2015年高考理科数学全国卷2及答案

绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学
（理科）
使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:
1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则A
B =
（ ）
A ．{1,0}A =-
B ．{0,1}
C ．{1,0,1}-
D ．{0,1,2} 2．若a 为实数，且(2i)(2i)4i a a +-=-，则a =
（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是
（ ）
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．已知等比数列{}n a 满足13a =，135a a a ++=21，则357a a a ++=
（ ）
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
5．设函数21
1log (2),1,()2, 1,
x x x f x x -+-⎧=⎨
⎩＜
≥则2(2)(log 12)f f -+=
（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
（ ）
A
．1
8
B ．17
C ．16
D ．15
7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =
（ ）
A ．26
B ．8
C ．46
D ．10
8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损
术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =
（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．14
9．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°， C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36，则球O 的表面积为
（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与
DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则
()y f x =的图象大致为
（ ）
A
B
C
D
11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为
120°，则E 的离心率为
（ ）
A ．5
B ．2
C ．3
D ．2 12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，
则使得()0f x >成立的x 的取值范围
（ ）
A ．(,1)(0,1)-∞-
B ．(1,0)(1,)-+∞
C ．(,1)
(1,0)-∞--
D ．(0,1)
(1,)+∞
--------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效--------
--------
姓名________________ 准考证号_____________
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.
14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪
-⎨⎪+-⎩
≥≤≤则z x y =+的最大值为________.
15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.
（Ⅰ）求
sin sin B
C
∠∠；
（Ⅱ）若1AD =，2
2
DC =
，求BD 和AC 的长. 18．（本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，长方体1111ABCD A B C D -中，=16AB ，=10BC ，18AA =，
点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>：
,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(
,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.
21．（本小题满分12分）
设函数2()mx f x e x mx =+-.
（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；
（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围.
请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；
（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,
:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜.在以
O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1.【答案】A
【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{A
B -=，故选A ．
【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B
【解析】由已知得2
4+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．
【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D
【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；
B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；
C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D
【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；
B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；
C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B
5
1AB CB k =-，所以径为5，所以面积为：4π144πS R ==，选C ．
(2
,3)
M a a a b c a
==-，即2
c a
=，所以2
e=
22
x y
1)(0,1)，故选
()
xf x f
'-
,0)(0,+)
∞上的偶函数，根据函
的图像，而不等式
()0
x g x>，数形结合解不等式组即可．
【考点】奇函数，导数，定义域的求解．
二、填空题
13.【答案】
+
a b
λ与+2
a b平行，所以+(+2)
a b k a b
λ=，则
1
λ⎧
⎨
=
⎩
【提示】利用向量平行即共线的条件，得到向量+
a b
λ与+2
a b之间的关系，利用向量相等
【考点】平面向量的基本定理．
2
⎝⎭2
1n
S，两边同时除以
+1n
S，得
1
S
为公差的等差数列，(1)
n-=-
1n
S，并变形可得数列是以首项和公差均为
sin
AB AD BAD
∠sin
AC AD CAD
∠
BAD CAD
=∠
1
2
AC
AB
=．
:
BD DC所以
cos
AD BD ADB
∠
cos
AD DC ADC
∠
2+2
BD DC
，
BC
⊥于E
sin
AD⨯∠
【解析】
（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：
1
22B A C C ，1
2212))+()B A A B C C P C =1，2A C ，C ，1020，8
20
1620，，
(P C 84
2020
⨯=【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：
为坐标原点，DA 的方向为轴正方向，建立如图示空间直角坐标系D xyz -则(10,0,0)A ，(10,10,0)，．(0,HE =-，(10,0,0)FE =设(,,)n x y z =是平面EHGF 00
n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1006+8x y z =⎧⎨-⎩，所以可取(0,4,3)n =
又(10,4,8)AF -=||
45
,|=
15
||||n AF n AF n AF =
所以AF 与平面所成的角的正弦值为
45
15
． 【提示】（Ⅰ）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，方形的位置，从而画出这个正方形；
轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定的法向量为(,,)n x y z =0
n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即可求出法向量n ，AF 坐标可以求出，
EFGH 所成角为由sin |cos ,|n AF θ=即可求得直线AF 【考点】线面平行、相交，线面夹角的求解．20.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）能
又因为O分别与
EF BC
∥．
为O的弦，
等于O的半径的，
30
OAE︒
＝，因此△AEF都是等边三角形．
3
2，
4，2
OE=
2
OM=，DM
⎝⎭。