【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第2章 2.4 向量的数量积-含答案

第1课时向量数量积的概念及运算律
问题：一个物体在力F的作用下位移为s，则力F所做功W＝|F||s|cos θ，θ为F和位移s的夹角，试想功W是力F和位移s的乘积吗？
提示：不是．
1．数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
2．规定
零向量与任一向量的数量积为0.
如图，△ABC为等边三角形．
问题1：向量AB与向量AC的夹角的大小是多少？
提示：60°.
问题2：向量AB与向量BC的夹角的大小是多少？
提示：120°.
两非零向量的夹角
(1)定义：对于两非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：0≤θ≤180°.
(3)当θ＝0°时，a与b同向．
当θ＝180°时，a与b反向．
当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.
已知向量a和b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
问题1：若θ＝90°，求a·b；若a·b＝0，求θ.
提示：若θ＝90°，则a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0；
若a·b＝0，则|a|·|b|cos θ＝0，∴cos θ＝0.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝90°.
问题2：若θ＝0°，求a·b；若θ＝180°，求a·b.
提示：若θ＝0°，则a·b＝|a|·|b|cos 0°＝|a|·|b|；
若θ＝180°，则a·b＝|a|·|b|cos 180°＝－|a|·|b|.
1．两个向量的数量积
(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
(2)当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a.
2．数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝a(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
1．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．
2．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数．
3．数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是因为a·b，b·c都是实数，(a·b)·c与向量c方向相同或相反．a·(b·c)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是a与c共线，(a·b)·c 与a·(b·c)也不一定相等．
[例1] 已知正方形ABCD 的边长为2，分别求： (1)AB ·CD ；(2)AB ·AD ；(3)DA ·AC .
[思路点拨] 求数量积时，利用定义要注意两个向量的夹角大小和实际图形联系起来． [精解详析] (1)∵AB ，CD 的夹角为π，
∴AB ·CD ＝|AB ||CD |cos π＝2×2×(－1)＝－4. (2)∵AB ，AD 的夹角为π
2
，
∴AB ·AD ＝|AB ||AD |cos π
2
＝2×2×0＝0.
(或∵AB ，AD 的夹角为π
2，∴AB ⊥AD ，故AB ·AD ＝0)
(3)∵DA ，AC 的夹角为3π
4，
∴DA ·AC ＝|DA ||AC |cos
3π4＝2×22×⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－22＝－4. [一点通] 求平面向量的数量积时，常用到以下结论： (1)a 2
＝|a |2
；
(2)(xa ＋yb )(mc ＋nd )＝xma ·c ＋xna ·d ＋ymb ·c ＋ynb ·d ，其中x ，y ，m ，n ∈R ，类似于多项式的乘法法则；
(3)(a ＋b )2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
；
(4)(a ＋b ＋c )2
＝a 2
＋b 2
＋c 2
＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c .
1．若|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为135°，则a ·(－b )＝________. 解析：a ·(－b )＝－a ·b ＝－|a ||b |cos 135° ＝－4×6×cos 135°＝12 2. 答案：12 2
2．设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.
解析：a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2·2cos 120°＋2·2·cos 120°＋2·2cos 120°＝－3.
答案：－3
3．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，求AB ·AC 的值． 解：∵2AM ＝AB ＋AC ，BC ＝AC －AB ， ∴(2AM )2
＝(AB ＋AC )2
，BC 2
＝(AC －AB )2
，
∴4AB ·AC ＝4AM 2
－BC 2
＝－64，
∴AB ·AC ＝－16，
[例2] 已知向量OA ＝a ，OB ＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4.求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |.
[思路点拨] 根据已知条件将向量的模利用|a |＝a ·a 转化为数量积的运算求解． [精解详析] ∵a ·b ＝|a |·|b |cos ∠AOB ＝4×4×1
2＝8，
∴|a ＋b |＝
a ＋b
2
＝a 2＋2a ·b ＋b 2
＝16＋16＋16＝43， |a －b |＝
a －b
2
＝a 2－2a ·b ＋b 2
＝16－16＋16＝4， |3a ＋b |＝
a ＋b
2
＝9a 2＋6a ·b ＋b 2
＝9×16＋48＋16＝413.
[一点通] 关系式a 2
＝|a |2
可使向量的长度与向量数量积互相转化，利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，特别注意不要忘记开方．
4．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.
解析：依题意，可知|2a －b |2
＝4|a |2
－4a ·b ＋|b |2
＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2
＝4－22|b |＋|b |2
＝10，即|b |2
－22|b |－6＝0，∴|b |＝
22＋32
2
＝32(负值舍去)． 答案：3 2
5．已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，则a －b |＝________.
解析：由|a ＋b |＝4， 得|a ＋b |2
＝42
∴a 2
＋2a ·b ＋b 2
＝16.① ∵|a |＝2，|b |＝3，
∴a 2
＝|a |2
＝4，b 2
＝|b |2
＝9， 代入①式得4＋2a ·b ＋9＝16， 即2a ·b ＝3.
(a －b )2
＝a 2
－2a ·b ＋b 2
＝4－3＋9＝10， ∴|a －b |＝10. 答案：10
6．已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π
3
，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．
解：∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a －b |， ∴|a －b |＝a －b
2
＝a 2－2a ·b ＋b 2
＝
4－2×2×4×cos
π
3
＋
16＝2 3.
[例3] 已知a ，b 是非零向量，且(a －2b )⊥a ，b ⊥(b －2a )，求a 与b 的夹角． [思路点拨] 根据向量的数量积公式变形为cos θ＝a ·b
|a ||b |
，从而可求θ.
[精解详析] ∵(a －2b )⊥a ，b ⊥(b －2a )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2
b ·a ＝0，
b b －2a ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
|a |2
＝2a ·b ，|b |2
＝2a ·b ，
∴|a |＝|b |.
设a 与b 的夹角为θ，
则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b |a |2＝12|a |
2
|a |2＝1
2.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π
3
.
[一点通] 向量的数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ不仅可以用来求数量积，也可以用来求
模与夹角，即cos θ＝a ·b
|a ||b |
.在根据已知三角函数值求角时，要注意角的范围的确定．此外，
要注意若两非零向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ·b ≠|a ||b |；两非零向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ·b ≠－|a ||b |.
7．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角为________． 解析：由条件得a ·b －|a |2
＝2，设a 与b 的夹角为α，则a ·b ＝2＋|a |2
＝3＝|a ||b |cos α＝1×6×cos α.所以cos α＝12，所以α＝π3
.
答案：
π
3
8．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a |
|b |＝________.
解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2
－4b 2
，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2
＋4b 2
，|a －2b |＝a 2
＋4b 2
.
∴cos 120°＝a ＋2b ·a －2b |a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2
r(a 2＋4b 2
2
)
＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－1
2. ∴a 2b 2＝4
3.∴|a ||b |＝233
. 答案：
23
3
9．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角． 解：设a ，b 的夹角为θ，∵单位向量e 1，e 2的夹角为60°， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝1
2.
∴a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1) ＝e 1·e 2＋e 2
2－2e 2
1－2e 1·e 2 ＝e 22－2e 2
1－e 1·e 2＝1－2－12＝－32，
|a |＝a 2
＝
e 1＋e 2
2
＝e 2
1＋e 22＋2e 1·e 2 ＝1＋1＋1＝3， |b |＝b 2
＝
e 2－2e 1
2
＝e 2
2－4e 1·e 2＋4e 2
1
＝ ＝ 3.
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－32
3·3
＝－1
2.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π
3
.
1．向量数量积的性质及作用
设a 和b 是非零向量，a 与b 的夹角为θ.
(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．
(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |，当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，即当a 与b 共线时，|a ·b |＝|a ||b |，此性质可用来证明向量共线．
(3)a ·a ＝a 2
＝|a |2
或|a |＝a 2
，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(4)cos θ＝a ·b
|a ||b |
，此性质可求a 与b 的夹角．
2．求向量夹角的一般步骤 (1)求两向量的模； (2)计算两向量的数量积； (3)计算夹角的余弦值；
(4)结合夹角的范围[0，π]确定所求的夹角．
课下能力提升(二十)
一、填空题
1．若|a |＝2，|b |＝1
2，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于________．
解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×12×12＝1
2.
答案：1
2
2．已知△ABC 是等腰直角三角形，C ＝90°，AB ＝22，则AB ·BC 等于________．
解析：由题意知|BC |＝22×
2
2
＝2. ∴AB ·BC ＝|AB |·|BC |cos 135°＝22×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－22＝－4. 答案：－4
3．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，则向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角为________．
解析：设a ，b 的夹角为θ.
因为|m |＝1，|n |＝1，m ，n 夹角为60°，所以m ·n ＝1
2.
所以|a |＝m ＋n 2
＝4m 2＋4m ·n ＋n 2
＝7，
|b |＝
n －3m
2
＝4n 2
－12m ·n ＋9m 2
＝7，
a ·
b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝－72
.
所以cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝－1
2
.
又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a ，b 的夹角为120°. 答案：120°
4．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 解析：设a 与b 的夹角为θ， 由于(a ＋2b )·(a －b )＝－6， 且|a |＝1，|b |＝2， 所以a 2
＋a ·b －2b 2
＝－6， 即12
＋1×2cos θ－2×22
＝－6， 化简得cos θ＝1
2，
又∵θ∈[0°，180°]， ∴θ＝60°. 答案：60°
5．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC ＝2BD ，CA ＝3CE ，则AD ·BE ＝________. 解析：
如图所示，∵BC ＝2BD ， ∴D 是BC 的中点． ∴AD ＝1
2(AB ＋AC )．
∵CA ＝3CE ，
∴BE ＝BA ＋AE ＝－AB ＋2
3
AC .
∴AD ·BE ＝12(AB ＋AC )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB ＋23 AC ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
－AB 2－13 AB ·AC ＋23 AC 2
＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1－13×1×1×cos 60°＋23×1
＝－1
4.
答案：－1
4
二、解答题
6．已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°；(4)a 与b 的夹角为150°时．分别求a 与b 的数量积．
解：令a 与b 的夹角为θ.
(1)因为a ∥b ，则当a 与b 同向时，θ＝0°，
a ·
b ＝|a ||b |cos 0°＝20；
当a 与b 反向时，θ＝180°，
a ·
b ＝|a ||b |cos 180°＝－20.
(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当θ＝60°时，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝4×5×1
2＝10.
7．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝1
2.
(1)求a 与b 的夹角为θ； (2)求|a ＋b |.
解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2
＝12，|a |＝1，
∴b 2＝a 2
－12＝1－12＝12，∴|b |＝22
.
∴cos θ＝
a ·b
|a ||b |
＝
12
1×
22
＝2
2，又θ∈[0，π]， ∴θ＝
π4.故a 与b 的夹角为π4
. (2)|a ＋b |＝a ＋b
2
＝a 2＋2a ·b ＋b 2
＝
10
2
. 8．已知|a |＝5，|b |＝12，当且仅当m 为何值时，向量a ＋mb 与a －mb 互相垂直？ 解：若向量a ＋mb 与a －mb 互相垂直， 则有(a ＋mb )·(a －mb )＝0. ∴a 2
－m 2b 2
＝0.∵|a |＝5，|b |＝12，
∴a 2＝25，b 2＝144.∴25－144m 2
＝0.∴m ＝±512.
∴当且仅当m ＝±5
12时，
向量a ＋mb 与a
－mb
互相垂直．
第2课时 平面向量数量积的坐标表示
已知两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－
y 2)．
问题1：你认为a ·b ＝(x 1x 2，y 1y 2)对吗？为什么？
提示：不对．因为两个向量的数量积a ·b 是一个实数，而不是一个向量． 问题2：如何用坐标表示a ·b 呢？ 提示：a ·b
＝x 1x 2＋y 1y 2.
平面向量数量积的坐标表示
若两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.
由前面的学习，我们知道，|a|＝a·a；cos θ＝
a·b
|a|·|b|
(θ为非零向量a，b的夹角)；
a⊥b⇔a·b＝0.(其中a，b为非零向量)
问题1：你能用坐标求|a|，cos θ的值吗？
提示：能．
问题2：你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？
提示：能．
1．向量的模
若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.
2．向量的夹角
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21x22＋y22
.
3．两向量垂直的条件
两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0.反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，该公式可简记为：“对应相乘来求和．”
2．两个向量垂直的等价条件是它们的相应坐标乘积的和为0.公式x1x2＋y1y2＝0是判定两个非零向量垂直的非常好用的条件．
[例1] (1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，求a·b和a·(a－b)．
(2)若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝4，求x的值．
[思路点拨] 直接利用平面向量数量积的坐标表示求解即可．
[精解详析] (1)a·b＝(－1,2)·(3,2)
＝(－1)×3＋2×2＝1，
a ·(a －
b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]
＝(－1,2)·(－4,0)＝4.
(2)∵a ·b ＝(2，－3)·(x,2x )＝2x －6x ＝4， ∴x ＝－1.
[一点通] 进行平面向量数量积的运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
1．a ＝(1,3)，b ＝(－2，－1)，则(3a ＋2b )·(2a ＋5b )的值为________． 解析：∵a ＝(1,3)，b ＝(－2，－1)， ∴3a ＋2b ＝(3,9)＋(－4，－2)＝(－1,7)， 2a ＋5b ＝(2,6)＋(－10，－5)＝(－8,1)，
∴(3a ＋2b )·(2a ＋5b )＝(－1,7)·(－8,1)＝8＋7＝15. 答案：15
2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1,2)，若x ·a ＝9，x ·b ＝－4，则向量x 的坐标为__________．
解析：设x ＝(t ，s )，由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ·a ＝9，x ·b ＝－4得⎩
⎪⎨
⎪⎧
3t －s ＝9，
t ＋2s ＝－4，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
t ＝2，
s ＝－3.∴x ＝(2，－3)．
答案：(2，－3)
3．已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b . 解：(1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．
又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.
[例2] 已知A (16,12)、B (－5,15)，O 为坐标原点，求∠OAB 的大小．
[思路点拨] 求∠OAB 的大小转化为求向量AO 与AB 的夹角的大小，所以需要求AO 与
AB 二者的坐标，进而求得模的大小和数量积，代入夹角公式求解即可．
[精解详析] 由已知得到：
AO ＝－OA ＝－(16,12)
＝(－16，－12)，
AB ＝OB －OA ＝(－5,15)－(16,12)＝(－21,3)，
∴|AO |＝－
2
＋
－
2
＝20，
|AB |＝
－2
＋32
＝152，
AO ·AB ＝(－16，－12)·(－21,3)
＝(－16)×(－21)＋(－12)×3＝300， cos ∠OAB ＝
AO ·AB | AO ||AB |＝30020×152＝22
，
∵0°≤∠OAB ≤180°，∴∠OAB ＝45°.
[一点通] 根据向量的坐标表示求a 与b 的夹角时，需要先求出a ·b 及|a ||b |，再由夹角的余弦值确定θ.其中，当a ·b >0时，a 与b 的夹角θ∈[0，π
2)；当a ·b <0时，a 与b 的夹角
θ∈(
π
2
，π]；当a ·b ＝0，a 与b 的夹角为直角．
4．已知a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角为________． 解析：a ·b ＝－15，|a |＝3，|b |＝52， ∴cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝－153×52＝－2
2
，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π
4.
答案：
3π4
5．已知a ＝(－2,2)，b ＝(1，y )，若a 与b 的夹角α为钝角，求y 的取值范围． 解：由a ·b <0得－2×1＋2y <0，
∴y <1，又设a ＝λb ，λ<0，则(－2,2)＝λ(1，y )＝(λ，λy )， ∴λ＝－2且λy ＝2，∴y ＝－1， ∴y ∈(－∞，－1)∪(－1,1).
[例3] 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度．
[思路点拨] (1)求出AB ，AD 的坐标，计算得到二者数量积为0即可；(2)由(1)知四边形ABCD 为矩形，只需AB ＝DC ，利用相等向量坐标对应相等建立方程求出点C 的坐标，最后利用长度公式求对角线长度．
[精解详析] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB ＝(1,1)，AD ＝(－3,3)． 则AB ·AD ＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB ⊥AD ，即AB ⊥AD .
(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝DC . 设C 点的坐标为(x ，y )，则DC ＝(x ＋1，y －4)，
从而有⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＝1，
y －4＝1，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝5，
∴C 点的坐标为(0,5)．
∵BD ＝(－4,2)，∴|BD |＝25， 即矩形ABCD 的对角线的长度为2 5. [一点通]
(1)向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法． (2)已知向量垂直求参数问题，即由向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可．
6．已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与－b 垂直，则λ的值为________． 解析：a ＋λb ＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)， －b ＝(－2,1)．
∵(a ＋λb )⊥(－b )，∴－2(3＋2λ)＋(4－λ)＝0. ∴λ＝－2
5.
答案：－2
5
7．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－1
2，
则a ＝(1，－1)，
故|a |＝ 2. 答案： 2
8．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .
(1)求证：AB ⊥AC ；
(2)求点D 和向量AD 的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.
解：(1)证明：AB ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，
AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．
∵AB ·AC ＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0， ∴AB ⊥AC .
(2)设D 点的坐标为(x ，y )，则AD ＝(x －2，y －4)，
BC ＝(5,5)，
∵AD ⊥BC ，
∴AD ·BC ＝5(x －2)＋5(y －4)＝0.① 又BD ＝(x ＋1，y ＋2)，
而BD 与BC 共线，∴5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0.② 联立①②，解得x ＝72，y ＝5
2
，
故D 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫72，52， ∴AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72－2，52－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－32.
(3)cos θ＝BA ·BC | BA ||BC |
＝3×5＋6×532＋62·52＋52
＝310
10.
1．两向量平行、垂直的坐标表示的区别
(1)已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；向量a 与b 平行⇔存在λ∈R ，使b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.
(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．
2．向量的坐标运算的应用
利用向量的坐标运算有助于解决平面几何中的长度问题、角度大小以及直线的平行与垂直等位置关系的判断．其求解过程就是首先将平面图形放置到坐标系中，正确地写出有关点的坐标，然后利用向量的模长公式、夹角公式以及向量共线、垂直的条件进行求解，实现数与形的结合．
课下能力提升(二十一)
一、填空题
1．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：∵b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)， ∴b ＋c ＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)． 又∵a ＝(2,3)，
∴a ·(b ＋c )＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6 ＝－6＋18＝12. 答案：12
2．已知a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则|3a －2b |＝________. 解析：a ＝(2,4)，b ＝(1,3)， 则3a －2b ＝(6,12)－(2,6)＝(4,6)． ∴|3a －2b |＝42
＋62
＝52＝213. 答案：213
3．已知O 是坐标原点，A ，B 是坐标平面上的两点，且向量OA ＝(－1,2)，OB ＝(3，m )．若△AOB 是直角三角形，则m ＝________.
解析：在Rt △AOB 中，AB ＝(4，m －2)， 若∠OAB 为直角时，OA ·AB ＝0，可得m ＝4； 若∠AOB 为直角时，OA ·OB ＝0，可得m ＝32；
若∠OBA 为直角时，无解． 答案：3
2
或4
4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________． 解析：由a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)得2a ＋b ＝(3,3)，
a －
b ＝(0,3)，设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，
则cos θ＝
a ＋
b ·a －b |2a ＋b |·|a －b |＝932·3＝2
2
.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π
4.
答案：
π4
5．设a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋tb 与b 的夹角为45°，则实数t 的值为________． 解析：a ＋tb ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)， (a ＋tb )·b ＝(4＋2t )×2＋(t －3)×1＝5t ＋5. |a ＋tb |＝
＋2t
2
＋t －
2
＝t ＋
2
＋20.
由(a ＋tb )·b ＝|a ＋tb ||b |cos 45°， 得5t ＋5＝
52
2
·t ＋
2
＋4，
即t 2
＋2t －3＝0.
∴t ＝－3或t ＝1，经检验t ＝－3不合题意，舍去， ∴t ＝1. 答案：1 二、解答题
6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值： (1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝5.
解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)， ∴(1)m ⊥n ⇒(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0⇒λ＝
529
； (2)m ∥n ⇒(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0⇒λ＝－1
2；
(3)|m |＝5⇒＋λ
2
＋－2λ
2
＝5⇒5λ2
－4λ＝0
⇒λ＝0或4
5
.
7．已知m ＝(1,1)，向量n 与m 的夹角为3π
4，且m ·n ＝－1，求向量n .
解：设n ＝(x ，y )．
由m ·n ＝－1得x ＋y ＝－1.(1) 因为向量n 与m 的夹角为3π
4，
有m ·n ＝|m ||n |cos
3π
4
＝－1， 所以|n |＝1，即x 2
＋y 2
＝1.(2)
由(1)(2)得x ＝－1，y ＝0，或x ＝0，y ＝－1，
所以n＝(－1,0)，或n＝(0，－1)．
8．已知OP＝(2,1)，OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使CA·CB取得最小值时的OC；
(2)对于(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
解：(1)因为点C是直线OP上一点，
所以向量OC与OP共线，设OC＝t OP，则OC＝(2t，t)．
CA＝OA－OC＝(1－2t,7－t)，
CB＝OB－OC＝(5－2t,1－t)．
CA·CB＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
当t＝2时，CA·CB取得最小值，此时OC＝(4,2)．
(2)当OC＝(4,2)时，CA＝(－3,5)，CB＝(1，－1)，所以|CA|＝34，|CB|＝2，CA·CB＝－8.
所以cos∠ACB＝
CA·CB
| CA||CB|
＝－
417
17
.。