0
4) 假设对任意 n ≥1 有 a n > a n -1 ，求 a 0 的取值范围。

S。