河南省示范性高中罗山高中2016届高三数学复习 专题加餐训练 导数 理(含解析)

河南省示范性高中罗山高中2016届高三数学（理）专题复习加餐
训练：导数（含解析）
1．设连续函数
0)(>x f ，则当b a <时，定积分⎰b
a dx x f )(的符号（ ）
A ．一定是正的
B ．一定是负的
C ．当b a <<
0时是正的，当0<<b a 时是负的
D ．以上结论都不对
2． 设a 为实数，函数f （x ）=x 3+ax 2
+（a-2）x 的导数是)('x f ，且)('x f 是偶函数，则曲线y=f （x ）在原点处的切线方程为（ ） A ．y=-2x B ．y=3x C ．y=-3x D ．y=4x 3． 函数()3
2
3922y x x x x =---<<有（ ）
A ．极大值5，极小值27-
B ．极大值5，极小值11-
C ．极大值5，无极小值
D ．极小值27-，无极大值 4．设函数()=x f 653
123
+++x ax x 在区间[]3,1上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.),5[∞+- B.]3,(--∞
C.),5[]3,(∞+-⋃--∞
D.[
]
5,
5-
5．曲线3
11y x =+在点)12,1(P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．-9 B ．-3 C ．9 D ．15
6．定义在()
02
π，上的函数()f x ,()f x '是它的导函数,且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立,则（ ）
A ()()
43ππ
B ．()()12sin16f f π<
C ()()64f ππ>
D ()()63
f ππ<
7．已知命题R x p ∈∀:，()f x =22x x
--为减函数；命题:q x ∀∈[1，2]，
32()35f x x ax x =-+-（5a ≤）单调递增．则下面选项中真命题是
（A ）（⌝p ）(∧⌝q ） （B ）（⌝p ）(∨⌝q ） （C ）p ∨（⌝q ） （D ）p ∧q 8．
1
1
(sin 1)x dx -+⎰
（ ）
A 、0
B 、2
C 、22cos1+
D 、22cos1-
9．已知)(x f 是可导的函数，且)()(x f x f <'对于R x ∈恒成立，则( ) A ．)0()2014(),0()1(2014f e f ef f << B ．)0()2014(),0()1(2014f e f ef f >> C ．)0()2014(),0()1(2014f e f ef f <> D ．)0()2014(),0()1(2014f e f ef f ><
10．设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（ ） A ．3(ln 2)2(ln 3)f f > B. 3(ln 2)2(ln 3)f f =
C. 3(ln 2)2(ln 3)f f <
D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定 11．等比数列{a n }中,a 3=6,前三项和3
304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）
A ．1
B ．12-
C ．1或12-
D ．1-或1
2
-
12．曲线C ：x
e y =在点A 处的切线l 恰好经过坐标原点，则曲线C 直线l ，y 轴围成的图形面积为（ ） A ．312e - B ． 12e + C ． 2e D ．12
e -
13．
dx x
x e )1
2(1
⎰
-的值是 .
14．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 .
15．设dx x n )23(2
1
2-=
⎰
，则n x
x )2(+
展开式中含2x 项的系数是_________。

16．已知命题①函数x
x f lg 1
)(=
在),0(+∞上是减函数； ②函数)(x f 的定义域为R ，0)(0='x f 是0x x =为极值点的既不充分也不必要条件； ③函数x x x f cos sin 2)(=的最小正周期为π；
④在平面内，到定点)1,2(的距离与到定直线01043=-+y x 的距离相等的点的轨迹是抛物线；
⑤已知(3,4),(0,1),a b ==-
则a 在b 方向上的投影为4。

其中，正确命题的序号是 。

（把你认为正确命题的序号都填上）
17．已知函数)1(ln ln )(>+=x x x a x x x f 的图象经过)22,(22
2e
e e +(其中e 为自然对数的底数，71.2≈e )． （Ⅰ）求实数a ；
（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的*N n ∈，都有n n n e
e e n n e e e e e )1
()(
)22)(1(22+≥+⨯⋅⋅⋅⨯++成立．
18．求由抛物线2
1y x =-，直线3x =，1x =-及x 轴所围成的平面图形的的面积S 19．
已知函数ax x x f +=32)(与
c bx x g +=2
)(的图像都过点)0,2(P ，且在点P 处有公共切线，求)(x f 、)(x g 的表达式。

20．（本小题满分12分）已知()ln f x x x ax =-，()2
2g x x =--．
（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）对一切()0,x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
21．（15分）()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x
f x e =，（其中 2.71828e = 为自然对数的底数）， 1）令()
()f x g x x
=
，求()g x 在区间[1,2]上的最大值 2）若总存在实数t ，对任意[1,]x m ∈，都有()f x t ex +≤成立，求正整数m 的最大值 22．已知函数2
()ln(), (),f x x a g x x x =+=+若函数()()()F x f x g x =-在x = 0处
取得极值．
(1) 求实数a的值；
(2) 若关于x的方程
5
()0
2
F x x m
+-=在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实
数m的取值范围；
(3) 证明：对任意的自然数n，有
1
ln2
n
n
+
⎛⎫
<
⎪
⎝⎭
恒成立．
参考答案
1．A 【解析】
试题分析：由定积分的定义知，对连续函数0)(>x f ，则当b a <时，定积分⎰b
a dx
x f )(的符号一定是正的。

选A 。

考点：本题主要考查定积分的概念。

点评：简单题，由定积分的定义知，对连续函数
0)(>x f ，则当b a <时，定积分
⎰
b
a
dx x f )(的符号是正的。

2．A 【解析】
试题分析：()()2
'322f x x ax a =++-，因为()'f x 为偶函数，所以20a =即0a =．
()32f x x x ∴=-，()2'32f x x ∴=-．()'02f ∴=-．
由导数的几何意义可知曲线()y f x =在原点处的切线的斜率()'02k f ==-． 所以此切线方程为2y x =-．故A 正确． 考点：1函数的奇偶性；2导数的几何意义． 3．C
【解析】解：因为
()
()
322
3922'3693(3)(1)22y x x x x y x x x x x =---<<\=--=-+-<<
结合导数的符号判定可知，函数在x=-1处取得极大值，但是没有极小值，选C 4．C 【解析】
试题分析：由题意52)(2'++=ax x x f ，若()x f 在区间[]3,1上是单调函数则在区间
[]3,10)('
≥x f 或0)('
≤x f ，注意到)('
x f 过（0,5），开口向上，所以⎩⎨⎧≤->1
)1('a f 或
⎩⎨
⎧<-<≤∆310
a 或⎩⎨⎧-≤≥a f 30)3('或⎩⎨⎧≤≤0
)1(0)3(''f f 解得1-≥a 或15-<≤-a 或φ∈a 或3-≤a ，综上a 的取值范围是),5[]3,(∞+-⋃--∞（当然本题也可分离参数） 考点：函数单调性、参数取值 5．C ．
【解析】
试题分析：求出导函数x y 2'=，令1=x 求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程
)1(212-=-x y ，即0102=+-y x ，令0=x 即可得10=y ．故选C ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 6．D 【解析】
试题分析：设()(),sin f x F x x =
则()()()2sin cos ,sin f x x f x x
F x x
'-'= 因为：()()t a n f
x f x x '<，所以，()()
s i n c o s 0f x x
f x x '->，所以，
()()()
2s i n c o s 0,sin f x x f x x F x x
'-'=
>0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
所以函数()(),sin f x F x x =
在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上为增函数，
所以由
4
3
π
π
<
得4343F F ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<⇒<
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以选项A 不正确； 所以由16
π
<
得()()112sin166F F f f ππ⎛⎫
⎛⎫
>⇒>
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以选项B 不正确；
所以由
6
4
π
π
<
得6464F F f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<⇒<
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以选项C 不正确；
所以由
6
3
π
π
<
得6363F F f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以选项D 正确；故选D. 考点：1、构造函数证不等式；2、导数在研究函数性质中的应用.
7．B
【解析】命题P 是假的；对于命题q:2
()921(5)f x x ax a '=-+≤,()f x '是开口向上，对称轴是5
199
a x =
≤<的二次函数，(1)1020f a '=-≥，()f x '在[1,2]上是增函数，所以 (1,2)x ∀∈，()0f x '>，命题q 是真的；故选B
8．B 【解析】
试题分析：因为()()()1
1-11
(sin 1)(cos )=-cos1+1-cos 112x dx x x -+=-+--+-=⎰
｜
所以选B.
考点：定积分. 9．A 【解析】
试题分析：解：令()()x e x f x g =，则()()()()
()()02<-'=-'='x x x x e x f x f e
x f e x f e x g ∴函数()x g 在R 上单调递减．
()()()()02014
,01g g g g <<∴ 即
()()101f e f <,
()()020*******e
f e f < 化为()()01ef f <，()()020142014f e f <,故选A ． 考点：1．利用导游求函数的单调性；2．比较大小． 10．C 【解析】
试题分析：令()()x f x g x e =，则'''
2()()()()()x x x x
f x e f x e f x f x
g x e e --==，因为对任意x R ∈都有'()()0f x f x ->，所以'()0g x >，即()g x 在R 上单调递增，又ln 2ln 3<，
所以(l n 2)
(g g <，即
l n 2l
n 3
(l n 2)
(l n 3)f f e e
<，所以(l n 2)
(l n 3)
23
f f <，即
3(l n 2)2f f <，故选C ．
考点：求导判断函数的单调性.
11．C 【解析】 试题分析：由题()33
12
3
30
14218181a q S xdx x q
-===⇒
=-⎰，
而23166a a q =⇒=可解得
1
1,2
q q ==-
考点：等比数列的通项公式，前n 项和 12．D 【解析】
试题分析：设A （a ，e a ），则∵y=e x ，∴y′=e x
，
∴曲线C ：y=e x 在点A 处的切线l 的方程为y-e a =e a
（x-a ）
将（0，0）代入，可得0-e a =e a
（0-a ），∴a=1 ∴A （1，e ），切线方程为y=ex 故选D ．.
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．.
13．e -2
-2
【解析】解：因为由微积分基本定理可知e 2e
211
1(2x )dx x ln x |e 2x
--=-=-⎰
14．
43
【解析】
试题分析：由二次函数的图像可得：函数解析式为()12+-=x x f ，所以它与x 轴所围图形的面积为()
3
4111
2
=
+-=
⎰-dx x
S . 考点：定积分的应用. 15．40 【解析】略 16．②③ 【解析】
试题分析：①错，应该说函数x
x f lg 1
)(=
分别在(0,1),(1,)+∞上是减函数； ②正确.比如，3
()f x x =在0x =处导数为0，但不是极值点；()f x x =在0x =处极小值
为0，但导数不存在，所以既不充分也不必要.
③因为cos cos x x =，所以x x x f cos sin 2)(=2sin cos sin 2x x x =，最小正周期为π；正确；
④错，因为点)1,2(在直线01043=-+y x 上，所以该轨迹是一条直线；
⑤a 在b 方向上的投影为04
41a b b
⋅-==-
，所以错. 考点：1、函数的性质；2、导数的应用及充要条件；3、三角函数；4、点的轨迹；5、向量
的投影.
【答案】（Ⅰ）由)(x f y =的图象过点)22,(2
2
2e e e +得
1ln ln 2222
2222=⇒+=+a e
e a e e e e ． （Ⅱ）2
222/)(ln )ln )(ln )(1(ln ln 1)(ln 1ln )(x x x x x x x x x x x x f -+-=-+-=
由1>x 知0)(ln ln 2
2>+x x x x ，令x x x g ln )(-=01)(/>-=⇒x x x g ，故)(x g 在),1(+∞上为增函数，
当1>x 时，0)1(ln )(>>-=g x x x g
令0)(/=x f 得e x =，令0)(/>x f 得，e x >，令0)(/<x f 得e x <<1
故)(x f 的增区间为),(+∞e ，减区间为),1(e ． （Ⅲ）由（2）知，)(x f 在区间),1(+∞上的最小值为e e e f 1)(+=
即当1>x 时，e
e x
f 1)(+≥恒成立
当*N n ∈时，令1>≥=e e x n ，则有e
e e
f n 1)(+≥
即01>+≥+e
e e n n e n n 故n n n
e e e n n e e e e e )1()()22)(1(22+≥+⨯⋅⋅⋅⨯++成立． 【解析】略
【答案】8
把直线与抛物线的图象画在同一个坐标系中，找出围成封闭图形，然后把直线与抛物线解析式联立求出直线与抛物线的交点坐标，根据图形得到抛物线解析式减去直线解析式在-1到1上、1到3上的定积分即为阴影图形的面积，求出定积分的值即为所求的面积 【解析】略
19．解：(2)0f =，所以8a =-
'(2)'(2)(2)0f g g =⎧⎨
=⎩ 得4,16b c ==-
所以 3()28f x x x =-
2()416g x x =-
【解析】略
20．（1）()f x 的单调递增区间1
,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
,递减区间是10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，;（2）3a ≤. 【解析】
试题分析：（1）0a =时，求导，解()0f x '>和()0f x '<可得函数()f x 的递增区间和递减区间；
（2）对一切()0,x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立⇔2
ln a x x x
≤++在()0,x ∈+∞恒成立，令2
()ln h x x x x
=++
，求()h x 在区间(0,)+∞上的最小值即可. 试题解析：（1）0=a 时，()x x x f ln =， ()1ln +='x x f -
令()0='x f 得
e x 1=
，当e x 1
0<<时()0<'x f ，
当
e x 1
>
时()0>'x f
所以()x f 的单调递增区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e
,递减区间是⎪
⎭⎫ ⎝⎛e 10， （2）对一切()+∞∈,0x ，()()x g x f ≥恒成立，即2ln 2
--≥-x ax x x 恒成立.
也就是
x x x a 2
ln +
+≤在()+∞∈,0x 恒成立.
令()x x x x F 2
ln ++= ，则()()()22
22122211x x x x x x x x x F -+=-+=-+='
在()0,1上()'0F x <，在()1+∞，上()'0F x >，因此，()F x 在1x =处取极小值，也是最小值，即()()min 13F x F ==，所以3a ≤
考点：导数与函数单调性、极值、不等式恒成立与分离参数.
21．：1）2
2
e 2）4
【解析】（1）由题意得'2(),()x x x e e x e g x g x x x -==，在区间[1,2]上'
()0g x > 所以()g x 在区间[1,2]上的最大值是2
(2)2
e g =；(2) 对任意[1,]x m ∈，都有()
f x t ex
+≤成立，构造函数()()h x f x t ex =+-，只需求出()x t
h x e ex +=-的最大值小于或等于0，求
其导数研究单调性可解决.
22．(1) 1a =；(2) 1
1ln 3ln 22
m -+≤<
+；(3)见解析.
【解析】
试题分析：(1)先有已知条件写出()F x 的解析式，然后求导，根据导数与函数极值的关系得到(0)F '=，解得a 的值；(2)由5
()02
F x x m +-=构造函数23()ln(1)2h x x x x m =+-+-，则5()02
F x x m +-=在[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0h x =在[]0,2恰有两个不同实数根，对函数()y h x =求导，根据函数的单调性与导数的关系找到函数23()ln(1)2
h x x x x m =+-+-的单调区间，再由零点的存在性定理得到(0)03(1)ln(11)102(2)ln(12)430
h m h m h m =-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩，解不等式组即可；(3) 证明不等式1ln 2n n +⎛⎫< ⎪⎝⎭，即是证明12f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭
.对函数2()ln(1)F x x x x =+--求导，利用导数研究函数的单调性，找到其在区间()1,-+∞上的最大值(0)F ，则有()(0)
0F x F ≤=成立，那么不等式211ln n n n n
++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，利用二次函数的图像与性质可得211n n +的单调性与最小值，根据211ln n n n n ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，那么min 211ln ()n n n n ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
，所给不等式得证. 试题解析：(1) 由题意知2()ln(),F x x a x x =+--则1()21F x x x a '=
---， 2分 ∵0x =时， ()F x 取得极值，∴(0)0F '=，故12010a
-⨯-+0=，解得1a =． 经检验1a =符合题意． 4分
(2)由1a =知2()ln(1),F x x x x =+-- 由5()02F x x m +
-= ，得23ln(1)02x x x m +-+-=， 5分 令23()ln(1)2
h x x x x m =+-+-， 则5()02
F x x m +-=在[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0h x =在[]0,2恰有两个
不同实数根． 13(45)(1)()2122(1)
x x h x x x x +-'=-+=-++， 7分 当()0,1x ∈时，()0h x '>，于是()h x 在()0,1上单调递增；
当()1,2x ∈时，()0h x '<，于是()h x 在(1,2)上单调递减．依题意有
(0)03(1)ln(11)102(2)ln(12)430h m h m h m =-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩，即01ln 221ln 3
m m m ≥⎧⎪⎪<+⎨⎪≥-+⎪⎩， 11ln 3ln 22m ∴-+≤<+．9分 (3) 2()ln(1),F x x x x =+--的定义域为{}1x x >-，由(1)知(23)()1x x F x x -+'=
+， 令()0F x '=得，0,x =或32
x =- (舍去)， 11分 ∴当10x -<<时，()0F x '>，()F x 单调递增；
当0x >时，()0F x '<，()F x 单调递减． ∴(0)F 为()F x 在(-1，+∞)上的最大值． ∴()(0)F x F ≤，故2ln(1)0x x x +--≤ (当且仅当0x =时，等号成立) 12分 对任意正整数n ，取10x n =>得，2111ln 1n n n
⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭， 令1,t n =
则2211t t n n
+=+在[)1,+∞为增函数， 所以2min ()2t t +=，即2112n n +≤恒成立． 对任意的自然数n ，有1ln 2n n +⎛⎫< ⎪⎝⎭
恒成立． 14分 考点：1.利用导数研究函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.零点存在性定理；4.证明不等式的基本方法；5.二次函数的图像与性质。