高考数学函数专项复习押题密卷含参考解析 (6)

2020年高中数学考前专项复习 《函数专题》综合测试卷
一、单选题
1．定义在R 上的偶函数()f x ，当0x …时，2,[0,1)()113,[1,)x x f x x x x ⎧
−
∈⎪=+⎨⎪−−∈+∞⎩，，则=
1
()()3
F x f x x =−的所有零点之和为（） A ．92
−
B ．72
−
C ．52−
D ．32
−
2．定义在R 上的函数()f x 满足()()2=−+f x f x ，()()2f x f x =−，且当
[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()1
2
f x x =−在[]8,10−上所有根的和为（ ） A ．0
B ．8
C ．16
D ．32
3．对于函数11()44f x x x
=+
+−，恰存在不同的实数123,,x x x ， 使123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++=（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．已知函数ln ,0()12,0x x f x x x >⎧⎪
=⎨+<⎪⎩
，若关于x 的方程()1f x kx =−有两个不同的实
数根，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．9,(0,1)4⎛
⎫−∞−⋃ ⎪⎝
⎭
B ．(,16)(0,)e −∞−⋃
C ．9,(2,0)(0,1)4⎛
⎫−∞−⋃−⋃ ⎪⎝
⎭
D ．(,16)(2,0)(0,)e −∞−⋃−⋃
5．已知函数1()3x p f x −=，2
12()3x p g x p p −=≠，，则下列四个结论中正确的是
（ ）
①()y f x =图象可由()y g x =图象平移得到； ②函数()+()f x g x 的图象关于直线12
=
2
p p x +对称； ③函数()()f x g x −的图象关于点1
2,02p p +⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； ④不等式()()f x g x >的解集是12
(,)2
p p ++∞. A ．①②④
B ．①③④
C ．①②③
D ．①②③④
6．设正实数a ，b 满足3a =7b ，下面成立的是（ ） A ．102
b a <
< B ．
112b a
<< C ．12b a
<
< D ．23b
a
<
< 7．如果实数x y 、满足条件10
{1010x y y x y −+≥+≥++≤，那么42x y z −=⋅的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
12 D ．14
8．已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)2f =，且函数()()g x f x x =−无零点，则（ ） A ．方程(())0g f x =有解 B ．方程(())f f x x =有解 C ．不等式(())f f x x >有解
D ．不等式(())0g f x <有解
9．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线
422x y +=围成的平面区域的直径为( )
A ．432
B ．3
C ．22
D ．4
10．若函数对任意的
，总有
恒成立，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11．己知函数()ln 2f x m x x =−，若不等式(1)2x f x mx e +>−对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是________.
12．已知实数a ，b ，c 满足2211
a
a e c
b d −−==−，其中e 是自然对数的底数，那
么()()22
a c
b d −+−的最小值为________
13．已知0a >，函数222,0,
()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨−+−>⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有
2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.
14．已知函数和，若存在实数使得
，则实数的取值范围为__________．
三、解答题
15．设函数3()(1)f x x ax b =−−−，x ∈R ，其中a,b ∈R. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：
x 1+2x 0=3；
（Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于
14
. 16．已知函数()()2232log ,log f x x g x x =−=.
(1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的值域；
(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2
f x f
k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的
取值范围．
17．已知指数函数()y g x =满足()327g =，定义域为R 的函数
()()()
3n g x f x m g x −=
+是奇函数.
（1）求函数()(),y g x y f x ==的解析式；
（2）若函数()()h x kx g x =−在()0,1上有零点，求k 的取值范围；
（3）若对任意的()1,4t ∈，不等式()()230f t f t k −+−>恒成立，求实数k 的取值范围.
18．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有
()()f x t tf x +=−成立.
（1）当2t =时，若[]0,2x ∈， ()()2f x x x =−，求函数()f x 在闭区间[]2,6−上的值域；
（2）设函数()f x 的值域为[],a a −，证明：函数()f x 为周期函数. 19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，
()()2log 21x f x x −=−+.
（1）求0x >时，()f x 的解析式；
（2）设[]1,2x ∈时，函数()()222f x x
g x m m =+⋅−，是否存在实数m 使得()
g x 的最小值为5，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.
【参考答案】
一、单选题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据偶函数函数 0x …
的表达式，计算出0x <表达式，画图（本题可以直接算）. 【详解】
()f x 是R 上的偶函数，当0x …时，2,[0,1)()113,[1,)x x f x x x x ⎧
−∈⎪
=+⎨⎪−−∈+∞⎩
，，,得到
()]]
2,[0,1)12,[1,3)4,[3,)()2,1,0-1
2,(3,14,(,3x x x x x x x f x x x x x x x x ⎧−∈⎪+⎪
−∈⎪⎪−+∈+∞⎪=⎨⎪−∈−⎪⎪−−∈−−⎪+∈−∞−⎪⎩，，，，，
可以作出()f x 及1
3y x =大致图像,又1()()3F x f x x =−零点转化1()=3
f x x 图像交点
横坐标问题,如上图可以求出交点横坐标分别
1234123439
6,,3022
x x x x x x x x =−=−==⇒+++=−，,选择A
【点睛】
函数所有零点和常见考题有借助函数对称性求值,而本题通过等价关系,将零点问题转化两图象交点横坐标问题. 2．C 解析：C 【解析】 【分析】
利用题意可得出函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，关于点()2,0对称，并且周期为4，作出图象得知，函数1
2
y x =
−的图象与函数()y f x =在[)8,6−−上没有交点，并且函数1
2
y x =
−在[)(]6,22,10−上的图象关于点()2,0对称，且
函数()y f x =在区间[]6,10−上的图象也关于点()2,0对称，然后利用对称性得出两个函数交点横坐标之和.
【详解】
()()2=−+f x f x ，即()()2f x f x +=−，()()()42f x f x f x ∴+=−+=，所
以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数.
又()()2f x f x =−，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.
()()()22∴+=−=−−f x f x f x ，()()220∴++−=f x f x ，则函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，易知函数1
2
y x =−的图象也关于点()2,0对称，如下图所示：
函数12y x =−的图象与函数()y f x =在[)8,6−−上没有交点，并且函数12
y x =−在[)
(]6,22,10−上的图象关于点()2,0对称，且函数()y f x =在区间[]6,10−上
的图象也关于点()2,0对称，两个函数在区间[]6,10−上共有8个公共点，且这些公共点呈现4对关于点()2,0对称，因此，方程()1
2
f x x =−在[]8,10−上所有根的和为4416⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查方程根之和问题，一般利用数形结合思想，转化为两函数交点横坐标
之和的问题，借助函数图象的对称性来求解，考查数形结合思想的应用，属于难题. 3．C 解析：C 【解析】 【分析】
化简得到4()4(4)
f x x x =+
−，设(4)t x x =−得到函数4
()4f t t =+画出函数图
像，根据图像得到4t =或4
9
t =− ，代入计算得到答案.
【详解】
11()444(4)
4f x x x x x =+
+=+−−，设2(4)44t x x x x =−=−≤且0t ≠ 特别的：4t =时，方程(4)t x x =−有唯一解；4t <且0t ≠时，方程(4)t x x =−有两解.
4
()4f t t
=+
，画出函数图像，如图所示：
设123()()()f x f x f x m ===，即()44
t t
f m =+
=恰有2个解，其中1个解为4.
5m =时满足条件，此时4t =或49t =−
即(4)4x x −=或4(4)9
x x −=− 解得1321234,26x x x x x x +==∴++= 故选：C 【点睛】
本题考查了方程的解的问题，通过换元和图像可以简化运算，是解题的关键. 4．C 解析：C 【解析】 【分析】
关于x 的方程()1f x kx =−有两个不同的实数根等价于()y f x =图象与直线
1y kx =−有两个不同的交点，再作图像观察交点个数即可得解.
【详解】
解：作出()y f x =图象，如图所示，由题意知函数()f x 的图象与直线1y kx =−有两个不同的交点，且直线1y kx =−恒过定点()0,1P −. 当0x >时，()ln f x x =，则()1
f x x
'=
.设曲线()y f x =在点()00,ln A x x 处的切线过点P ，又曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()000
1
ln y x x x x −=
−，将()0,1−代入上式，得()000
1
1ln x x x −−=
⋅−，解得01x =，所以1AP k =，结合图象知当01k <<时，函数()y f x =的图象与直线1y kx =−有两个不同的交点；
当21
x <−时，1()2f x x =+，则21()f x x '=−，设曲线1()2y f x x
==+在点
11111,2
2B x x x ⎛⎫⎛⎫
+<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线过点P ，又曲线()y f x =在点B 处的切线方程
为()1211112y x x x x −
−=−−，将()0,1−代入上式，得()1211
11
12x x x −−−=−⋅−，解得123x =−，所以94BP k =−，结合图象知当9
4
k <−时，函数()f x 的图象与直线
1y kx =−有两个不同的交点；
设点1,02C ⎛⎫
− ⎪⎝⎭
，则2PC k =−，由图象知当20k −<<时，方程(x)kx 1f =−也有
两个不同的实数根.
综上，实数k 的取值范围为9,(2,0)(0,1)4⎛
⎫−∞−⋃−⋃ ⎪⎝
⎭.
故选C.
【点睛】
本题考查了函数与方程的关系及数形结合的数学思想方法，属难题. 5．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据函数图象的平移变换法则判断①；根据“若()()f x m f n x +=−，则
()y f x =的图象关于2
m n
x +=
对称”判断②；根据“若()()f x m f n x p ++−=，
则()y f x =的图象关于,22m n p +⎛⎫
⎪⎝⎭对称”判断③；根据指数函数的单调性解不等式判断④. 【详解】
对于①，若()12,p p f x >的图象向左平移12p p −个单位后得到()g x 的图象， 若()12,p p f x <的图象向右平移21p p −个单位后得到()g x 的图象，所以①正确；
对于②，设()()()F x f x g x =+，则()12133x x p p
F x p +−+=+，
()21
12
23
3
33
x p p x
x
x p p F x p −+−−+−−+=+=+，()()12F x p F p x ∴+=−，
()()f x g x ∴+关于12
2
p p x +=
对称，所以②正确； 对于③，设()()()H x f x g x =−，()12133x x p p
H x p +−+=−，
()21
12
23
3
3
3x p p x
x p p x
H x p −+−−+−−+=−−=−，
()()120H x p H x p ++−+=，()H x ∴关于12,02p p +⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，所以③正确；
对于④，由()()f x g x >得12x p x p −>−，化为2
2
12x p x p −>−，
()2221212p p x p p −>−，若21
21,2
p p p p x +>>
， 若21
21,2
p p p p x +<<，所以④错误，故选C. 【点睛】
本题主要考查函数图象的平移变换，以及函数的对称性的应用，属于难题. （1）若()()f x m f n x +=−，则()y f x =的图象关于2
m n
x +=
对称；（2）若
()()f x m f n x p ++−=，则()y f x =的图象关于,22m n p +⎛⎫
⎪⎝⎭对称.
6．B 解析：B 【解析】 【分析】
设3a =7b =t ，（t ＞0），则a=log 3t ，b=log 7t ，从而
b
a
=log 7t×log t 3=log 73，根据对数函数的单调性即可比较b a 与1
2
和1的大小.
【详解】
∵正实数a ，b 满足3a =7b ，
∴设3a =7b =t ，（t ＞0），则a=log 3t ，b=log 7t ， ∴
b
a
=log 7t×log t 3=lg lg3lg3lg7lg lg7t t ⨯==log 73，
∴
771log =log 3log 712b
a
=<<=． 故选B ． 【点睛】
本题考查两数比值的范围的求法，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．B 解析：B
【解析】由题意，得2422x y x y z −−=⋅=，令2t x y =−，将2t x y =−化为
2y x t =−，作出可行域和目标函数基准直线2y x =（如图所示），当直线
2y x t =−向左上方平移时，直线2y x t =−在y 轴上的截距t −增大，即t 减小，
由图象，得当直线2y x t =−过点()0,1A −时， t 取得最大值1 ，即
2422x y x y z −−=⋅=的最大值为2；故选B.
8．C 解析：C 【解析】 【分析】
首先判断开口方向向上，得到()()0g x f x x =−>恒成立，依次判断每个选项得到答案. 【详解】
函数()()g x f x x =−无零点，()12f =，()()11110g f =−=>
()()0g x f x x =−>即()f x x >恒成立
A. 方程()()0g f x =有解.设()()0f x t g t =⇒=这与()g x 无零点矛盾，错误
B. 方程()()f f x x =有解.()f x x >恒成立⇒ ()()()f f x f x x >>，错误
C. 不等式()()f f x x >有解.()f x x >恒成立⇒ ()()()f f x f x x >>，正确
D. 不等式()()0g f x <有解.即()()()0f f x f x −<，由题意：()f x x >恒成立⇒
()()()f f x f x >，错误
【点睛】
本题考查了函数恒成立问题，零点问题，函数与方程关系，综合性强，技巧高深，意在考查学生解决问题的能力. 9．B 解析：B 【解析】 【分析】
根据曲线对称性，利用曲线参数方程表示区域内两点间的距离，再根据二次函数性质求最值得结果. 【详解】
4
2
2x y +=
的参数方程为：2x y θ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）
曲线是关于点（0，0）中心对称的图形，
所以曲线422x y +=上点（x 0，y 0）到原点距离为直径长的一半， d
当cos 4
θ=时，d 取得取大值为32，所以，直径为3，
故选B . 【点睛】
本题考查曲线对称性以及二次函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.
解析：A
【解析】因为 ，所以函数
为定义域 上奇函数，又因为所以函数为定义域
上减函数，因此不等式
，
从而 ，选A.
二、填空题
11．【解析】【分析】由题意可得对任意恒成立转化为则对任意恒成立再证明即得解【详解】函数若不等式对任意恒成立即为对任意恒成立即有对任意恒成立设时函数递减可得则对任意恒成立下面证明因为所以只需证明只需证明当 解析：(,2]−∞ 【解析】 【分析】
由题意可得((1))2(1)x m ln x x x e +−>+−对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 转化为则
2(1)(1)x x e m ln x x +−<+−对任意(0,)x ∈+∞恒成立，再证明
2(1)2(1)x x e ln x x
+−>+−即得解. 【详解】
函数()2f x mlnx x =−，若不等式(1)2x f x mx e +>−对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 即为(1)2(1)2x mln x x mx e +−+>−对任意(0,)x ∈+∞恒成立，
即有((1))2(1)x m ln x x x e +−>+−对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 设(1)y ln x x =+−，1111
x y x x −'=
−=++，0x >时，0y '<，函数y 递减，可得(1)0y ln x x =+−<，
则2(1)
(1)x x e m ln x x +−<+−对任意(0,)x ∈+∞恒成立，
下面证明
2(1)
2(1)x x e ln x x
+−>+− 因为(1)0ln x x +−<，所以只需证明2222ln(1)2x x e x x +−<+− 只需证明2ln(1)2(1)22x x x x e +−+>− 当m=2时，只需证明(1)()x f x f e +>， 因为22(1)()2ln 2,()2x f x x x f x x x
−'=−∴=
−=， 所以函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1+)∞，
单调递减. 因为x>0，所以x+1>1,e 1x >, 所以只需证明1,x x e +< 因为1x x e +<恒成立，
所以
2(1)
2(1)x x e ln x x
+−>+−. 则2m …，即m 的范围是(−∞，2]． 故答案为：(−∞，2]． 【点睛】
本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查学生对这些问题的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题．
12．【解析】【分析】由已知点在曲线上点在曲线上的几何意义就是曲线上的
点到曲线上的点的距离的平方进而求出的最小值【详解】因为实数满足所以所以点在曲线上点在曲线上的几何意义就是曲线上的点到曲线上的点的距离的 解析：
252
【解析】 【分析】
由已知点(),a b 在曲线2x y x e =−上，点(),c d 在曲线3y x =−上，
()()
22
a c
b d −+−的几何意义就是曲线2x y x e =−上的点到曲线3y x =−上的点
的距离的平方，进而求出()()2
2
a c
b d −+−的最小值 【详解】
因为实数a b c d ,,,满足2111a a e c
b d −−==−，
所以，2a b a e =−，3d c =−，
所以点(),a b 在曲线2x y x e =−上，点(),c d 在曲线3y x =−上，
()()
22
a c
b d −+−的几何意义就是曲线2x y x e =−上的点到曲线3y x =−上的点
的距离的平方，
最小值即为曲线2x y x e =−上与直线3y x =−平行的切线， 因为/12x y e =−，求曲线2x y x e =−上与直线3y x =−平行的切线 即/12=-1x y e =−，解得0x = ，所以切点为()0,2−， 该切点到直线3y x =−的距离
2
d =
，就是所求两曲线间的最小距离，
所以()()22
a c
b d −+−的最小值为2
252
d =
． 【点睛】
本题考查曲线与直线间距离的最小值，即为曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离．
13．【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况然后绘制函数图像数形结合即可求得最终结果详解：分类讨论：当时方程即整理可得：很明显不是方程的实数解则当时方程即整理可得：很明显不是方程的实数解则令其中原问题等价
解析：(48)，
【解析】
分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，
整理可得：()2
1x a x =−+，
很明显1x =−不是方程的实数解，则2
1x a x =−+，
当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax −+−=，
整理可得：()2
2x a x =−，
很明显2x =不是方程的实数解，则2
2x a x =−，
令()22,01
,02
x x x g x x x x ⎧−≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪−⎩，
其中211211x x x x ⎛⎫−=−++− ⎪++⎝⎭
，24
2422x x x x =−++−− 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.
点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·
f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
14．-15【解析】当x<-12时2x+1<0(2x+1)+12x+1≤-2∴14(2x+1)+12x+1-12≤-1∴2x+1x2=2x+114(2x+1)2-12(2x+1)+14=114(2x+1)
解析：
【解析】
当时,
;当
时,,若存在使,则
,即,解得,故填.
点睛：本题考查学生的是函数的应用问题,属于中档题目.首先求出分段函数的值域,一段根据对数函数的单调性,另外一段利用对勾函数的性质以及基本不等式和反比例的值域求得,根据题意,即方程有解问题,从而限制的范围,解出不等式即可.
三、解答题
15．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
f x，再根据导函数零点是否存在，分类讨试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()
论；（Ⅱ）由题意得
，计算可得00(32)()f x f x −=.再由
及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数
最大值：主要比较
(1),(1)f f −，33(
,()33
a a f f −的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③3
04
a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.
下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间
为. （2）当
时，令
，解得313
a x =+
，或313a
x =−. 当变化时，，
的变化情况如下表：
3(,1)3
a
−∞− 313
a
− 33(1,1)33
a a −+ 313
a +
3(1,)3a ++∞
＋
－
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以
的单调递减区间为33(1,1)33
a a
−+，单调递增区间为
3(,1)a −∞−
，3(1,)3
a
++∞. （Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知
，且，
由题意，得
，即
，
进而.
又
，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数
1
x 满足，且，因此，所以.
（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：
（1）当时，
33
1021
33
a a
−≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此
{}
{}
max(2),(0)
max12,1
M f f
a b b
=
=−−−−
，
所以.
（2）当时，
233323
101121
3333
a a a a
−≤<−<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，
233
(0)(1)(1)
33
a a
f f f
≥−=+，
233
(2)(1)(1)
33
a a
f f f
≤+=−，
所以在区间上的取值范围为
33
[(1(1
a a
f f−，因此
3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
=+−=−−−−−⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭
.
（3）当
时，2323011233
a a
<−
<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， 233(0)(1)(1)33a a f f f <−
=+，233(2)(1)(1)33
a a
f f f >+=−， 所以在区间上的取值范围为，因此
.
综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.
【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤： （1）确定函数f （x ）的定义域（定义域优先）； （2）求导函数f ′（x ）；
（3）在函数f （x ）的定义域内求不等式f ′（x ）＞0或f ′（x ）＜0的解集； （4）由f ′（x ）＞0（f ′（x ）＜0）的解集确定函数f （x ）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
2由函数f （x ）在（a ，b ）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0
（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到． 16．(1)[]0,2；(2) (),3−∞−. 【解析】 【分析】
（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t ＝2log x ∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数k 的取值范围． 【详解】
(1)h (x )＝(4－22log x )·2log x ＝－2(2log x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以t ＝2log x ∈[0,2]，2()2(1)2h x t =−−+， 故函数h (x )的值域为[0,2]．
(2)由f (x 2)·f )＞k ·g (x )， 得(3－42log x )(3－2log x )＞k ·2log x ，
令2log t x =，因为x ∈[1,4]，所以t ＝2log x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )＞k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，()()343t t k t
−−<
恒成立，
即9
415k t t
<+−，
因为9412t t +…
，当且仅当94t t
=，即3
2t =时取等号，
所以9
415t t
+−的最小值为－3.所以k ＜－3.
综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)． 【点睛】
本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值。

意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力。

17．（Ⅰ）()3x
g x =，1
13()33
x
x f x +−=+；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）． 【解析】
试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求()g x ，利用奇函数用特值法求m,n ，可得到()f x 解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k 的取值范围；（3）分析函数()f x 的单调性，转化为关于t 恒成立问题，利用分离参数法求k 的取值范围． 试题解析： （Ⅰ）设()x
g x a
=()01a a >≠且,则327a =，
∴a=3, ∴()3x g x =，
∴()1
33
x
x n f x m +−=+， 因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即
1
012n n m
−=⇒=+ , ∴()1133x
x f x m
+−=+，又()(1)1f f −=−，
1
1133=319m m m −
−∴
−⇒=++； ∴()1
1333
x x f x +−=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()3x
g x =，又因()()h x kx g x =−在（0，1）上有零点，
从而(0)(1)0h h ⋅<，即(01)(3)0k −⋅−<， ∴30k −>， ∴3k >， ∴k 的取值范围为(3,)+∞．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知()113131121
··
333313331x x x x x f x +−−==−=−++++， ∴()f x 在R 上为减函数（不证明不扣分）． 又因()f x 是奇函数，()()230f t f t k −+−> 所以()()23f t f t k −>−−=()f k t −， 因为()f x 减函数，由上式得：23t k t −<−, 即对一切(1,4)t ∈，有33t k −<恒成立，
令m(x)=33t −,[1,4]t ∈,易知m(x)在[1,4]上递增，所以max 3439y =⨯−=， ∴9k ≥，即实数k 的取值范围为[)9,+∞．
点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题．
18．(1) []2,4− (2) 见解析 【解析】
分析：（1）利用()()f x t tf x +=−，分别求得函数在区间[][][]2,0,2,4,4,6−上的表达式，并求得其值域.（2）首先判断出()(),f x f x t +值域相同.当0t >时，利用()()f x t tf x +=−求得t 的值，并利用周期性的定义证明得函数是周期为2的周期函数.同理可证明当0t <，函数也为周期函数. 详解：
（1）当[]0,2x ∈时， ()()()[]2
2110,1f x x x x =−=−−∈，
当[]2,0x ∈−时，即[]20,2x +∈， 由()()22f x f x +=−得()()122f x f x =−
+，则()1,02f x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦
， 当[]2,4x ∈时，即[]20,2x −∈，
由()()22f x f x +=−得()()22f x f x =−−，则()[]2,0f x ∈−， 当[]4,6x ∈时，即[]22,4x −∈， 由()()22f x f x =−−得()[]0,4f x ∈，
综上得函数()f x 在闭区间[]0,6上的值域为[]2,4−.
（2）（证法一）由函数()f x 的值域为[],a a −得， ()f x t +的取值集合也为
[],a a −，
当0t >时， ()()[],f x t tf x ta ta +=−∈−，则{
ta a ta a
−=−=，即1t =.
由()()1f x f x +=−得()()()21f x f x f x +=−+=，
则函数()f x 是以2为周期的函数.
当0t <时， ()()[],f x t tf x ta ta +=−∈−，则{
ta a ta a
−==−，即1t =−.
即()()1f x f x −=，则函数()f x 是以1为周期的函数. 故满足条件的函数()f x 为周期函数.
（证法二）由函数()f x 的值域为[],a a −得，必存在0R x ∈，使得()0f x a =， 当1t >时，对1t >，有()()00f x t tf x ta a +=−=−<−， 对1t <−，有()()00f x t tf x ta a +=−=−>，则1t >不可能； 当01t <<时，即
11t >， ()()001
f x f x t t
=−+， 由()f x 的值域为[],a a −得，必存在0R x ∈，使得()0f x t a +=， 仿上证法同样得01t <<也不可能，则必有1t = ，以下同证法一.
点睛：本小题主要考查分段函数的性质，考查利用抽象函数的关系式求解函数在不同区间上的表达式的方法，考查函数周期性的证明.题目第一问，已知条件给定函数在区间[]0,2上的表达式，结合()()f x t tf x +=−，容易想到要利用分段的方法，求解出函数在每个长度为2的区间上的表达式，从而求得函数的值域.
19．（1）()()2log 21x
f x x =++；（2）存在，7m =−
【解析】 【分析】
（1）0x >时，0x −<，()()2log 21x
x f x −=−−+，再根据()()f x f x =−−即可
求解；
（2）由题意可得()()()2
2122x x g x m m =++−，令[]22,4x
t =∈，令
()()212h t t m t m =++−，则函数()h t 在[]2,4上的最小值为5，再分类讨论即可求出答案． 【详解】
解：（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =−−， 设0x >，则0x −<，
()()()2log 21x f x x x f =⎡⎤−−−+−−⎣=⎦
()2log 21x
x =++， 即0x >时，()()2log 21x
f x x =++；
（2）由（1）当[]1,2x ∈时，
()()
2log 21
2
22x x x
m g m x ++=+⋅−()()2
2122x x
m m =++−，
令[]22,4x t =∈，()()2
12h t t m t m =++−，
函数()g x 在[]1,2x ∈上的最小值5，即为函数()h t 在[]2,4上的最小值， ①当1
22
m +−
<即5m ≥−时，函数()h t 在区间[]2,4上是增函数， 所以()()min 265h t h ==≠，所以m ∈∅，
②当1242m +≤−≤即95m −≤≤−时，()min 2101
54
m h t m −−−==， 化简得210210m m ++=，解得3m =−或7m =−，所以7m =−， ③当1
42
m +−
>即9m <−时，函数()h t 在区间[]2,4上是减函数，
所以()()min 42205h t h m ==+=，解得15
2
m =−
，所以m ∈∅； 综上：存在7m =−使得函数()g x 的最小值为5． 【点睛】
本题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查函数能成立问题，考查分类讨论思想，属于难题．。