【全程复习方略】2015届高考数学第一轮总复习 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时提升

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
(45分钟100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2014·某某模拟)已知命题p：∃x0∈R+,log2x0=1,则p是( )
A.∀x∈R+,log2x≠1
B.∀x∉R+,log2x≠1
C.∃x0∈R+,log2x0≠1
D.∃x0∉R+,log2x0≠1
2.如果命题“(p或q)”是假命题,则正确的是( )
A.p,q均为真命题
B.p,q中至少有一个为真命题
C.p,q均为假命题
D.p,q中至多有一个为真命题
3.(2014·某某模拟)“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立
B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立
C.∀x∈R,f(x)>0成立
D.∀x∈R,f(x)≤0成立
4.(2014·某某模拟)下列命题的否定为假命题的是( )
A.∃x0∈R,+2x0+2≤0
B.任意一个四边形的四个顶点共圆
C.所有能被3整除的整数都是奇数
D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1
5.(2014·某某模拟)已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2和q4:p1∧(p2)中,真命题是( )
A.q1,q3
B.q2,q3
C.q1,q4
D.q2,q4
6.(2014·某某模拟)已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lgx0,命题q:∀x∈R,x2>0,则
( )
A.命题p∨q是假命题
B.命题p∧q是真命题
C.命题p∧(q)是真命题
D.命题p∨(q)是假命题
7.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4
B.a≤4
C.a≥5
D.a≤5
8.(能力挑战题)给出下列四个命题:
①若“p∧q”为假命题,则p,q均为假命题;
②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;
③命题“任意x∈R,x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R,+1<0”;
④在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.
其中不正确命题的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2014·随州模拟)命题“存在实数x0,使+2x0-8=0”的否定是.
10.已知下列结论:
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;
③“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件,
其中正确的是(只填序号).
11.(2014·西城模拟)已知命题p:函数y=(c-1)x+1在R上单调递增;命题q:不等式x2-x+c≤0的解集是∅.若p且q为真命题,则实数c的取值X围是.
12.(能力挑战题)设命题p:若ax2-ax-1<0在R上恒成立,则0<a<4;命题q:锐角△ABC中,若A=,则
<sinB<1.已知下列命题:①p,②p∨q,③p∧q,④p∨(q),
其中是真命题的是(只填序号).
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2014·某某模拟)已知命题p：函数y=(a-1)x在R上单调递增;命题q：不等式x+|x-3a|>1的解集为R,若p∨q为真,p∧q为假,某某数a的取值X围.
14.(2014·某某模拟)已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立;命题q:只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a≤0,若p∧q是真命题,求a的取
值X围.
15.(能力挑战题)设a为实数,给出命题p:关于x的不等式≥a的解集为∅,命题q:函数
f(x)=lg的定义域为R,若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求a的取值X围.
答案解析
1.【解析】选A.由p：∃x0∈R+,log2x0=1⇒p：∀x∈R+,log2x≠1.
2.【解析】选B.由题意知,p或q为真命题,所以p,q中至少有一个为真命题.
【加固训练】已知命题p:若x∈N*,则x∈Z.命题q:∃x0∈R,=0.则下列命题为真命题的是( ) A.p B.p∧q
C.p∨q
D.(p)∨(q)
【解析】选D.显然命题p为真;因为对∀x∈R,都有>0,所以命题q为假,所以q为真,由“或”“且”“非”命题的真值表知D正确.
3.【解析】选A.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是∃x0∈R,使得f(x0)>0成立,故选A.
4.【思路点拨】只需判断原命题为真即可.
【解析】选D.对于A,因为Δ=22-4×2=-4<0,所以x2+2x+2>0恒成立,故A假;对于B,一般平行四边形的四个顶点就不共圆,所以B假;对于C,6能被3整除但不是奇数;D显然正确.综上应选D.
5.【解析】选C.函数y=2x-2-x=2x+是两个增函数的和,所以p1是真命题;因为函数y=2x+2-x是偶函数,所以它不可能是R上的减函数,所以p2是假命题.由此可知q1真,q2假,q3假,q4真.
【一题多解】本题还可有如下解法:
函数y=2x-2-x是一个增函数与一个减函数的差,故函数y=2x-2-x在R上为增函数,p1是真命题;
而对p2:y′=2x ln2-ln2=ln2×,
当x∈[0,+∞)时,2x≥,又ln2>0,所以y′≥0,函数单调递增;同理得当x∈
(-∞,0)时,函数单调递减,故p2是假命题.由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.
6.【解析】选C.当x=12时,x-2>lgx显然成立,所以p真;当x=0时,x2=0,所以q假,q真.由此可知C正确. 【加固训练】(2014·某某模拟)已知命题p:“若直线ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直,则a=1”;命题q:
“>”是“a>b”的充要条件,则( )
A.p真,q假
B.“p∧q”真
C.“p∨q”真
D.“p∨q”假
【解析】选D.对于p,若直线ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直,则a2-1=0,所以a=±1,对于q,由>,得a>b,反之不成立,故命题p为假命题,命题q为假命题,故p∨q为假,选D.
7.【解析】选C.满足命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的实数a即为不等式x2-a≤0在[1,2]上恒成立的a的取值X围,即a≥x2在[1,2]上恒成立,即a≥4,要求的是充分不必要条件,因此选项中满足a>4的即为所求,选项C符合要求.
【误区警示】这类题把“条件”放在选项中,即选项中的条件推出题干的结论,但题干中的结论推不出选项中的条件.本题容易分不清这种关系而致误.
8.【解析】选D.因为p与q中只要有一个为假,p∧q就为假,所以①错误;由否命题的定义知②正确;由全称命题否定的意义知③正确;根据正弦定理知,在
△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB,所以④正确.综上应选D.
【加固训练】(2014·某某模拟)下列四个命题中真命题的个数是( )
①“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件;
②命题“∃x0∈R,-x0>0”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”;
③“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真;
④命题p:∀x∈[0,1],2x≥1,命题q:∃x0∈R,+x0+1<0,则p∨q为真.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.命题①中,{x|x<1}是不等式x2-3x+2>0的解集{x|x<1或x>2}的真子集,所以“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,所以①正确.命题②显然正确.命题③中,当m=0时,其逆命题不成立,故③错.命题④中,p为真,q为假,所以p∨q为真,故④正确.综上所述,真命题的个数为3.故选D.
9.【解析】特称命题的否定为全称命题.所以命题的否定是对任意实数x,都有x2+2x-8≠0.
答案:对任意实数x,都有x2+2x-8≠0
10.【解析】p∧q为真时,p,q均为真,此时p∨q一定为真,而p∨q为真时只要p,q至少有一个为真即可,故“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件,结论①正确;p∧q为假,可能p,q均假,此时p∨q为假,结论②不正确;p为真时,p假,此时p∧q一定为假,条件是充分的,但在p∧q为假时,可能p真,此时p为假,故“p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件,结论③不正确.
答案:①
11.【思路点拨】p且q为真命题⇔p,q同真.
【解析】要使函数y=(c-1)x+1在R上单调递增,则c-1>0,解得c>1.所以p:c>1.因为不等式x2-x+c≤0的
解集是∅,所以判别式Δ=1-4c<0,解得c>,即q:c>.因为p且q为真命题,所以p,q同为真,即c>且c>1,解得c>1.所以实数c的取值X围是c>1.
答案:(1,+∞)
12.【思路点拨】对于命题q真假的判断,关键是由条件锐角三角形,A=,及内角和定理限定B的取值X围. 【解析】先判断命题p,当a=0时,不等式为-1<0,显然恒成立;当a≠0时,由不等式恒成立,可得
即
解得-4<a<0.
综上,a的取值X围为(-4,0],所以命题p为假命题.
再判断命题q,因为A=,故C=π-A-B=-B.
又△ABC为锐角三角形,
所以解得<B<.
又y=sinx在上单调递增,所以sinB∈,故命题q为真命题.
综上,p假q真,故p为真命题,q为假命题,p∨q为真命题,p∧q为真命题,p或q为假命题.
答案:①②③
【加固训练】命题p:若函数f(x)=sin+1,则f=f;命题q:函数g(x)=sin2x+1可能是奇函数.则复合命题“p或q”“p且q”“非q”中真命题的个数为.
【解析】代入易知命题p为真命题;g(0)=1≠0,故函数g(x)不是奇函数,命题q为假命题.
所以“p或q”“非q”为真命题.
答案:2
13.【解析】若p真,则a-1>1即a>2,
q真⇔x+|x-3a|>1恒成立,
设h(x)=x+|x-3a|,则h(x)min>1,
因为h(x)=易知h(x)min=3a.
即3a>1,解得a>.
因为p∨q为真,p∧q为假,所以p,q一真一假.
(1)若p真q假,则a>2且a≤,矛盾.
(2)若p假q真,则a≤2且a>⇒<a≤2,
综上可知,a的取值X围是.
14.【解析】由p:x1和x2是x2-mx-2=0的两根,所以所以
|x1-x2|==,又m∈[-1,1],则有|x1-x2|∈[2,3].因为不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立,所以a2-5a-3≥|x1-x2|max=3,所以a2-5a-3≥3,解得a∈(-∞,-1]∪[6,+
∞),p就是集合(-1,6);对于q:由题意,知Δ=(2a)2-4×11a=0,所以a=0或a=.
若p∧q是真命题,即命题p,q都是真命题,所以a∈.
15.【解析】若p正确,则由0<≤1,得a>1.
若q正确,则ax2+(a-2)x+>0解集为R.
当a=0时,-2x+>0不合题意,舍去;
当a≠0时,则解得<a<8. 由题意知,p和q中有且仅有一个正确,
所以或
所以a≥8或<a≤1.
【方法技巧】根据命题真假确定参数取值X围的方法
(1)把所给命题当真求出参数的取值X围.
(2)根据含逻辑联结词命题的真值表递推所给命题的真假.
(3)由(2)的结果列关于参数的不等式(组),并解之即可.。