计量经济分析方法与建模课件第二版第12章联立方程

联立方程系统估计
创建和说明了系统后，单击工具条的 Estimate 键，出现系统 估计对话框，在弹出的对话框中选择估计方法和各个选项：
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联立方程系统残差协方差矩阵的形式
EViews将利用下述方法估计方程组系统的参数。系统中方 程可以是线性也可以是非线性的，还可以包含自回归误差项。
下面的讨论是以线性方程所组成的平衡系统为对象的，但
这种方法是在联立方程中服从关于系统参数的约束条件的情况下，使 每个方程的残差平方和最小。如果没有方程间的参数约束，这种方法和使 用单方程普通最小二乘法估计每个方程式是一样的。
在协方差阵被假定为
V Euu 2 I k IT
时，最小二乘法是非常有效的。 的估计值为：
Δˆ LS X X 1 X Y
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建立和说明联立方程系统
为了估计联立方程系统参数，首先应建立一个系统对 象并说明方程系统。单击Object/New Object/system或者在 命令窗口输入system，系统对象窗口就会出现，如果是第 一次建立系统，窗口是空白的，在指定窗口用文本方式输 入方程，当然也包含了工具变量和参数初值。
虽然利用系统方法估计参数具有很多优点，但是这种方 法也要付出相应的代价。最重要的是在系统中如果错误指定 了系统中的某个方程，使用单方程估计方法估计参数时，如 果某个被估计方程的参数估计值很差，只影响这个方程；但 如果使用系统估计方法，这个错误指定的方程中较差的参数 估计就会“传播”给系统中的其它方程。
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§12.2 联立方程系统的估计方法
EViews提供了估计系统参数的两类方法。一类方法是单 方程估计方法，使用前面讲过的单方程法对系统中的每个方 程分别进行估计。第二类方法是系统估计方法，同时估计系 统方程中的所有参数，这种同步方法允许对相关方程的系数 进行约束并且使用能解决不同方程残差相关的方法。
使用标准的EViews表达式用公式形式输入方程，系统 中的方程应该是带有未知参数和隐含误差项的行为方程。 例12.1含有三个行为方程的系统是这样的：
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这里使用了EViews缺省系数如c(10)、c(20)等等，当然可 以使用其它系数向量，但应事先声明，方法是单击主菜单上 Object/New Object/Martrix-Vector-Coef/Coeffient Vector。
是这些分析也适合于包含非线性方程的系统。若一个系统，含
有 k 个方程，用分块矩阵形式表示如下：
y1 X1
y2
0
0
X2
0 δ1 u1
0
δ2
u2
yk 0 0 X k δk uk
(12.2.1)
其中：yi 表示第 i 个方程的 T 维因变量向量，T 是样本观测值个 数，Xi 表示第 i 个方程的 Tki 阶解释变量矩阵，如果含有常数 项，则 Xi 的第一列全为1，ki 表示第 i 个方程的解释变量个数(包
础上进行讨论的。
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1. 在古典线性回归的标准假设下，系统残差的分块协方 差矩阵是 kT×kT 的方阵 V
V Euu 2 I k IT
(12.2.3)
其中：算子表示克罗内克积(kronecker product)，简称叉
积， 2 是系统残差的方差。
[注] 设A = (aij)nm , B = (bij)pq ，定义A与B的克罗内克积(简称叉积) 为
经济系统并没有严格的空间概念。国民经济是一个系 统，一个地区的经济也是一个系统，甚至某一项经济活动也 是一个系统。例如我们进行商品购买决策，由于存在收入或 预算的制约，在决定是否购买某一种商品时，必须考虑到对 其他商品的需求与其他商品的价格，这样，不同商品的需求 量之间是互相影响、互为因果的。那么，商品购买决策就是 一个经济系统。
Klein模型是以美国两次世界大战之间的1920～1941 年的年度数据为样本建立的。
3
KleinⅠ模型：
CSt 0 1Pt 2Pt1 3(Wt p Wt g ) u1t It 0 1Pt 2Pt1 3Kt1 u2t
Wt p 0 1Yt 2Yt1 3Trendt u3t
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内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参 数是联立方程系统估计的元素，内生变量是由模型系统 决定的，同时也对模型系统产生影响。内生变量一般都 是经济变量。外生变量一般是确定性变量。外生变量影 响系统，但本身不受系统的影响。外生变量一般是经济 变量、条件变量、政策变量、虚拟变量。滞后内生变量 是联立方程模型中重要的不可缺少的一部分变量，用以 反映经济系统的动态性与连续性。在例12.1中，CS, I, Wp , Y, P, K 为内生变量，外生变量 G, Wg , T , Trend 和滞 后内生变量一起构成前定变量。
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这里，应该区分方程组系统和模型的差别。系统 (system)是包含一组未知参数，并且变量之间存在着反 馈关系的联立方程组；模型(model)是一组描述内生变 量关系的已知方程组，给定了模型中外生变量的信息 就可以使用模型对内生变量求值。
系统和模型经常十分紧密地一起使用，估计了方 程组系统中的参数后可以创建一个模型，然后对系统 中的内生变量进行模拟和预测。
联立方程系统就是一组包含未知数的方程组。利用一 些多元方法可以对系统进行估计，这些方法考虑到了方程之 间的相互依存关系。
1
12.1 联立方程系统概述
本章将包含一组未知参数，并且变量之间存在着反馈关 系的联立方程组称为“系统”(systems) ，可以利用12.2节介绍 的多种估计方法求解未知参数。本章的12.3节中将一组描述内 生变量的已知方程组称为“模型”(model) ，给定了联立方程 模型中外生变量的信息就可以使用联立方程模型对内生变量进 行模拟、评价和预测。
含常数项)，i 表示第 i 个方程的 ki 维系数向量，i=1, 2, … , k。 17
式(12.2.1)可以简单地表示为
Y XΔ u
(12.2.2)
k
其中：设 m ki ，Δ δ1
δ2
δk 是m维向量。
i 1
联立方程系统残差的分块协方差矩阵的 kT×kT 方阵 V
大体有如下 4 种形式。本章的估计方法都是在这些情形的基
A
B
a11B a21B
an1B
a12B a1mB a22B a2mB
an2B anmB
显然，AB是npmq阶矩阵，是分块矩阵，其第 (i , j) 块是aijB。
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2. k个方程间的残差存在异方差，但是不存在同期相关 时，用表示第i个方程残差的方差，i=1, 2, …, k，此时的矩阵 形式为
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规则4 方程中的等号可以出现在方程的任意位置，例如：
log(unemp/(1-unemp))=c(1)+c(2)*dmr 等号也可以不出现，只输入没有因变量的表达式，例如：
(c(1)*x+c(2)*y+4)^2 此时，EViews自动地把表达式等于隐含的误差项。 规则5 应该确信系统中所有扰动项之间没有衡等的联系，即应该 避免联立方程系统中某些方程的线性组合可能构成与某个方程 相同的形式。例如，方程组中每个方程只描述总体的一部分， 方程组的和就是一个恒等式，所有扰动项的和将恒等于零。这 种情况下则应放弃其中一个方程以避免这种问题发生。 15
一般的联立方程系统形式是
f yt , zt , Δ ut
t =1, 2, , T (12.1.1)
其中：yt 是内生变量向量，zt 是外生变量向量，ut 是一个可能 存在序列相关的扰动项向量，T 表示样本容量。估计的任务是
寻找未知参数向量 的估计量。
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例12.1 克莱因联立方程系统
克莱因（Lawrence Robert Klein ）于1950年建立的、 旨在分析美国在两次世界大战之间的经济发展的小型宏观 计量经济模型。模型规模虽小，但在宏观计量经济模型的 发展史上占有重要的地位。以后的美国宏观计量经济模型 大都是在此模型的基础上扩充、改进和发展起来的。以至 于萨缪尔森认为，“美国的许多模型，剥到当中，发现都 有一个小的Klein模型”。所以，对该模型 的了解与分析 对于了解西方宏观计量经济模型是重要的。
粗体是外生变量。
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前3个方程称为行为方程，后面的3个方程称为恒等方程。 这是一个简单描述宏观经济的联立方程模型。式（12.1.2） 中的前3个行为方程构成联立方程系统：
CS
t
0
1Pt
2 Pt1
3 (Wt p
Wt g
)
u1t
(消费)
It 0 1Pt 2Pt1 3Kt1 u2t
(投资)
Wt
p
0
1Yt
2Yt1
3Trendt
u3t
(私人工资)
t =1, 2, , T （12.1.3）
待估计出未知参数后，与式（12.1.2）中的后3个恒等方 程一起组成联立方程模型。
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在联立方程模型中，对于其中每个方程，其变量 仍然有被解释变量与解释变量之分。但是对于模型系 统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变 量。对于同一个变量，在这个方程中作为被解释变量， 在另一个方程中则可能作为解释变量。对于联立方程 系统而言，将变量分为内生变量和外生变量两大类， 外生变量与滞后内生变量又被统称为先决变量或前定 变量。
2 1
I
T
V
diag
2 1
,
2 2
,,
2 k
IT
0
0
0
2 2
I
T
0
0 0
(12.2.4)
2 k
I
T
其中diag ( )代表对角矩阵。
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3. k个方程间的残差不但是异方差的，而且是同期相关
的情形，可以通过定义一个k×k的同期相关矩阵 进行描 述， 的第i行第j列的元素ij =E(ui uj)。如果残差是同期不 相关的，那么，对于i j，则ij = 0，如果k个方程间的残
11Ω11
V
Σ
Ω
21Ω21
k1Ωk1
12 Ω12 22 Ωபைடு நூலகம்2
k 2 Ωk 2
1k Ω1k 2k Ω2k
kk Ωkk
(12.2.6)
其中：ij 是第 i 个方程残差和第 j 个方程残差的自相关矩
阵。
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12.2.1 单方程估计方法
1.普通最小二乘法（Ordinary Least Squares , OLS）
差是异方差且同期相关的，则有
11IT
V
Σ
IT
21 I
T
k1IT
12 IT 22 IT
k2IT
1k IT 2k IT
kk IT
(12.2.5)
21
4. 在更一般的水平下，k 个方程间的残差存在异方差、 同期相关的同时，每个方程的残差还存在自相关。此时残 差分块协方差矩阵应写成
CS：消费；
Wg ：政府工资；
I：总投资(当年固定资本形成)；
T： 间接税收；
Wp ：私人工资；
Trend：时间趋势；
P：企业利润；
K：资本存量
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KleinⅠ模型框图
政府工资 WG
政府支出 G
消费
CS
收入
Y
投资
I
私人工资
WP
企业利润
P
资本存量
K
间接税收 T
注：方框内是行为方程内生变量，椭圆内是恒等方程内生变量，
Yt CSt It Gt
Pt Yt Wt p Tt
（消费） （投资） （私人工资） （均衡需求） （企业利润）
Kt Kt1 It
（资本存量） （12.1.2）
此模型包含3个行为方程，1个定义方程，2个会计方程。式中变量：
6个内生变量：
4个外生变量：
Y：收入（GDP中除去净出口）；
G： 政府非工资支出；
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规则2 系统方程可以包含自回归误差项（注意不能有MA、 SAR或SMA误差项），每一个AR项必须伴随系数说明（用 方括号，等号，系数，逗号），例如：
cs=c(1)+c(2)*gdp+[ar(1)=c(3), ar(2)=c(4)]
规则3 如果方程没有未知参数，则该方程就是恒等式，即定义 方程，系统中不应该含有这样的方程，如果必须有的话，应 该先解出恒等式将其代入行为方程。
在说明方程时有一些规则：
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规则1 方程组中，变量和系数可以是非线性的。可以通过在不 同方程组中使用相同的系数对系数进行约束。例如：
y=c(1)+c(2)*x z=c(3)+c(2)*x+c(4)*y 当然也可以说明附加约束，例如有如下方程： y=c(1)*x1+c(2)*x2+c(3)*x3 若希望使c(1)+c(2)+c(3)=1，则可以这样描述方程： y=c(1)*x1+c(2)*x2+(1-c(1)-c(2))*x3