2020-2021学年安徽六安高二上数学月考试卷

2020-2021学年安徽六安高二上数学月考试卷
一、选择题
1. 坐标原点到下列各点距离最小的是( )
A.(1,0,−3)
B.(−2,1,1)
C.(1,3,−1)
D.(0,2,1)
2. 若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m−1)y+7=0平行，则m的值为( )
A.7
B.0或7
C.0
D.4
3. 已知直线(3−2k)x−y−6=0不经过第一象限，则k的取值范围为( )
A.(−∞, 3
2) B.(−∞, 3
2
] C.(3
2
,+∞) D.[3
2
,+∞)
4. 已知正项等比数列{a n}中，a3a5=4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为( )
A.1 4
B.1
2
C.2
D.4
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin2B=b cos A cos B，则△ABC的形状是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
6. 已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−∞, 1)，则不等式ax−b
x−2
>0的解集为( )
A.{x|−1<x<2}
B.{x|x<−1或x>2}
C.{x|1<x<2}
D.{x|x>2或x<1}
7. 若圆x2+y2−2x+4y+m=0截直线x−y−3=0所得弦长为6，则实数m的值为( )
A.−31
B.−4
C.−2
D.−1
8. 圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2：x2+y2−4x−4y−1=0的公切线有几条( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
9. 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B，C坐标为(−2, 0)，(2, 0)，中线AD的长度是3，则顶点A的轨迹方程是( )
A.x2+y2=3
B.x2+y2=4
C.x2+y2=9(y≠0)
D.x2+y2=9(x≠0)10. 已知方程x2+y2+4x−2y−4=0，则x2+y2的最大值是( )
A. 14−6√5
B.14
C.9
D. 14+6√5
11. 已知函数y=x−4+9
x+1
(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b等于( )
A.−3
B.2
C.3
D.8
12. 已知P，Q分别为圆M：(x−6)2+(y−3)2=4与圆N：(x+4)2+(y−2)2=1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|+|AQ|的最小值为( )
A.√101−3
B.5√5−3
C.7√5−3
D.5√3−3
二、填空题
若直线x
a
+y
b
=1(a>0，b>0)始终平分圆(x−1)2+(y−1)2=4的周长，则a+4b的最小值为________.
三、解答题
求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点A(−1,−3)，倾斜角等于直线y=√3
3
x的倾斜角的2倍；
(2)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
变量x，y满足{
x−4y+3≤0，
3x+5y−25≤0，
x≥1.
(1)设z=y
x−1
，求z的取值范围；
(2)设z=x2+y2，求z的最小值．
已知圆M:x2+(y−1)2=16外有一点A(4,−2)，过点A作直线l.
(1)当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135∘时，求直线l被圆M所截得的弦长.
已知平面内两点A(8, −6)，B(2, 2)．
(1)求AB的中垂线方程；
(2)求过P(2, −3)点且与直线AB平行的直线l的方程；
(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．
已知圆C：x2+y2+2x−4y+3=0.
(1)求圆心C的坐标及半径r的大小；
(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
(3)从圆外一点P(x, y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|MP|=|OP|，求点P的轨迹方程.
已知M(1, −1)，N(2, 2)，P(3, 1)，圆C经过M，N，P三点．
(1)求圆C的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
(2)若过点Q(1, 1)的直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长度|AB|的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽六安高二上数学月考试卷
一、选择题 1.
【答案】 D
【考点】
空间两点间的距离公式 【解析】
利用两点间的距离分别求得原点到四个选项中点的距离，得出答案． 【解答】
解：A ，√12+02+(−3)2=√10； B ，√(−2)2+12+12=√6； C ，√12+32+(−1)2=√11； D ，√02+22+12=√5. ∵ √5<√6<√10<√11，
∴ D 选项表示的点到坐标原点的距离最小. 故选D . 2.
【答案】 B
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：∵ 直线mx +2y +m =0与直线3mx +(m −1)y +7=0平行， ∴ m(m −1)=3m ×2，
∴ m =0或7，经检验，符合题意. 故选B . 3.
【答案】 D
【考点】
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 斜率的计算公式
【解析】
把直线的方程化为斜截式，再根据它经过定点(0, −6)，不经过第一象限，可得它的斜率3−2k ≤0，由此求得 k 的范围． 【解答】
解：∵ 直线(3−2k)x −y −6=0，即y =(3−2k)x −6，它经过定点(0, −6)，不经过第一象限， 则它的斜率3−2k ≤0，求得 k ≥3
2.
故选D . 4.
【答案】 C
【考点】
等比数列的性质 等差数列的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：∵ a 3a 5=4，
∴ a 4a 4=4，则a 4=2， ∵ a 4，a 6+1，a 7 成等差数列，
∴ 2(a 6+1)=a 4+a 7，
∴ 2(a 4q 2+1)=a 4+a 4q 3， 解得，q =2. 故选C . 5. 【答案】 B
【考点】
两角和与差的余弦公式 正弦定理
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：因为a sin 2B =b cos A cos B ， 所以sin A sin 2B =sin B cos A cos B ，
所以sin B(sin A sin B −cos A cos B)=0， 即−sin B cos (A +B)=0.
因为0<A <π，0<B <π， 所以A +B =π
2， 故△ABC 是直角三角形. 故选B . 6.
【答案】 A
【考点】
其他不等式的解法 【解析】
由题意可得a <0，且−b
a =1，要求的不等式即
a(x−b a
)x−2
>0，即 x+1
x−2<0，即 (x +1)(x −2)<0，由此求得它
的解集．
【解答】
解：∵关于x的不等式ax+b>0的解集为(−∞, 1)，∴a<0，且−b
a
=1，
则不等式ax−b
x−2>0可整理为a(x−
b
a
)
x−2
>0，即a(x+1)
x−2
>0，
等同于(x+1)(x−2)<0，x≠2，
解得−1<x<2.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
把圆x2+y2−2x+4y+m＝0化为标准方程，找到圆心和半径，发现直线x−y−3＝0恰好经过圆心，得出圆直径为6，则半径为3，从而求出m的值．
【解答】
解：由圆x2+y2−2x+4y+m=0即(x−1)2+(y+2)2=5−m，
∴圆心为(1, −2)，
∴圆心在直线x−y−3=0上，
∴此圆直径为6，则半径为3，
∴5−m=32，∴m=−4.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】
将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，可得两圆相外切，由此可确定两圆的公切线的条数．
【解答】
解：圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0化为标准方程为：
(x+1)2+(y+2)2=4，圆心坐标为C1(−1, −2)，半径为2；
圆C2：x2+y2−4x−4y−1=0化为标准方程为：
(x−2)2+(y−2)2=9，圆心坐标为C2(2, 2)，半径为3；
∴圆心距|C1C2|=√(2+1)2+(2+2)2=5=2+3
即两圆的圆心距等于两圆的半径的和，
∴两圆相外切，
∴两圆的公切线有3条.
故选C.
9.
【答案】C
【考点】
轨迹方程
【解析】
由题意求出中点的坐标，根据两点间的距离求出A的轨迹构成，注意三角形中A，B，C不能共线．
【解答】
解：设A(x, y)，
由题意，得B，C的中点坐标为(0, 0)，且y≠0，
再由圆的定义，得x2+y2=9(y≠0).
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
圆的一般方程
两点间的距离公式
【解析】
把已知的方程配方后，得到此方程表示以B为圆心，3为半径的圆，在平面直角坐标系中画出此圆，所求式子即为圆上的点到原点的距离的平方，即要求出圆上的点到原点的最大距离，故连接OB并延长，与圆B交于A 点，此时A到原点的距离最大，|AB|为圆B的半径，利用两点间的距离公式求出|OB|的长，根据|AB|+
|OB|=|AO|求出|AO|的平方，即为所求式子的最大值．
【解答】
解：方程x2+y2+4x−2y−4=0可变形为(x+2)2+(y−1)2=9，
表示圆心B(−2, 1)，半径为3的圆，连接OB并延长，与圆B交于点A，如图所示：
在图中，x2+y2表示圆B上的点到原点O的距离的平方，
此时x2+y2的最大值为|AO|2.
又|AO|=
|AB|+|BO|=3+√(−2)2+12=3+√5，
则|AO|2=(3+√5)2=14+6√5，即x2+y2的最大值为14+6√5.
故选D.
11.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
将y=x−4+9
x+1
(x>−1)，转化为y＝(x+1+9
x+1
)−5，再利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：∵ x >−1， ∴ x +1>0，
∴ y =x −4+9
x+1=(x +1)+9
x+1−5≥2√(x +1)⋅9
x+1−5=1， 当且仅当x =2时取等号． ∴ a =2，b =1， ∴ a +b =3． 故选C . 12.
【答案】 B
【考点】
与圆有关的最值问题
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
求出圆N ：(x +4)2+(y −2)2＝1关于x 轴对称的圆为圆G ：(x +4)2+(y +2)2＝1，则|AP|+|AQ|的最小值为MG −1−2，根据两点间的距离公式可求． 【解答】
解：根据圆M 的标准方程得：M(6,3)，
圆N ：(x +4)2+(y −2)2=1关于x 轴对称的圆为圆G ：(x +4)2+(y +2)2=1，可得：G(−4,−2). 如图所示，
则|AP|+|AQ|的最小值为：MG −1−2=√10
2+5
2−3=5√5−3. 故选B .
二、填空题
【答案】 9
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用 直线与圆的位置关系
【解析】
【解答】
解：因为直线始终平分圆的周长，
故直线x
a +y
b =1(a >0,b >0)过圆心(1,1)，即1
a +1
b =1，
所以a +4b =(a +4b )(1a +1b )=5+
4b a
+a b
≥5+2√
4b a
⋅a
b
=9，
所以a +4b 的最小值为9.
故答案为：9. 三、解答题 【答案】
解：(1)已知tan α=
√3
3
，k =tan 2α=2tan α
1−tan 2α=√3.
因为直线经过点A(−1,−3)，
所以直线方程为y +3=√3(x +1)，
化简得√3x −y +√3−3=0.
(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又直线过点(3,4)，由点斜式方程得y −4=±(x −3)， 所求直线的方程为x −y +1=0或x +y −7=0. 【考点】
直线的点斜式方程 直线的斜率 直线的倾斜角 【解析】 【解答】
解：(1)已知tan α=
√3
3
，k =tan 2α=2tan α
1−tan 2α=√3.
因为直线经过点A(−1,−3)，
所以直线方程为y +3=√3(x +1)，
化简得√3x −y +√3−3=0.
(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又直线过点(3,4)，由点斜式方程得y −4=±(x −3)， 所求直线的方程为x −y +1=0或x +y −7=0. 【答案】
解：(1)作出不等式组对应的平面区域如图所示.
z =y
x−1的几何意义是区域内的点与定点D (1,0)的斜率， 由图象知CD 的斜率最小，
则{x −4y +3=0，3x +5y −25=0， 解得{
x =5，y =2，
即C (5,2)，
则CD 的斜率k =2
5−1=1
2， 即z 的取值范围是[12,+∞).
(2)z =x 2+y 2的几何意义是平面区域内的点到坐标原点的距离的平方， 由(1)中的图象知OA 的距离最小， 则{x =1，x −4y +3=0， 解得{
x =1，y =1，
即A (1,1)，
则z 的最小值为z =12+12=2. 【考点】
求解非线性目标函数的最值-有关距离 求解非线性目标函数的最值-有关斜率 【解析】
【解答】
解：(1)作出不等式组对应的平面区域如图所示.
z =
y
x−1的几何意义是区域内的点与定点D (1,0)的斜率， 由图象知CD 的斜率最小， 则{x −4y +3=0，3x +5y −25=0，
解得{
x =5，y =2，
即C (5,2)，
则CD 的斜率k =2
5−1=1
2， 即z 的取值范围是[12,+∞).
(2)z =x 2+y 2的几何意义是平面区域内的点到坐标原点的距离的平方， 由(1)中的图象知OA 的距离最小， 则{x =1，x −4y +3=0， 解得{
x =1，
y =1，
即A (1,1)，
则z 的最小值为z =12+12=2.
【答案】
解：(1)由圆M:x 2+(y −1)2=16，知圆心M(0, 1)，半径R =4， 设直线l 斜率为k ，
当k 不存在时，x =4与圆M 相切，符合题意； 当k 存在时，设直线l 的方程为：y +2=k(x −4)， 则圆心M(0, 1)到直线l 的距离为 d =
√1+k 2
=4，
即|4k +3|=4√1+k 2，解得k =
7
24
，
此时直线l 的方程为：7x −24y −76=0. 所以直线l 的方程为 x =4或7x −24y −76=0.
(2)当直线的倾斜角为135∘时，即直线的斜率为k =−1， 则直线l 的方程为：y +2=−x +4，
圆心M(0, 1)到直线l 的距离为：d =
√
1+1
=√2
2
， 则所截的弦长为：2√R 2−d 2=2(√2
2)=√62. 【考点】
直线与圆的位置关系 圆的切线方程 点到直线的距离公式
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)由圆M:x 2+(y −1)2=16，知圆心M(0, 1)，半径R =4， 设直线l 斜率为k ，
当k 不存在时，x =4与圆M 相切，符合题意；
当k 存在时，设直线l 的方程为：y +2=k(x −4)， 则圆心M(0, 1)到直线l 的距离为 d =
√1+k 2
=4，
即|4k +3|=
4√1+k 2，解得k
=
7
24
，
此时直线l 的方程为：7x −24y −76=0.
所以直线l 的方程为 x =4或7x −24y −76=0.
(2)当直线的倾斜角为135∘时，即直线的斜率为k =−1， 则直线l 的方程为：y +2=−x +4， 圆心M(0, 1)到直线l 的距离为：d =
√1+1
=
√22
， 则所截的弦长为：2√R 2−d 2=2(√22)=√62.
【答案】 解：(1)
8+22
=5，
−6+22
=−2，
∴ AB 的中点坐标为(5, −2)， k AB =
−6−28−2
=−4
3，
∴ AB 的中垂线斜率为34
，
∴ 由点斜式可得y +2=3
4(x −5)，
∴ AB 的中垂线方程为3x −4y −23=0. (2)由点斜式y +3=−4
3(x −2)， ∴ 直线l 的方程4x +3y +1=0.
(3)设B(2, 2)关于直线l 的对称点B ′(m, n)，
∴ {n−2m−2
=3
4，
4×m+2
2+3×n+22
+1=0，
解得{m =−14
5，n =−8
5， ∴ B′(−
145
，−8
5)，k B′A =
−6+
858+
145
=−11
27，
由点斜式可得y +6=−11
27(x −8)，
整理得11x +27y +74=0，
∴ 反射光线所在的直线方程为11x +27y +74=0． 【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程 直线的一般式方程与直线的垂直关系 直线的一般式方程与直线的平行关系 中点坐标公式 直线的点斜式方程
【解析】
（1）先由中点坐标公式求出中点坐标，然后根据垂直求出中垂线的斜率，进而由点斜式求出直线方程； （2）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；
（3）求得点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出直线方程即可． 【解答】 解：(1)
8+22
=5，
−6+22
=−2，
∴ AB 的中点坐标为(5, −2)， k AB =
−6−28−2
=−4
3，
∴ AB 的中垂线斜率为3
4，
∴ 由点斜式可得y +2=3
4(x −5)， ∴ AB 的中垂线方程为3x −4y −23=0.
(2)由点斜式y +3=−4
3(x −2)， ∴ 直线l 的方程4x +3y +1=0.
(3)设B(2, 2)关于直线l 的对称点B ′(m, n)， ∴ {n−2m−2
=3
4，4×m+22
+3×n+2
2
+1=0，
解得{m =−14
5
，n =−8
5， ∴ B′(−
145
，−8
5)，k B′A =
−6+
858+
145
=−11
27，
由点斜式可得y +6=−11
27(x −8)，
整理得11x +27y +74=0，
∴ 反射光线所在的直线方程为11x +27y +74=0．
【答案】
解：(1)由圆C ：x 2+y 2+2x −4y +3=0， 得：(x +1)2+(y −2)2=2，
∴圆心坐标C(−1, 2)，半径r=√2.
(2)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，
∴ 设直线l的方程为x+y=a.
∵直线l与圆C：(x+1)2+(y−2)2=2相切，
∴圆心C(−1, 2)到切线l的距离等于圆C的半径√2，
即：
√2
=√2，
解得a=−1或a=3，
故所求切线方程为：x+y+1=0或x+y−3=0.
(3)∵切线PM与半径CM垂直，P(x, y)，
∴|PM|2=|PC|2−|CM|2.
又∵|MP|=|OP|，|CM|为圆C的半径，
∴x2+y2=(x+1)2+(y−2)2−2，
∴点P的轨迹方程为2x−4y+3=0.
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
圆的切线方程
轨迹方程
点与圆的位置关系
圆的标准方程
【解析】
（1）化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径；
（2）设出直线的截距式方程，整理为一般式，由圆心到切线的距离等于半径列式求得a的值，则切线方程可求；
（3）由切线垂直于过切点的半径及|MP|=|OP|列式求点P的轨迹方程．
【解答】
解：(1)由圆C：x2+y2+2x−4y+3=0，
得：(x+1)2+(y−2)2=2，
∴圆心坐标C(−1, 2)，半径r=√2.
(2)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，
∴ 设直线l的方程为x+y=a.
∵直线l与圆C：(x+1)2+(y−2)2=2相切，
∴圆心C(−1, 2)到切线l的距离等于圆C的半径√2，
即：
2
=√2，
解得a=−1或a=3，
故所求切线方程为：x+y+1=0或x+y−3=0.
(3)∵切线PM与半径CM垂直，P(x, y)，
∴|PM|2=|PC|2−|CM|2.
又∵|MP|=|OP|，|CM|为圆C的半径，
∴x2+y2=(x+1)2+(y−2)2−2，
∴点P的轨迹方程为2x−4y+3=0. 【答案】
解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
∵圆C过M，N，P三点，
∴{
1+1+D−E+F=0，
4+4+2D+2E+F=0，
9+1+3D+E+F=0，
解得{
D=−3，
E=−1，
F=0，
∴圆C的方程为x2+y2−3x−y=0，
整理得(x−3
2
)2+(y−1
2
)2=5
2
，
∴圆心C(3
2
, 1
2
)，半径r=√10
2
．
(2)设圆心C到直线l的距离为d，
点Q(1, 1)到圆心的距离为|CQ|=√(1−3
2
)2+(1−1
2
)2=√2
2
<√10
2
=r，∴点Q在圆内，
∴|AB|=2√5
2
−d2，
∴当0≤d≤|CQ|=√2
2
（l过圆心C时，d=0；当l⊥CQ时，d=√2
2
），∴2√2≤|AB|≤√10．
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的一般方程
圆的标准方程
点到直线的距离公式
两点间的距离公式
【解析】
【解答】
解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
∵圆C过M，N，P三点，
∴{
1+1+D−E+F=0，
4+4+2D+2E+F=0，
9+1+3D+E+F=0，
解得{D =−3，E =−1，F =0，
∴ 圆C 的方程为x 2+y 2−3x −y =0， 整理得(x −3
2)2+(y −1
2)2=5
2， ∴ 圆心C(32, 1
2)，半径r =
√10
2
． (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，
点Q(1, 1)到圆心的距离为|CQ|=√(1−3
2
)2+(1−1
2
)2=
√2
2
<
√102
=r ，
∴ 点Q 在圆内， ∴ |AB|=2√5
2−d 2， ∴ 当0≤d ≤|CQ|=
√2
2
（l 过圆心C 时，d =0；当l ⊥CQ 时，d =
√2
2
）， ∴ 2√2≤|AB|≤√10．。