2019版高考数学文一轮复习教师用书：第六章 第二节 二

第二节二元一次不等式
(
组
)及简单的线性规划问题
1．一元二次不等式(组)表示的平面区域
以上简称为“直线定界，特殊点定域”. 3．简单的线性规划中的基本概念
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3y ＋6<0，
x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )
解析：选C x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方部分，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C 所示阴影部分．
3．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域的面积等于( )
A.3
2 B.2
3 C.43
D.34
解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．
解⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4可得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC |＝4－43＝8
3. ∴S △ABC ＝12×83×1＝4
3
.
4．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，
y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是
( )
A ．－15
B ．－9
C ．1
D ．9
解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.
法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.
5．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________． 解析：∵点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，∴2m ＋3－5>0，即m >1. 答案：(1，＋∞)
6．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －6≤0，
则x －2y 的最大值为________．
解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －2y ，可知z ＝x －2y 在点A (1,1)处取得最大值－1.
答案：－1
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (基础送分型考点——自主练透)
1．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，
y ≤2表示的平面区域的面积为( )
A ．4
B ．1
C ．5
D ．无穷大
解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，
y ≤2
表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝1
2
×(2－1)×2＝1.
2．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，y ≥2，
0≤x ≤2所表示的平面区域的面积为________．
解析：
如图，平面区域为直角梯形，易得A (0,2)，B (2,2)，C (2,7)，D (0，5)，所以AD ＝3，AB ＝2，BC ＝5.故所求区域的面积为S ＝1
2
×(3＋5)×2＝8.
答案：8
[题型技法] 解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
(二)迁移考——根据平面区域满足的条件求参数 3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0，
kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为
( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．－2
解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
要使阴影部分为直角三角形，
当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝9
2
≠1，所以不成立，
所以k >0，则必有BC ⊥AB ， 因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，
所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，故选A. 4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ≥0，2x ＋y ≤2，
y ≥0，
x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是
( )
A.⎣⎡⎭⎫4
3，＋∞ B ．(0,1]
C.⎣⎡⎦
⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭
⎫4
3，＋∞ 解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ≥0，2x ＋y ≤2，
y ≥0表示的平面区域如图中阴影部
分所示．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，2
3，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝0，
2x ＋y ＝2，
得B (1,0)． 若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ≥0，2x ＋y ≤2，
y ≥0，
x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的
取值范围是0<a ≤1或a ≥4
3
.
[题型技法] 根据平面区域确定参数的方法
在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．
考点二 求目标函数的最值 (题点多变型考点——追根溯源)
角度(一) 求线性目标函数的最值及范围
1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋2y －6≤0，x ≥0，
y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是
( )
A ．[－3,0]
B ．[－3,2]
C ．[0,2]
D ．[0,3]
解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，
当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．
2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，
x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为
________．
解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，
x －y ≤0
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝3
2
x
－z
2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝1.
即A (－1,1)．
所以z min ＝－5. 答案：－5
[题型技法] 求目标函数最值的一般步骤
角度(二) 求非线性目标函数的最值
3．(2018·太原模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，
x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值
范围为( )
A ．[1,13]
B ．[1,4] C.⎣⎡⎦
⎤4
5，13 D.⎣⎡⎦⎤
45，4
解析：选C 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，z min ＝4
5，最大值为点O 与点A (－2,3)的
距离的平方，z max ＝|OA |2＝13.
[题型技法] 常见的2种非线性目标函数及其意义
(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方；
(2)斜率型：形如z ＝
y －b
x －a
，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 角度(三) 线性规划中的参数问题 4．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，
x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围
是________．
解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，
x ≥1表示的平面区域如图中阴
影部分所示，
由1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处取得最
小值，在B (2,1)处取得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围为⎣⎡⎦
⎤1，3
2. 答案：⎣⎡⎦
⎤1，3
2 [题型技法] 求解线性规划中含参问题的基本方法
(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．
(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
[题“根”探求]
1．学会“3转化”
(1)线性约束条件――→转化
可行域． (2)线性目标函数z ＝Ax ＋By ――→转化
一组平行线y ＝－A B x ＋z B . (3)最值――→转化 平行线组的最大(小)纵截距z B . 2．活用“2结论”
(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得． (2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——与y 轴上的截距相关的数．
[冲关演练]
1．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，x ＋y －3≥0，
x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是
( )
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6，＋∞)
D ．[4，＋∞)
解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分
所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－1
2x ＋z 2
，
∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－1
2x ＋z 2过A 点时，z 2
取得最小值．由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，
∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．
2．(2018·成都一诊)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，
x －1≥0，则
y －1
x
的最小值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1
x 表示平面区域内的点与定点P (0,1)连线的斜率．由图知，点P
与点A ⎝⎛⎭⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝⎛⎭⎫y －1x min ＝k PA ＝－12－1
1－0
＝－32. 答案：－3
2
3．(2018·郑州质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的
最大值为10，则z 的最小值为________．
解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，
由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝1，
∴2×3－1－m ＝0，m ＝5.
由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，
∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5. 答案：5
考点三 线性规划的实际应用 (重点保分型考点——师生共研)
(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为
900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件， 由已知可得约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧
1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.
即⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋y ≤300，
10x ＋3y ≤900，
5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.
目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立
⎩
⎪⎨⎪⎧
10x ＋3y ＝900，
5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000
[解题师说]
1．解线性规划应用题3步骤
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
[冲关演练]
某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )
A ．31 200元
B ．36 000元
C ．36 800元
D ．38 400元
解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.
目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y . 画出可行域如图中阴影部分所示，
可知目标函数过点N 时，取得最小值，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝12，
故N (5,12)， 故z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元)．
(一)普通高中适用作业
A 级——基础小题练熟练快
1．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选C 由不等式2x ＋y <6得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.
2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)
应是
( )
解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.
结合图形可知选C.
3．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤3，x ＋y ≥2，
y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
解析：选D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．
设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.
4．(2018·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
3x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝⎛⎭
⎫12y 的最大值为( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．3
解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
3x ＋4y ≤12所表示的平面区域如图中
阴影部分所示．
又z ＝2x ·⎝⎛⎭
⎫12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－
0＝16，故选A.
5．(2017·郑州二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，
x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：选C 作出不等式组
⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，
x ≥1
表示的可行域如图中阴影
部分所示，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1，3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．
∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.
6．(2018·郑州第二次质量预测)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，
x >0，y >0表示
的平面区域有公共点，则k 的取值范围为( )
A ．[0，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤0，3
2 C.⎝⎛⎦
⎤0，3
2 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞
解析：选C 画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x 轴)部分所示，直线y ＝k (x ＋1)过定点M (－1，0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝1，y ＝3，过点M (－1，0)与A (1,3)的直线的斜率是32，根据题意可知0<k ≤32
.
7．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．
解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞2
3
.
答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞
8．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为
________．
解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.
答案：－1
9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，
则y
x
的最大值为________． 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的
意义知，y
x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故y
x
的最大值为3.
答案：3
10．(2018·西安质检)若变量x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
|x |＋|y |≤1，
xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．
解析：作出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，平移
直线2x ＋y ＝0，经过点A (1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点B (－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．
答案：[－2,2]
B 级——中档题目练通抓牢
1．(2018·安庆二模)若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.1
2 B ．－12
C.22
D.22
－1 解析：选B 作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域如图中阴影部分
所示．
x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为点(－1,0)到直线y ＝－x 的距离的平方，即为
⎝⎛⎭⎫222＝12
，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.
2．(2018·石家庄质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤0，x －y ≤0，
x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3
的最小值为( )
A ．－2
B ．－23
C ．－
12
5
D.
2－4
7
解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝
y －2
x ＋3
表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1
＝2，解得k ＝－
125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－12
5
，故选C. 3．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
植面积(单位：亩)分别为( )
A ．50,0
B ．30,20
C ．20,30
D ．0,50
解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，
x ≥0，y ≥0.
画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．
4．(2018·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0，
且b ＝－2x －y ，当b 取得最大值时，直线2x ＋y ＋b ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长为________．
解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，
当直线y ＝－2x －b 经过点A (－2，－2)时，b 取得最大值，即b max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，此时直线方程为2x ＋y ＋6＝0.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋6＝0的距离d ＝|2＋2＋6|
22＋1
2＝25，所以直线被圆截得的弦长L ＝252－(25)2＝2 5.
答案：2 5
5．(2018·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥1，y ≤2x －1，
x ＋y ≤m .若目标函数z ＝x －y 的最小
值为－1，则实数m ＝________.
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可
知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝3.
又A (2,3)在直线x ＋y ＝m
上，所以m ＝5.
答案：5
6.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．
(1)写出表示区域D 的不等式组．
(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求实数a 的取值范围． 解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪
⎧
7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，
4x ＋y ＋10≥0.
(2)根据题意有
[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0， 即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14.
故实数a 的取值范围是(－18,14)． 7．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1.
(1)设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值； (2)设z 2＝y
x ，求z 2的最小值；
(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．
解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得A
⎝
⎛⎭⎫1，225，B (1,1)， 联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x －4y ＋3＝0，
3x ＋5y －25＝0，解得C (5,2)，
(1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移直线y ＝4
3x 至过点C 时，
z 1
最大，且最大值为4×5－3×2＝14.
(2)z 2＝y
x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小，故z 2的最小值为25
.
(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2<OA 2<OC 2＝29，故z 3
∈[2,29]．
C 级——重难题目自主选做
1．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥1，x －y ≤1，
y －1≤0，
若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，
b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－6，－2)
B ．(－3,2) C.⎝⎛⎭
⎫－10
3，－2 D.⎝⎛⎭
⎫－10
3，－3 解析：选C 作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，则目标函数z ＝x －2y 在点A (1,0)处取得最大值1，在点B (－1,1)处取得最小值－3，所以a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解．
令f (x )＝x 2－kx ＋1，
则⎩⎪⎨⎪⎧
f (－3)>0，
f (1)>0，
－3<k
2
<1，
Δ＝k 2
－4>0，
解得－10
3
<k <－2.
2．(2018·襄阳五中月考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
2x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，
则实数a 的取值范围是________．
解析：满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2的平面区域如图中阴影部分所
示，由于对满足不等式组的任意实数x ，y ，不等式ax ＋y ≤3恒成立，根据图形，可得斜率－a ≥0或0>－a ≥k AB ＝3－0
0－1
＝－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
(二)重点高中适用作业
A 级——保分题目巧做快做
1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋1≤0，
x ＋y －3≥0.
结合图形
可知选C.
2.(2018·日照一模)已知变量x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，
x ≥0，则z ＝(2)2x
＋y
的最大值为
( )
A.2 B ．2 2 C ．2
D ．4
解析：选D 作出满足不等式组的可行域如图中阴影部分所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝(2)2x ＋
y 取得最大值，由图知直线m ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，m 取得最
大值，所以z max ＝(2)2
×1＋2
＝4，故选D.
3.(2018·郑州质量预测)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，
x >0，y >0表示的平面区
域有公共点，则k 的取值范围为( )
A ．[0，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤0，3
2 C.⎝⎛⎦
⎤0，3
2 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞
解析：选C 画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x 轴)部分所示，直线y ＝k (x ＋1)过定点M (－1，0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝1，y ＝3，
过点M (－1，0)与A (1,3)的直线的斜率是32，根据题意可知0<k ≤32
.
4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
植面积(单位：亩)分别为( )
A ．50,0
B ．30,20
C ．20,30
D ．0,50
解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，
x ≥0，y ≥0.
画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．
5.(2018·安庆模拟)若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.1
2 B ．－12
C.22
D.22
－1
解析：选B 作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示．
x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )
到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为点(－1,0)到直线y ＝－x 的距离的平方，即为
⎝⎛⎭⎫222＝12
，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.
6．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为
________．
解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.
答案：－1
7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，
则y
x
的最大值为________． 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意
义知，y
x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故y
x
的最大值为3.
答案：3
8.(2018·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，
则实数a 的值为________．
解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎫
－a ，a －53时，z 取得最小值－
4，所以－a ＋2×a －5
3
＝－4，解得a ＝2.
答案：2
9.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．
(1)写出表示区域D 的不等式组．
(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求实数a 的取值范围．
解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪
⎧
7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，
4x ＋y ＋10≥0.
(2)根据题意有
[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，
即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14.
故实数a 的取值范围是(－18,14)． 10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1.
(1)设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值； (2)设z 2＝y
x ，求z 2的最小值； (3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．
解：作出可行域如图中阴影部分，易得A
⎝
⎛⎭⎫1，22
5，B (1,1)． 联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x －4y ＋3＝0，
3x ＋5y －25＝0，解得C (5,2)，
(1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移直线y ＝4
3x 至过点C 时，
z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.
(2)z 2＝y
x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小，故z 2的最小值为25
.
(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2<OA 2<OC 2＝29，故z 3
∈[2,29]．
B 级——拔高题目稳做准做
1.(2018·郑州一中押题卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
3x －y ＋
3≥0，
3x ＋y －
3≤0，
y ≥0，
则当y ＋1x ＋3
取
最大值时，x ＋y 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．－ 3
D. 3
解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示，y ＋1
x ＋3的几何意义
是过定点M (－3，－1)与可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，由图可知，当直线过点A (0，3)时，斜率取得最大值，此时x ，y 的值分别为0，3，所以x ＋y ＝ 3.
2.(2018·郑州质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，
x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是
( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：选C 法一：作出不等式组
⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，
x ≥1所表示的可行域
如图中阴影部分所示．
由图易知1≤x ≤2，y >0，即z ＝2(2－x )＋y ＝4－2x ＋y ，即y ＝2x ＋z －4，平移直线y ＝2x 可知，当直线经过点M (2,4)时，z 取得最小值，最小值为4.故选C.
法二：作出不等式组
⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，
x ≥1所表示的可行域如图中阴影
部分所示，
由可行域的形状可知，z ＝2|x －2|＋|y |的最值必在顶点M (2，4)，N (1,3)，P (1,5)处取到，分别代入z ＝2|x －2|＋|y |可得z ＝4或z ＝5或z ＝7，故选C.
3.(2018·山西五校联考)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y －1≥0，x －y ＋2≥0，
x ＋4y －8≤0
表示的平面区域为Ω，直线x ＝a (a >1)
将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平面区域Ω为△ABC 及其内部，作直线x ＝a (1<a <4)交BC ，AC 分别于点E ，F .由题意可知S △EFC ＝15S △ABC ，则1
2
(4－
a )·⎝⎛⎭⎫－14a ＋2－1＝15×12×5×1＝12
，可得a ＝2(a ＝6舍去)，所以目标函数z ＝ax ＋y 即为z ＝2x ＋y ，易知z ＝2x ＋y 在点C (4,1)处取得最大值，则z max ＝9.
答案：9
4．(2018·襄阳五中月考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
2x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，
则实数a 的取值范围是________．
解析：满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
2x ＋y ≤2
的平面区域如图中阴影部分所
示，由于对满足不等式组的任意实数x ，y ，不等式ax ＋y ≤3恒成立，根据图形，可得斜率－a ≥0或0>－a ≥k AB ＝3－0
0－1＝－3，解得a ≤3，
则实数a 的取值范围是(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
5.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2.
(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1
2
的最值；
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易知B (0，1)，C (1,0)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －y －2＝0，
x －y ＋1＝0，解得A (3,4)．
平移直线12x －y ＋1
2＝0，过A (3,4)取最小值－2，
过C (1,0)取最大值1.
所以z 的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a
2＜2，解得－4＜a ＜
2.
故所求a 的取值范围为(－4,2)．
6.(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为
⎩⎪⎨⎪⎧
70x ＋60y ≤600，
5x ＋5y ≥30，
x
≤2y ，x ≥0，y ≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
7x ＋6y ≤60，
x ＋y ≥6，
x －2y ≤0，
x ≥0，y ≥0，
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y . 考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－
125x ＋z 25，这是斜率为－12
5
，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z
25
取得最大值时，z 的值最大．
又因为x
，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z
25
最大，即z 最大．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
7x ＋6y ＝60，
x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．
所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．。