2017-2018学年高中数学 第4章 导数及其应用课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2

(2)由f(x)＝x3－3x2＋2得，f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2.
①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x) 在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2， f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.
②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
例 1 (2013· 福 建 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ x － aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))
处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax. (1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2x(x＞0)， ∴f(1)＝1，f′(1)＝－1， ∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0.
(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；
(2)f(x)＝x(x－a)2.
解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－ 2)ex ， 令 f′(x) ＞ 0 ， 解 得 x ＞ 2 ， 又 x∈(0 ， ＋
∞)，
所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单 调减区间(0,2)．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、
最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，
其中最大的一个值为最大值，最小的一个 值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最 小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在 (a，b)内只有一个极值点时，若在这一点 处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x) 在该点处取得最大(最小)值， 这里(a，b)
令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，
a)
a
(a,3 a)
3a
(3a，＋
∞)
f′( x)
－
0＋0
－
f(x)
极
极
小
大
∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函
数．当x＝a时，f(x)取得极小值，f(x)极小值＝f(a)＝b－
题型三 利用导数求函数的极值和最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为 (－∞，＋∞)，即f(x)在R上是递增的． 综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为－∞，a3， (a，＋∞)，单调递减区间为a3，a. a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)， a3，＋∞ ，单 调递减区间为a，a3. a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)由f′(x)＝1－ax＝x－x a，x＞0. ①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函 数f(x)无极值； ②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a； ∵x∈(0，a)时，f′(x)＜0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0 ∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极 大值． 综上当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处 取得极小值a－aln a，无极大值．
解 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝1＋x22－ax＝x2－xa2x＋2.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ＜0即0＜a＜2 2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)
是(0，＋∞)上的单调递增函数．
②当Δ＝0即a＝2 2 时，仅对x＝ 2 ，有f′(x)＝0，对其余的x ＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数． ③当Δ＞0即a＞2 2 时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝ a－ 2a2－8，x2＝a＋ 2a2－8，0＜x1＜x2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
也可以是(－∞，＋∞)．
例3 已知函数f(x)＝12x2－aln x(a∈R), (1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值； (2)求f(x)的单调区间； (3)求证：当x＞1时，12x2＋ln x＜23x3.
(1)解 f′(x)＝x－ax，因为x＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，
则a＝4.此时f′(x)＝x－
x
0 (0,2) 2 (2，t) t
f′(x) 0 － 0 ＋
f(x) 2 ↘ －2 ↗ t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)max＝f(0)＝2.
Байду номын сангаас
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c， g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0
＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝
1 6
＞0，所以当x＞1时，
1 2
x2
＋ln x＜23x3.
跟踪演练3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图 象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x ＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大
章末复习
1．导数的概念及其计算
理解函数的平均变化率，要仔细观察函数 图象的变化特点：一是不同点处的函数平
均变化率不同；二是在同一点处当点P0向P
靠近的不同程度时的函数的变化率的变 化．
导数定义中的Δx→0和
Δy Δx
＝
fx0＋Δx－fx0 Δx
→l中的“→”是
“趋近于”或“无限逼近”的意思．由平均变化率过渡到瞬时
4 x
＝
x＋2x－2 x
，因为f(x)的定义域是
(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，
f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.
(2)解
因为f′(x)＝x－
a x
＝
x2－a x
，所以当a≤0时，f(x)的单调
递增区间为(0，＋∞)．
值和最小值；
(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区 间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取
值范围．
解 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0) 处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝ －3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0， b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f′(x) ＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
此时f(x)在0，a－

2a2－8上单调递增，
在a－

2a2－8，a＋
2a2－8上单调递减，
在a＋ 2a2－8，＋∞上单调递增．
跟踪演练2 求下列函数的单调区间：
4 3
a3；当x＝
3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(3a)＝b.
(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其对称轴为x＝2a. 因为0<a<1，所以2a<a＋1. 所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数． 当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1； 当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4. 于是有24aa－－14≤≥a－，a， 即45≤a≤1. 又因为0<a<1，所以45≤a<1.
变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程．
函数在某点处的导数和导函数是不同的两个概念，类似于函数
值和函数的关系，f′(x0)是常数，而f′(x)是函数，f′(x0)是导 数f′(x)在x0处的函数值．
2．导数的实际应用
利用导数研究函数的单调性，要注意求函 数单调区间的三个步骤，同时要注意函数 的定义域，只能在定义域内，通过讨论导 数的符号，来确定函数的单调区间．否则， 就会出现错误．函数的极值与区间端点的 取值中的最大(或最小)者即为函数的最大 (或最小)值．
当a＞0时，f′(x)＝x－
a x
＝
x2－a x
＝
x＋
ax－ x
a ，所以函数
f(x)的单调递增区间( a，＋∞)；递减区间为(0， a)．
(3)证明 设g(x)＝23x3－12x2－ln x，则g′(x)＝2x2－x－1x，因为
当x＞1时，g′(x)＝
x－12x2＋x＋1 x
＞0，所以g(x)在x∈(1，
跟踪演练1 已知曲线C的方程是y＝x3－3x2＋2x.
(1)求曲线在x＝1处的切线方程；
(2)若l2：y＝kx，且直线l2与曲线C相切于点(x0， y0)(x0≠0)，求直线l2的方程及切点坐标． 解 (1)∵y′＝3x2－6x＋2，
∴y′|x＝1＝3×1－6×1＋2＝－1. ∴l1的斜率为－1，且过点(1,0)． ∴直线l1的方程为y＝－(x－1)， 即l1的方程为x＋y－1＝0.
例4 设函数f(x)＝－13x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取
值范围；
(3)当a＝
2 3
时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相
异的实根，求实数b的取值范围．
解 (1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2 ＝－(x－a)(x－3a)．
题型二 利用导数求函数的单调区间
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a， b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区 间(a，b)内单调递减．
例2
已知函数f(x)＝x－
2 x
＋a(2－ln
x)，a＞0.讨论f(x)的单调
性．
3．定积分的概念 定积分的思想就是无限分割、以直代曲、求和、取极限；
n
lim∑
n→∞i＝1
(ξi)Δx，而bf(x)dx 只是这种极限的一种记号．
a
4．微积分基本定理
用微积分基本定理求定积分，关键是求一个未知函数，使它
的导数恰好是已知的被积函数．
题型一 应用导数解决与切线相关的问题
根据导数的几何意义，导数就是相应切线 的斜率，从而就可以应用导数解决一些与 切线相关的问题．
(2)直线l2过原点，则k＝yx00(x0≠0)， 由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x30－3x02＋2x0， ∴yx00＝x20－3x0＋2. ∵y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3x02－6x0＋2. 又k＝yx00，∴3x02－6x0＋2＝yx00＝x02－3x0＋2，
整理得2x02－3x0＝0.∵x0≠0，∴x0＝32， 此时y0＝－38，k＝－14， 因此直线l2的方程为y＝－14x，切点坐标为32，－38.
(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R， 由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝a3，x2＝a. ①当a>0时，x1<x2.∴函数f(x)的单调递增区间为 －∞，a3 ， (a，＋∞)，单调递减区间为a3，a. ②当a<0时，x1>x2， ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，a3，＋∞， 单调递减区间为a，a3.
g1≥0， 在[1,3]上恰有两个相异的实根，则g2<0，
g3≥0，
解得－2<c≤0.
题型四 导数与函数、不等式的综合应用
利用导数研究函数是高考的必考内容，也是 高考的重点、热点．考题利用导数作为工具， 考查求函数的单调区间、函数的极值与最值， 参数的取值范围等问题，若以选择题、填空 题出现，以中低档题为主；若以解答题形式 出现，则难度以中档以上为主，有时也以压 轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等 式等有关知识，综合性较强．