学高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 第一课时 函数的单调性练习 新人教A版必修1

第一课时函数的单调性

【选题明细表】

1.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )

(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)

(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)

解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,所以当x≤-时单调递减.故

选C.

2.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )

(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增

(B)函数在区间[1,4]上单调递增

(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减

(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性

解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.

3.在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )

(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1

(C)y= (D)y=2x2+x+1

解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.

4.函数f(x)=|x|-3的单调增区间是( B )

(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)

(C)(-∞,3) (D)(3,+∞)

解析:根据题意,f(x)=|x|-3=其图象如图所示,则其单调增区间是(0,+∞).故选B.

5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )

(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)

(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)

解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤

4,选A.

6.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)<

f()的x的取值范围是( D )

(A)(,) (B)[,)

(C)(,) (D)[,)

解析:因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f(2x-1)<f(),

所以0≤2x-1<,解得≤x<.故选D.

7.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是.

解析:当x≥1时,f(x)是增函数;当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1). 答案:(-∞,1)

8.函数f(x)=x2-2mx-3在区间[1,2]上单调,则m的取值范围是

.

解析:二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置,函数f(x)=

x2-2mx-3的对称轴为x=m,函数在区间[1,2]上单调,则m≤1或m≥2.

答案:(-∞,1]∪[2,+∞)

9.已知f(x)=,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.

解:f(x)=在[1,+∞)上是增函数.

证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,

则f(x2)-f(x1)=-==.

因为1≤x1<x2,

所以x2+x1>0,x2-x1>0,+>0.

所以f(x2)-f(x1)>0,

即f(x2)>f(x1).

故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.

10.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )

(A)(-∞,3) (B)(0,3)

(C)(3,+∞) (D)(3,9)

解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.

11.已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x的取值范围是. 解析:由题意,得解得1≤x<,

故满足条件的x的取值范围是1≤x<.

答案:[1,)

12.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且f(x·y)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0.

(1)求f(1);

(2)证明f(x)在定义域上是增函数;

(3)如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围.

(1)解:令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0.

(2)证明:令y=,得f(1)=f(x)+f()=0,故f()=-f(x).任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().

由于>1,故f()>0,从而f(x2)>f(x1).

所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(3)解:由于f()=-1,而f()=-f(3),故f(3)=1.

在f(x·y)=f(x)+f(y)中,令x=y=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2.

故所给不等式可化为f(x)-f(x-2)≥f(9),所以f(x)≥f[9(x-2)],所以x≤.又

所以2<x≤.

所以x的取值范围是(2,].

13.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是.

解析:由题意得

解得-3≤a≤-2.

答案:[-3,-2]