2018无锡市一模数学试题含答案

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2018无锡市一模数学试题含答案
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江苏省无锡市2018届高三年级第一次模拟考试
数 学试题
(满分160分,考试时间120分钟)
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1. 已知集合A ={1,3},B ={1,2,m},若A∪B=B ,则实数m =________.
2. 若复数a +3i
1-2i
(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a =________.
3. 某高中共有学生2 800人,其中高一年级有960人,高三年级有900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级的学生人数为________.
4. 已知a ,b ∈{1,2,3,4,5,6},直线l 1:2x +y -1=0,l 2:ax -by +3=0,则直线l 1⊥l 2的概率为________.
5. 根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值为________.
6. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,已知AB⊥BC,AB =3,BC =4,AA 1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.
7. 已知变量x ,y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥2,x +y≤4,2x -y≤c,目标函数z =3x +y 的最小值为5,则c 的值为
________.
8. 若函数y =cos (2x +φ)(0<φ<π)的图象向右平移
π
2
个单位长度后,与函数y =
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x -π2的图象重合,则φ=________.
9. 已知等比数列{a n }满足a 2a 5=2a 3,且a 4,5
4,2a 7成等差数列,则a 1·a 2·…·a n 的
最大值为________.
10. 过圆x 2+y 2
=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ,且AB =CD ,则四边形ACBD 的面积为________.
11. 已知双曲线C :x 2
a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)与椭圆x 2
16+y
2
12=1的焦点重合,离心率互为倒
数,设F 1,F 2分别为双曲线C 的左、右焦点,P 为右支上任意一点,则PF 2
1
PF 2的最小值为
________.
12. 在平行四边形ABCD 中,AB =4,AD =2,∠A =π
3,M 为DC 的中点,N 为平面ABCD
内一点,若|AB →-NB →|=|AM →-AN →|,则AM →·AN →
=________.
13. 已知函数f(x)=错误!g(x)=-x 2
-2x -2.若存在a∈R,使得f (a )+g (b )=0,则
实数b 的取值范围是______________.
14. 若函数f(x)=(x +1)2
|x -a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是__________________.
二、 解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
如图,已知四边形ABCD 是菱形,DE ⊥平面ABCD ,AF ∥DE ,DE =2AF. (1) 求证:AC⊥平面BDE ; (2) 求证:AC∥平面BEF.
16. (本小题满分14分)
在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos A =3
4,C =2A.
(1) 求cos B 的值;
(2) 若ac =24,求△ABC 的周长.
如图,点C 为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD 为海岸线,∠CAB =π
3,AB ⊥BD ,
BC ︵是以A 为圆心,1km 为半径的圆弧形小路.该市拟修建一条从点C 通往海岸的观光专线CP ︵PQ ,其中P 为BC ︵
上异于点B ,C 的一点,PQ 与AB 平行,设∠PAB=θ.
(1) 证明:观光专线CP ︵
PQ 的总长度随θ的增大而减小;
(2) 已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP ︵
的单位成本的2倍.当θ取何值时,观光专线CP ︵
PQ 的修建总成本最低?请说明理由.
已知椭圆E :x 2
a 2+y 2
b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2
2,F 1,F 2分别为左、右焦点,A ,B 分别
为左、右顶点,原点O 到直线BD 的距离为
6
3
.设点P 在第一象限,且PB⊥x 轴,连结PA 交椭圆于点C.
(1) 求椭圆E 的方程;
(2) 若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积,求直线PA 的方程; (3) 求过点B ,C ,P 的圆的方程(结果用t 表示).
已知数列{a n }满足⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1a n =1a n
,n ∈N *
,S n 是数列{a n }的前n 项和.
(1) 求数列{a n }的通项公式;
(2) 若a p ,30,S q 成等差数列,a p ,18,S q 成等比数列,求正整数p ,q 的值; (3) 是否存在k ∈N *
,使得a k a k +1+16为数列{a n }中的项?若存在,求出所有满足条件的k 的值;若不存在,请说明理由.
已知函数f(x)=e x(3x-2),g(x)=a(x-2),其中a,x∈R.
(1) 求过点(2,0)且和函数y=f(x)的图象相切的直线方程;
(2) 若对任意x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3) 若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<g(x0),求实数a的取值范围.
2018届高三年级第一次模拟考试(八)
数学附加题
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. B . [选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A =⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
3
4a
b ,若矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为a 1=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1-2,属于特征值λ2的一个特征向量为a 2=⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2-3,求矩阵A.
C. [选修44:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =12
t ,y =3
2t +m (t 是参数),以原点为极
点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C 的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l 与圆
C 相交,求实数m 的取值范围.
22. (本小题满分10分)
某公司有A,B,C,D四辆汽车,其中A车的车牌尾号为0,B,C两辆车的车牌尾号为6,D车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车.已知A,D两辆
汽车每天出车的概率为3
4
,B,C两辆汽车每天出车的概率为
1
2
,且四辆汽车是否出车是相互
独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下:
汽车车牌尾号车辆限行日
0和5星期一
1和6星期二
2和7星期三
3和8星期四
4和9星期五
(1) 求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率;
(2) 设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ζ的分布列和数学期望.
23. (本小题满分10分)
如图,在四棱锥PABCD中,△ABP是等边三角形,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,E是线段AB的中点,PE⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2.
(1) 求二面角PCDA的正弦值;
(2) 试在平面PCD上找一点M,使得EM⊥平面PCD.
2018届无锡高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
1. 3
2. 6
3. 47
4. 112
5. 21
6. 50π
7. 5
8. π
6 9. 1 024 10. 19 11.
8 12. 6
13. (-2,0) 14. (-∞,-1]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫72,+∞
15. 解析:(1) 因为DE⊥平面ABCD ,
所以DE⊥AC. (2分)
因为四边形ABCD 是菱形, 所以AC⊥BD.(4分) 因为DE∩BD=D ,(5分) 所以AC⊥平面BDE.(6分)
(2) 设AC∩BD=O ,取BE 的中点G ,连结FG ,OG , 所以OG∥12DE 且OG =1
2
DE.(8分)
因为AF∥DE,DE =2AF ,
所以AF∥OG 且AF =OG ,
从而四边形AFGO 是平行四边形,FG ∥AO. (10分) 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF ,
所以AO∥平面BEF ,即AC∥平面BEF. (14分)
16. 解析:(1) 因为cos A =3
4

所以cos C =cos 2A =2cos 2
A -1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34-1=18. (3分)
在△ABC 中,因为cos A =34,所以sin A =7
4.(4分)
因为cos C =1
8
,所以sin C =
1-⎝ ⎛⎭⎪⎫18=378
,(5分) 所以cos B =-cos (A +B)=sin A sin B -cos A cos B =9
16. (7分)
(2) 根据正弦定理
a
sin A =c sin C , 所以a c =2
3
.又ac =24,所以a =4,c =6.(10分)
b 2=a 2+
c 2
-2ac cos B =25,b =5. 所以△ABC 的周长为15. (14分)
17. 解析:(1) 由题意,∠CAP =π
3-θ,所以CP ︵=π3-θ,
又PQ =AB -AP cos θ=1-cos θ,
所以观光专线的总长度
f (θ)=π3-θ+1-cos θ=-θ-cos θ+π3+1,0<θ<π
3.(3分)
因为当0<θ<π
3时,f ′(θ)=-1+sin θ<0,(5分)
所以f(θ)在⎝

⎭⎪⎫
0,π3上单调递减,
即观光专线CP ︵
PQ 的总长度随θ的增大而减小.(6分) (2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0),
则总成本g(θ)=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-θ+2-2cos θ=a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫-θ-2cos θ+π3+2,0<θ<π
3,(8分)
g ′(θ)=a(-1+2sin θ).(9分) 令g′(θ)=0,得sin θ=1
2.
因为0<θ<π3,所以θ=π
6.(10分)
当0<θ<π
6时,g ′(θ)<0, 当π6<θ<π
3时,g ′(θ)>0,(12分) 所以当θ=π
6
时,g (θ)最小.(13分)
故当θ=π
6时,观光专线CP ︵PQ 的修建总成本最低. (14分)
18. 解析:(1) 因为椭圆E :x 2
a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的离心率为2
2,
所以a 2
=2c 2
,b =c ,(1分) 所以直线DB 的方程为y =-2
2
x +b , 又O 到直线BD 的距离为63
, 所以
b 1+1
2
=63
, 所以b =1,a =2,(3分)
所以椭圆E 的方程为x 22
+y 2
=1.(4分)
(2) 设P(2,t),t>0,
直线PA 的方程为y =t
22
(x +2),(5分)
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
2
+y 2
=1,y =t
22(x +
2),
整理得(4+t 2
)x 2
+22t 2
x +2t 2
-8=0,
解得x C =42-2t 2
4+t 2,则点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫
42-2t 24+t
2,4t 4+t 2,(7分) 因为三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积,所以三角形AOC 的面积等于三角形BPC 的面积,
S △AOC =12×2×4t 4+t 2=22t 4+t
2,
S △PBC =12×t ×⎝ ⎛
⎭⎪⎫2-42-2t 24+t 2
=2t 3
4+t
2, 则2t 3
4+t 2=22t 4+t
2,解得t = 2.(9分) 所以直线PA 的方程为x -2y +2=0. (10分)
(3) 因为B(2,0),P(2,t),C(42-2t 2
4+t 2,4t
4+t 2),
所以BP 的垂直平分线为y =t
2,
BC 的垂直平分线为y =
2t 2x -2t t 2+4
, 所以过B ,C ,P 三点的圆的圆心为(
t 2
+8
2(t 2
+4),t
2),(12分) 则过B ,C ,P 三点的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -t 2+82(t 2
+4)+⎝ ⎛⎭⎪⎫
y -t 2=t 42(t 2+4)2+t 2
4,(14分) 即所求圆方程为x 2
-2t 2
+82t 2
+4x +y 2
-ty +8t 2+4
=0.(16分) 19. 解析:(1) 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1a n =1a n
,n ∈N *

所以当n =1时,1-1a 1=1
a 1
,a 1=2,(1分)
当n ≥2时,
由⎝
⎛⎭⎪⎫1-1a 1

⎛⎭⎪⎫1-1a 2
…⎝
⎛⎭⎪⎫1-1a n
=1a n 和⎝
⎛⎭⎪⎫1-1a 1

⎛⎭⎪⎫1-1a 2
…⎝
⎛⎭⎪⎫1-1a
n -1
=1a n -1

两式相除可得1-1a n =a n -1
a n

即a n -a n -1=1(n ≥2),
所以数列{a n }是首项为2,公差为1的等差数列. 于是,a n =n +1. (4分)
(2) 因为a p ,30,S q 成等差数列,a p ,18,S q 成等比数列,
所以⎩
⎪⎨⎪⎧a p +S q =60,a p S q =182
, 于是⎩⎪⎨⎪⎧a p =6,S q =54或⎩
⎪⎨⎪⎧a p =54,S q =6.(7分) 当⎩⎪⎨⎪⎧a p =6,S q =54时,⎩

⎨⎪⎧p +1=6,
(q +3)q 2=54,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =5,q =9, 当⎩⎪⎨⎪
⎧a p =54,S q =6时,⎩⎪⎨⎪⎧p +1=54,(q +3)q 2=6,无正整数解, 所以p =5,q =9.(10分)
(3) 假设存在满足条件的正整数k ,使得a k a k +1+16=a m (m ∈N *
), 则(k +1)(k +2)+16=m +1,
平方并化简得(2m +2)2-(2k +3)2
=63,(11分) 则(2m +2k +5)(2m -2k -1)=63,(12分)
所以⎩⎪⎨⎪⎧2m +2k +5=63,2m -2k -1=1或⎩⎪⎨⎪⎧2m +2k +5=21,2m -2k -1=3 或⎩
⎪⎨⎪⎧2m +2k +5=9,2m -2k -1=7,(4分) 解得m =15,k =14或m =5,k =3或m =3,k =-1(舍去), 综上所述,k =3或14. (16分)
20. 解析:(1) 设切点为(x 0,y 0),f ′(x)=e x
(3x +1),则切线斜率为e x 0(3x 0+1), 所以切线方程为y -y 0=e x 0(3x 0+1)(x -x 0),因为切线过(2,0), 所以-e x 0(3x 0-2)=e x 0(3x 0+1)(2-x 0),
化闻得3x 2
0-8x 0=0, 解得x 0=0或x 0=8
3
. (3分)
当x 0=0时,切线方程为y =x -2,(4分)
当x 0=8
3时,切线方程为y =9e 错误!x -18e 错误!. (5分)
(2) 由题意,对任意x∈R 有e x
(3x -2)≥a (x -2)恒成立,
①当x ∈(-∞,2)时,a ≥e x
(3x -2)x -2⇒a ≥⎣⎢⎡⎦
⎥⎤e x (3x -2)x -2,
令F (x )=e x (3x -2)x -2,则F ′(x )=e x (3x 2
-8x )
(x -2)2
,令F ′(x )=0得x =0,
F (x )max =F (0)=1,故此时≥1.(7分)
②当x =2时,恒成立,故此时a ∈R.(8分)
③当x ∈(2,+∞)时,a ≤e x
(3x -2)x -2⇒a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x (3x -2)x -2,
令F ′(x )=0⇒x =8
3,
F (x )min =F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫83
=9e 错误!,故此时a ≤9e 错误!.
综上1≤a ≤9e 错误!.(10分) (3) 因为f (x )<g (x ),
即e x
(3x -2)<a (x -2),
由(2)知a ∈(-∞,1)∪错误!, 令F (x )=e x
(3x -2)
x -2,则
(12分)
当x ∈(-∞,2),存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0), 等价于a <e x
(3x -2)
x -2
存在唯一的整数x 0成立,
因为F (0)=1最大,F (-1)=53e ,F (1)=-1e ,所以当a <5
3e
时,至少有两个整数成立,
所以a ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫53e ,1. (14分)
当x ∈(2,+∞),存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0), 等价于a >e x
(3x -2)
x -2
存在唯一的整数x 0成立,
因为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫83=9e 错误!;最小,且F (3)=7e 3,F (4)=5e 4,所以当a >5e 4
时,至少有两个
整数成立,
所以当a ≤7e 3时,没有整数成立,所有a ∈(7e 3,5e 4
].
综上:a ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫53e ,1∪(7e 3,5e 4
]. (16分)
21. 解析:由矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为a 1=⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1-2可得, ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-2=λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1-2,即⎩
⎪⎨
⎪⎧3-8=λ1,a -2b =-2λ1,(2分) 得a =2b =10,
由矩阵A 属于特征值λ2的一个特征向量为a 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2-3,可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2-3=λ2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2-3,
即⎩
⎪⎨⎪⎧6-12=2λ2,
2a -3b =-3λ2,(6分) 得2a -3b =9,
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a =-12,b =-11,即A =⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
34
-12-11,(10分) 22. 解析:由ρ=4sin θ,得ρ2
=4ρsin θ,
所以x 2+y 2
=4x ,
即圆C 的方程为x 2+(y -2)2
=4,(3分) 又由⎩⎪⎨⎪⎧x =12t ,y =3
2t +m ,消去t ,得
3x -y +m =0,(6分)
由直线l 与圆C 相交,
所以|m -2|2
<2,即-2<m<6.(10分)
23. 解析:(1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A ,则A 为该公司在星期四最多有一辆汽车出车.
P(A)=⎝ ⎛⎭⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎫12+C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎫12+C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫14=964
.
∴ P(A)=1-P(A)=55
64
.(3分)
答:该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为55
64.
(2) 由题意,ζ的可能值为0,1,2,3,4,
P (ζ=0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫14=1
64

P (ζ=1)=C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫14+C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34·⎝ ⎛⎭⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎫12=18;
P (ζ=2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫14+⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎫12+C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎫14=1
32;
P (ζ=3)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎫14+⎝ ⎛⎭⎪⎫34C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12=3
8;
P (ζ=4)=⎝ ⎛⎪⎫34⎝ ⎛⎪⎫12=9
64
.(8分)
E (ζ)=18+2×1132+3×38+4×964=5
2.
答:ζ的数学期望为5
2
.(10分)
24. 解析:(1)因为PE⊥底面ABCD ,过点E 作ES∥BC,则ES⊥AB, 以E 为坐标原点,EB 方向为x 轴的正半轴,
ES 方向为y 轴的正半轴,EP 方向为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系,
则E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,3),
CD →=(-2,1,0),PC →
=(1,1,-3).(2分) 设平面PCD 的一个法向量为n(x ,y ,z ), 则n·CD →
=-2x +y =0,
n·PC →
=x +y -3z =0,解得n =(1,2,3), 因为平面ABCD 的一个法向量为m =(0,0,1),(3分) 所以cos 〈n ,m 〉=n·m |n||m|=31+4+3=6
4,(4分)
所以sin 〈n ,m 〉=
10
4
.(5分) (2) 设点M 的坐标为(x 1,y 1,z 1). 因为EM ⊥平面PCD ,
所以EM →
∥n ,即x 11=y 12=z 13

即y 1=2x 1,z 1=3x 1,(6分)
因为PM →=(x 1,y 1,z 1-3),PD →=(-1,2,-3),PC →
=(1,1,-3), 所以PM →=λPC →+μPD →
=(λ-μ,λ+2μ,-3λ-3μ), 所以x 1=λ-μ,y 1=λ+2μ=2x 1=2(λ-μ),
即λ=3μ,(8分)
z 1-3=-3λ-3μ,λ=12,所以μ=16
,(9分)
所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13,5
6,33.(10分)。

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