高考数学大一轮复习通用版课件 (57)

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课前双基巩固
4.[教材改编] 一物体从 1960 m 的高空降落, 如果第 1 秒降落 4.90 m,以后每秒比前一秒 多降落 9.80 m,那么经过 面. 秒落到地
[答案] 20
[解析] 设物体经过 t 秒落到地面, 由题意知物体在降落过程中,每 一秒降落的距离构成首项为 4.90, 公差为 9.80 的等差数列,所以 4.90t+ t(t-1)×9.80=1960,即 4.90t2=1960,解得 t=20.
1.等差数列中的有关公式 已知等差数列{an}的首项为 a1,公差是 d,前 n 项和为 Sn,则
等差数列定义式
an-an-1=d (n≥2,d为常数)
等差中项
通项公式 前n项和公式
A=
������ + ������ 2
(A是a与b的等差中项)
an=a1+(n-1)d 或 an=am+(n-m)d
Sn=
1 2 1 2
)
)
2an+1=1+2an 恒成立,则数列{an}前 10 项的和为 ( )
5 2
A.2 B.10 C.
D.
5 4
课堂考点探究
[答案] (1)C (2)B (3)C
[解析] (1)设{an}的公差为 d,则 2a1+7d=24 且 6a1+15d=48,解得 d=4. (2)因为 S9=9a1+ 故选 B. (3)由 2an+1=1+2an 得 an+1-an= ,所以数列{an}是首项为-2,公差为 的等差数列,所以 S10=10×(-2)+
������������ ������ 1 2
也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是 d1.
(5)若数列{an}是等差数列,则数列{pan},{an+q}(p,q 都是常数)都是等差数列,且公差分别为
课前双基巩固
2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质. (1)若项数为 2n,则 S 偶-S 奇=nd,
������3 = 3������1 + 3������ = 6, 解得 ������4 = 4������1 + 6������ = 12,
方法二:由{an}为等差数列,可设{an}的前 n 项和为 Sn=An2+Bn,由 S3=6,S4=12,可得 ������ = 1, ������3 = 9������ + 3������ = 6, 解得 即 Sn=n2-n,则 S6=36-6=30. ������4 = 16������ + 4������ = 12, ������ = -1,
������ Sn,S6=-5S3≠0,则 9 = ������3
[思路点拨] (1)首先根据条件确定数 列{an}为等差数列,然后由等差数列 的性质求 a18 及利用等差数列的前 n 项和公式和性质求得结果;(2)由{an} 为等差数列可知 S3,S6-S3,S9-S6 成等 差数列,即可解决问题;(3)由等差数 列的性质知
������(������1 + ������������ ) 2
=
na1+
������ (������ -1) d 2
课前双基巩固
2.等差数列的性质 已知{an}是等差数列,Sn 是{an}的前 n 项和. (1)若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有 am+an= ap+aq = (2)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成 3.等差数列与函数的关系
课堂考点探究
变式题(1) 已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100 等于 ( A.100 B.99 C.98 D.97 (2)[2019· 百校联盟一联] 已知等差数列 ������������ 的前 n 项和为 Sn,若 a1≠0,S2=a4,则 5 =( A.1 B.
10× (10 -1) 1 5 ×= . 2 2 2 1 2 1 2 9×8 ×2=81,所以 a1=1,所以 an=1+2(n-1)=2n-1,所以 a2018=2×2018-1=4035, 2
课堂考点探究
[总结反思] 等差数列运算问题的通性通法: (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d,然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解; (2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其中三个 就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
2 3
)
������ ������3
)Hale Waihona Puke Baidu
C.
5 3
D.
7 9
(3)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=6,S4=12,则 S6=
.
课堂考点探究
[答案] (1)C (2)B (3)30
9(������ 1 +������ 9 ) 9×2������ 5 = =9a5=27,则 2 2
[解析] [解析] (1)由等差数列的性质,知 S9= 差 d=
1 2
课前双基巩固
题组二 常错题
◆索引:等差数列概念中的两个易误点,即同一个常数与常数;不能正确应用等差数
列的性质;对等差数列的通项公式和前n项和公式之间的关系处理不清.
5.若数列{an}满足 a1=1,an+1-an=n,则数列{an}的 通项公式为 an= .
������ (������ -1) 2
[解析] 依题意得 2d= a4-a2=-2,所以 d= -1,an=4+(n-2)×(-1)=6-n.
课前双基巩固
2.[教材改编] 在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8= .
[答案] 180
[解析] 由等差数列的性质,得 a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴ a5=90,∴a2+a8=2a5=180.
课堂考点探究
探究点一 等差数列的基本运算
例 1 (1)[2017· 全国卷Ⅰ] 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( A.1 B.2 C.4 D.8 (2)[2018· 沈阳东北育才学校模拟] 若公差为 2 的等 差数列{an}的前 9 项和为 S9=81,则 a2018=( A.4033 B.4035 C.4037 D.4039 (3)在数列{an}中,若 a1=-2,且对任意的 n∈N 有
������ 10 -������ 5 =1,∴a100=a10+90d=98,故选 10 -5
a5=3,而 a10=8,因此公
C.
������ ������3 ������ 1 +4������ 6������ 2 = = .故选 3������ 1 +3������ 9������ 3
(2)设数列{an}的公差为 d,d≠0,由题意得 a1+a1+d=a1+3d,则 a1=2d,所以 5 = B. (3)方法一:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由 S3=6,S4=12,可得 ������1 = 0, 则 S6=6a1+15d=30. ������ = 2,
.
[解析] ∵Sn=
a3-a2=2,∴数列{an}的公差为 2.
课前双基巩固
7.若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n= 时,{an}的前 n 项和最大.
[答案] 8
[解析] 因为数列{an}是等差数列,且 a7+a8+a9=3a8>0,所以 a8>0.又 a7+a10=a8+a9<0,所以 a9<0.故当 n=8 时,{an}的前 n 项和最大.
������ ������ ������2 ������ -1 Sn,Tn 之间的关系为 = . ������������ ������2 ������ -1
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
[答案] -1 6-n
1.[教材改编] 在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2, 则公差 d= ,an= .
课前双基巩固
3.[教材改编] 在等差数列{an} 中,a1=2,a3+a5=10,则 a7= .
[答案] 8
[解析] 方法一:设等差数列的公差为 d, 则 a3+a5=2a1+6d=4+6d=10,所以 d=1,则 a7=a1+6d=2+6=8. 方法二:由等差数列的性质可得 a1+a7=a3+a5=10,又 a1=2,所以 a7=8.
2ak
.
等差 数列.
dn+a1(1)等差数列{an}的通项公式可写成 an= ,当 d≠0 时,它是关于 n 的 一次函数 ,它的 d 图像是直线 y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列 孤立 的点.
课前双基巩固
注:当 d>0 时,{an}是
常数 是 列
递增 数列;当 d<0 时,{an}是 递减 数列;当 d=0 时,{an}
课堂考点探究
探究点二 等差数列的性质
例 2(1)[2018· 广东汕头二模] 已知数列{an}的 前 n 项和为 Sn,且 an+2+an-2an+1=0(n∈N*),若 a16+a18+a20=24,则 S35= ( A.140 B.280 C.70 D.420 (2)[2018· 重庆八中月考] 已知等差数列{an} 的前 n 项和为
an=
a1=1 也适合上式,所以
课前双基巩固
6.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满 足 3 - 2 =1,则数列{an}的公差是
������ ������ 3 2
[答案] 2
������ (������ 1 +������ ������ ) ������ ������ +������ ,∴ ������ = 1 ������ , 2 ������ 2 ������ ������ ������ +������ ������ +������ 又 3 - 2 =1,∴ 1 3 - 1 2 =1,即 3 2 2 2
������ ������1 2
������ 2
������ 2 (2)前 n 项和公式可变形为 Sn= 2 n +
.
n,当 d≠0 时,它是关于 n 的常数项为 0
x 上横坐标为正整数的均匀分布的一系
的 二次函数 ,它的图像是抛物线 y= x2+ ������1 -
孤立的 列 . 点
������ 2
������ ������
奇 偶
=
������ ������ . ������ ������ +1 ������ ������
奇 偶
(2)若项数为 2n-1,则 S 偶=(n-1)an,S 奇=nan,S 奇-S 偶=an , 3.两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和
=
������ . ������ -1
注:若 a1>0,d<0,则 Sn 存在最

值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最

值.
课前双基巩固
常用结论 等差数列的性质 1.已知{an},{bn}是公差分别为 d1,d2 的等差数列,Sn 是{an}的前 n 项和. (1)若{an}是等差数列,则{a2n}也是等差数列,且公差为 2d1. (2)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列,且公差为 pd1+qd2. (3)若{an}是等差数列,则 ak,ak+m,ak+2m(k,m∈N*),…是公差为 md1 的等差数列. (4)若{an}是等差数列,则 pd1,d1.
[答案] 1+
[解析] 由 an+1-an=n,得 a2-a1=1,a3-a2=2,…,an-an-1=n-1(n≥2),以上各式相加,得 an-a1=1+2+…+(n-1)=
������ (������ -1) +1(n≥2),因为 2 ������ (������ -1) an=1+ . 2 (������ -1)(1+������ -1) ������ (������ -1) = (n≥2),即 2 2
*
[思路点拨] (1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,根据条件列出关于 a1,d 的方程组,求出 d 即可;(2)利用等差数 列的通项公式与前 n 项和公式即可得 出结果;(3)由 2an+1=1+2an 得 an+1-an= ,所以数列{an}是首项为-2, 公差为 的等差数列,利用等差数列的 前 n 项和公式求解.
等差数列及其前n 项和
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第29讲 PART 5
考试说明
1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决 相应的问题.
3.了解等差数列与一次函数的关系.
课前双基巩固
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